專題23動(dòng)點(diǎn)與角度計(jì)算55道經(jīng)典題型專訓(xùn)（9大題型）【題型目錄】題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題題型二線段動(dòng)點(diǎn)中求定值問題題型三在圖形中運(yùn)動(dòng)的問題題型四動(dòng)角有關(guān)問題題型五三角板中角度計(jì)算問題題型六幾何圖形中角度計(jì)算問題題型七實(shí)際問題中角度計(jì)算問題題型八角平分線的有關(guān)計(jì)算題型九角n等分線的有關(guān)計(jì)算【經(jīng)典題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題】1．（2022上·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P是線段上一點(diǎn)，，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是，．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段上時(shí)，_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，則_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是，，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長(zhǎng)【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，由此即可得；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點(diǎn)仍在線段上，∴，故答案為：；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，∵當(dāng)點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和與差、線段的中點(diǎn)，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，從距離O點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段，射線運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s：動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值，能使？(2)若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到距離O點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)前，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說出理由；(3)若P、Q兩點(diǎn)不停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q均在射線上，t為何值時(shí)，它們相距1cm．【答案】(1)(2)不能，見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后由可得關(guān)于t的方程，解方程即得答案；（2）先計(jì)算點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)用的時(shí)間，然后求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程，再比較即得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得：，由此構(gòu)建關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）時(shí)，，若，則，解得：；（2）點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，用的時(shí)間為秒，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，，∴點(diǎn)P不能追上點(diǎn)Q；（3）當(dāng)P、Q均在射線上，它們相距1cm時(shí)，根據(jù)題意得：，即，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、善于動(dòng)中取靜、得到相關(guān)線段關(guān)于t的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段上一點(diǎn)，，、兩點(diǎn)分別從、出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（在線段上，在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；(2)若、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長(zhǎng)(3)在（2）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或12cm【分析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，，則，可得，由即可求解；（2）由，可知，，即，即可求解；（3）分類討論，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)和點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)、的運(yùn)動(dòng)速度知：，，則，∵，∴，即，∴，，∴，則；（2）根據(jù)、的運(yùn)動(dòng)速度知：∵，∴，即，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，∴；∵，∴，又∵，∴；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，．綜上所述，或12cm．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，理解圖形中的等量關(guān)系式解題的關(guān)鍵．4．（2022上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期末）如圖①，點(diǎn)C在線段上，圖中共有3條線段：和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)C是線段的“巧點(diǎn)”．(1)①一條線段的中點(diǎn)__________這條線段的“巧點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段，C是線段的“巧點(diǎn)”，則_________．（用含m的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）(2)如圖②，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為，點(diǎn)B所表示的數(shù)為20．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度沿向終點(diǎn)B勻速移動(dòng)．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度沿向終點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，若設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q恰好是線段的“巧點(diǎn)”．【答案】(1)①是；②或或(2)10或或或15或或【分析】（1）①由中點(diǎn)可知這條線段的長(zhǎng)度等于中點(diǎn)分出的線段長(zhǎng)度的2倍，結(jié)合“二倍點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷；②由“二倍點(diǎn)”的定義知當(dāng)點(diǎn)C是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)，可分，，三種情況，根據(jù)計(jì)算，即可求解；（2）由題意知，然后分兩類討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，結(jié)合“巧點(diǎn)”的定義，求解即可．【詳解】（1）解∶①根據(jù)題意得：這條線段的長(zhǎng)度等于中點(diǎn)分出的線段長(zhǎng)度的2倍，∴一條線段的中點(diǎn)是這條線段的“巧點(diǎn)”；故答案為：是②線段，C是線段的“巧點(diǎn)”，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，或或；故答案為：或或（2）解∶∵點(diǎn)A所表示的數(shù)為，點(diǎn)B所表示的數(shù)為20，∴，根據(jù)題意得：點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q相遇，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，，，此時(shí)，若，則有，解得：；若，則有，解得：；若，則有，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，，，此時(shí)，若，則有，解得：；若，則有，解得：；若，則有，解得：；綜上所述，當(dāng)t為10或或或15或或時(shí)，點(diǎn)Q恰好是線段的“巧點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，線段間的數(shù)量關(guān)系，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2022上·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：數(shù)軸上點(diǎn)、、表示的數(shù)分別為、、，點(diǎn)為原點(diǎn)，且、、滿足．(1)直接寫出、、的值；(2)如圖1，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、、同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，為何值時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)、的距離相等；(3)如圖2，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)始終為線段的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若點(diǎn)到線段的中點(diǎn)的距離為3時(shí)，求的值．【答案】(1)6；2；1(2)1或5(3)3或7【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，列出方程進(jìn)行解答便可；（2）先用t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)到點(diǎn)、的距離，再由點(diǎn)到點(diǎn)、的距離相等列出t的方程便可；（3）用t的代數(shù)式表示P點(diǎn)，再根據(jù)中點(diǎn)公式用t表示D點(diǎn)和K點(diǎn)，再由兩點(diǎn)距離公式由列出t的方程進(jìn)行解答便可．【詳解】（1）解：．，，，，，；（2）解：由題意得，或，解得，或，為或時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)、的距離相等；（3）解：由題意知，點(diǎn)表示的數(shù)為：，是的中點(diǎn)，表示的數(shù)為：，是的中點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為：，，，或7．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出各線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵，此題閱讀量較大應(yīng)細(xì)心分析．6．（2022上·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：數(shù)軸上有點(diǎn)A，表示的數(shù)為a，且滿足關(guān)于x的方程為一元一次方程．?dāng)?shù)軸上還存在線段和線段（點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左邊，點(diǎn)P始終在點(diǎn)Q左邊）．(1)當(dāng)三點(diǎn)重合，且，時(shí)，求的值及所表示的數(shù)．(2)如圖，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，求的值．(3)在（1）的條件下，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，使線段以1個(gè)單位每秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，使線段以3個(gè)單位每秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，線段以原速返回向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇時(shí)，線段再次以原速向右運(yùn)動(dòng)……當(dāng)點(diǎn)N所表示的數(shù)為時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)N共相遇了多少次？【答案】(1)；點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)表示的數(shù)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義可求出的值，由三點(diǎn)重合，，可得，，進(jìn)而可求出點(diǎn)所表示的數(shù)；（2）由線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為可得：，；再通過線段的和差關(guān)系可得，即可得出結(jié)果；（3）計(jì)算出從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合到點(diǎn)與點(diǎn)第二次重合所需時(shí)間為秒；即從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合后的每秒，點(diǎn)與點(diǎn)相遇一次；依次計(jì)算即可；【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程為一元一次方程∴解得：∵三點(diǎn)重合∴，∴點(diǎn)表示的數(shù)為：；點(diǎn)表示的數(shù)為：（2）解：∵線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為∴，∴∴（3）解：在（1）的條件下表示的數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)所表示的數(shù)為時(shí)；∴線段的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：（秒）點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合所用時(shí)間為：（秒）從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合到點(diǎn)與點(diǎn)第二次重合所需時(shí)間為：（秒）即從點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合后的每秒，點(diǎn)與點(diǎn)相遇一次；故點(diǎn)與點(diǎn)共相遇：（次）答：當(dāng)點(diǎn)所表示的數(shù)為時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)共相遇了次．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義、線段的和差關(guān)系、圖形運(yùn)動(dòng)中的周期規(guī)律；熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022上·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，分情況列方程求解即可．【詳解】（1）AB=12，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．8．（2022上·貴州黔西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀】我們知道，數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)的數(shù)是正數(shù)，越往右走，數(shù)字越大，原點(diǎn)左側(cè)則相反．于是，我們可以假設(shè)：若點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，則t秒后點(diǎn)P表示的數(shù)是；反之，若點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，則t秒后點(diǎn)P表示的數(shù)是．【探究】已知數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為，且分別為．(1)如圖1，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)是_______，點(diǎn)Q表示的數(shù)是________；②當(dāng)兩點(diǎn)之間的距離為4時(shí)，則t的值為_______．(2)如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，分別是線段的中點(diǎn)，則在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①，；②4或2(2)線段的長(zhǎng)度為定值，6【分析】（1）①根據(jù)題意即可直接用t表示出點(diǎn)P所表示的數(shù)和點(diǎn)Q所表示的數(shù)；②由①可求出，再根據(jù)，即得出，解出t即可；（2）由分別為線段的中點(diǎn)，即得出，即可得出．求出，即可求出；【詳解】（1）①點(diǎn)P表示的數(shù)是，點(diǎn)Q表示的數(shù)是，故答案為：，；②因?yàn)辄c(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，∵∴，解得：或2；（2）（2）線段的長(zhǎng)度為定值，的長(zhǎng)度為6．∵分別為線段的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，線段的中點(diǎn)以及解絕對(duì)值方程．用t表示出點(diǎn)所表示的數(shù)和兩點(diǎn)之間的距離是解題關(guān)鍵．9．（2023上·山西太原·七年級(jí)校考期末）如圖，直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，，，．

(1)線段______(2)動(dòng)點(diǎn)，分別從A點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿線段以3/秒的速度，向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)沿線段以1/秒的速度，向左運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：秒）①求，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；②求，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．【答案】(1)(2)8、20【分析】（1）根據(jù)，，算出，再根據(jù)即可解答；（2）①根據(jù)，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，，兩點(diǎn)所走的路程之和是的長(zhǎng)列方程即可求解；②根據(jù)，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，點(diǎn)所走的路程與的差和所走的路程與的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）故線段的長(zhǎng)為．（2）①，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)根據(jù)題意可得：解得：秒故，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值是8秒；②由（1）得當(dāng)，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)：解得：秒故，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離是20【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．10．（2022上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB，延長(zhǎng)線段BA至C，使CB＝AB．（1）請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出＝_______；（2）設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，求的值；②在點(diǎn)D，E沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時(shí)，求MN的長(zhǎng)．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，表示出線段長(zhǎng)即可得到結(jié)論；②分和兩種情況，根據(jù)三等分點(diǎn)求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出MD、NB的長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，cm，cm，，②當(dāng)時(shí)，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：18÷3=6（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴cm，cm，cm，當(dāng)時(shí)，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：36÷3=12（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴cm，cm，cm，綜上，MN的長(zhǎng)是12cm或24cm．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的計(jì)算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練表示出線段長(zhǎng)．【經(jīng)典題型二線段動(dòng)點(diǎn)中求定值問題】11．（2023上·江西撫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足．

(1)______，______，______．(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以秒的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；（注：點(diǎn)O為數(shù)軸原點(diǎn)）(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，分別取和的中點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)問：的值是否隨著時(shí)間t的變化而變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【答案】(1)，1，7(2)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是或者(3)不變，值為2【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性以及平方的非負(fù)性，得，的值，結(jié)合b是最小的正整數(shù)，即可得的值；（2）先求出點(diǎn)Q，此時(shí)，再進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系以及路程等于時(shí)間乘速度等知識(shí)進(jìn)行列式，即可作答；（3）易得，，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得，再代入，化簡(jiǎn)即可作答．【詳解】（1）解：因?yàn)樗?，因?yàn)閎是最小的正整數(shù)，所以；（2）解：∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)是，此時(shí)，由，可分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，得，此時(shí)；∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，得，此時(shí)，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是或者；（3）解：不變，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，此時(shí)，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，∴，∴，

．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，線段之間的和差關(guān)系等知識(shí)內(nèi)容，涉及分類討論，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知，點(diǎn)C、D分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，求的值；(2)如圖1，若在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持，求OA的長(zhǎng)；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)M，使，點(diǎn)P是直線OB上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根據(jù)，求出，，最后求出結(jié)果即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，求出，，根據(jù)，得出，求出，再根據(jù)求出結(jié)果即可；（3）當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)求出，根據(jù)，得出，求出，最后求出比值即可；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊，當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，∴，∵，∴，∴，∴．

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵，，∴，∴；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．13．（2023上·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a，點(diǎn)B表示的數(shù)是b，且，(1)填空：，；(2)在線段上有一點(diǎn)C，滿足，求點(diǎn)C表示的數(shù)；(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速移動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍．【答案】(1)8，(2)(3)的值不會(huì)發(fā)生變化，詳見解析【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根據(jù)題意可得依題意得：，從而得到，，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案為：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為；（3）解：的值不會(huì)發(fā)生變化，依題意得：，∴，，∴，∴的值不會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段的和與差，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．14．（2021上·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若．（1）求線段，的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①是定值，②是定值，請(qǐng)選擇你認(rèn)為正確的一個(gè)并加以說明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正確，，見解析【分析】（1）利用兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)為0，可求，即可；（2）分類考慮當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，利用中點(diǎn)可求AM，DN，利用線段和差求AD，可求MN=ADAMDN即可；（3）利用PA=PC+AC，PB=PCBC，求出PA+PB=2PC即可．【詳解】解：（1）由，，，得，，所以，；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，所以，，又因?yàn)?，所以，?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，所以所以．綜上，線段的長(zhǎng)為9；（3）②正確，且．理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點(diǎn)，線段和差，線段的比問題，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點(diǎn)，線段和差，線段的比，關(guān)鍵是利用線段和差PA=PC+AC，PB=PCBC，求出PA+PB=2PC．15．（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，線段AB長(zhǎng)為24個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．(1)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長(zhǎng)度．如變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)為定值24；(3)．【分析】（1）根據(jù)PB=2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24x，PB=242x代入2BMBP后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（3）利用，，，，再根據(jù)MN=PMPN即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)是線段AP的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，解得．（2）解：∵，，，∴，即為定值24．（3）解：當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在B點(diǎn)的右側(cè)．∵，，，，∴，所以MN的長(zhǎng)度無變化是定值．【點(diǎn)睛】本題是動(dòng)點(diǎn)問題，考查了兩點(diǎn)間的距離，解答的關(guān)鍵是用含時(shí)間x的式子表示出各線段的長(zhǎng)度．【經(jīng)典題型三在圖形中運(yùn)動(dòng)的問題】16．（2022上·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）知識(shí)準(zhǔn)備：如圖①，點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心的圓上，若點(diǎn)P用時(shí)5分鐘在圓上繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，此時(shí)點(diǎn)P剛好繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)周角，即360度，則稱此時(shí)點(diǎn)P繞點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)速度為：度/分鐘．解決問題：如圖②，A、B兩點(diǎn)相距60厘米，點(diǎn)O在線段上且厘米，角度，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿直線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．（1）在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的同時(shí)點(diǎn)P繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，當(dāng)點(diǎn)P第一次運(yùn)動(dòng)到直線上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，求點(diǎn)Q的速度．（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)O也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P仍然以45度/分鐘的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)到直線上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，求此時(shí)點(diǎn)Q的速度．

【答案】（1）18厘米/分鐘；（2）22厘米/分鐘【分析】（1）根據(jù)題意可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由點(diǎn)P第一次運(yùn)動(dòng)到直線上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，即得出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，再求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的距離，最后由速度=路程÷時(shí)間求解即可；（2）求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而可求出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)距離，再求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)距離，最后根據(jù)速度=路程÷時(shí)間求解即可．【詳解】解：（1）∵，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：分鐘．∵點(diǎn)P第一次運(yùn)動(dòng)到直線上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2分鐘，且此時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的距離為厘米，∴點(diǎn)Q的速度為厘米/分鐘；（2）當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)到直線上時(shí)，點(diǎn)P繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，∴此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：分鐘．∵點(diǎn)O也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)O的路程為厘米．∵點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)到直線上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6分鐘，且此時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的距離為厘米，∴點(diǎn)Q的速度為厘米/分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查線段上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和掌握速度=路程÷時(shí)間．17．（2023上·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）操作與探究：（1）已知：如圖線段長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則______，______（2）已知：如圖，在長(zhǎng)方形中，，，動(dòng)點(diǎn)以的速度從A點(diǎn)沿著運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，用含的式子表示______拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為，、同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為何值時(shí)，？【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度及的長(zhǎng)，即可解答；(2)根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度及、的長(zhǎng)，即可解答；(3)分兩種情況，列出方程即可分別求解．【詳解】解：（1）線段長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，，故答案為：，；（2），，動(dòng)點(diǎn)以的速度從A點(diǎn)沿著運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，故答案為：或；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，，即，，解得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，解得，故為11或13時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023上·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┰谥苯侨切沃校?，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度沿的方向移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度沿的方向移動(dòng)．如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)時(shí)間，那么：(1)如圖1，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示（不用帶單位）：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；④當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試求出的值；(3)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)的值．【答案】(1)；；；(2)2(3)或【分析】（1）根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度解答即可；（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可；（3）分點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)三種情況列出方程，解方程即可．【詳解】（1）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；④當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；（2）解：由題意得，，解得（3）解：∵∴當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得（不合題意）；綜上：或時(shí)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的有關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握點(diǎn)在三角形的各邊上的運(yùn)動(dòng)情況．19．（2022上·江蘇鹽城·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．【探索新知】如圖1，點(diǎn)C將線段分成和兩部分，若，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段稱作互為圓周率伴侶線段(1)若，則______；(2)若點(diǎn)D也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)（不同于C點(diǎn)），則______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)地滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置(3)若點(diǎn)M、N均為線段的圓周率點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；(4)在圖2中，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)O、C位置同時(shí)出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度、每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，P、C、Q三點(diǎn)中某一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的圓周率點(diǎn)，請(qǐng)求出t的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系代入解答即可；（2）根據(jù)線段的圓周率點(diǎn)的定義及相關(guān)線段的大小比較即可解題；（3）由題意可知，點(diǎn)C表示的數(shù)是，設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)近，且，根據(jù)題意可得關(guān)于x的一元一次方程，求解即可；（4）根據(jù)題意分類討論計(jì)算即可：①點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)，；②點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)，．【詳解】（1）解：由題意得，∴，∵，∴；（2）解：如圖，∵，當(dāng)時(shí)，，，即點(diǎn)也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)，與的數(shù)量關(guān)系是相等；故答案為：；（3）解：由題意可知，點(diǎn)C表示的數(shù)是，∵點(diǎn)M、N均為線段的圓周率點(diǎn)，不妨設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)近，且，∴，∴，解得：，∴，∴；（4）解：由題意可知，點(diǎn)P、C、Q所表示的數(shù)分別為：，當(dāng)P、C、Q三點(diǎn)中某一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的圓周率點(diǎn)時(shí)，①如圖①，點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)，∵，，∴；如圖②，點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)，∵，∴，∴；綜上所述，t的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程在新定義類動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用，有一定綜合性，通過數(shù)形結(jié)合并分類討論，是解題的關(guān)鍵．20．（2022上·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)米，寬米，x，y滿足，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒1米的速度沿著運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)以每秒2米的速度沿運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)______________，______________．(2)當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)當(dāng)P，Q都在DC上，且PQ距離為1時(shí)，求t的值【答案】(1)5，4(2)平方米(3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和乘方的非負(fù)性，即可求解；（2）根據(jù)題意得：當(dāng)t=4.5時(shí)，點(diǎn)P在CD上，DP=0.5米，點(diǎn)Q剛好到達(dá)點(diǎn)D處，可得米，再由，即可求解；（3）當(dāng)P，Q都在DC上，可得，然后分兩種情況討論：當(dāng)P左Q右時(shí)，當(dāng)Q左P右時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案為：5，4；（2）解：當(dāng)t=4.5時(shí)，P走過的路程為4.5米，此時(shí)點(diǎn)P在CD上，DP=0.5米，Q走過的路程為9米，剛好到達(dá)點(diǎn)D處，∴米，∴平方米；（3）解：點(diǎn)P在DC上，，點(diǎn)Q在DC上，，∴，當(dāng)P左Q右時(shí)，，，∴，∴，解得：當(dāng)Q左P右時(shí)，，，∴，∴，解得，不符題意，舍去．綜上，滿足題意的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題，涉及絕對(duì)值和平方式的非負(fù)性，三角形面積的求解，解題的關(guān)鍵是關(guān)鍵題意用時(shí)間t表示出線段長(zhǎng)度，列式求出t的值．【經(jīng)典題型四動(dòng)角有關(guān)問題】21．（2021上·湖北十堰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)，求的值；(2)如圖2，當(dāng)從圖1所示的位置開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會(huì)因的變化而變化？若不變化，請(qǐng)求出該定值；若變化，請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，求當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，．【答案】(1)(2)不變，(3)【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得和的度數(shù)，然后根據(jù)求解；（2）首先由題意得，再根據(jù)角平分線的定義得，，然后由角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)題意得，故，解方程即可求出的值．【詳解】（1）解：因?yàn)槠椒?，平分，所以，．所以；?）解：的值是定值．根據(jù)題意，得：，則，．因?yàn)槠椒郑椒?，所以，，所以；?）解：根據(jù)題意，得，所以，解得，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和與差、角平分線定義，對(duì)角的和與差及角平分線定義的理解是解題關(guān)鍵．22．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可以用右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)來計(jì)算．如圖，數(shù)軸與數(shù)軸交于原點(diǎn)，且所夾銳角是．點(diǎn)，在數(shù)軸上，點(diǎn)，在數(shù)軸上．已知點(diǎn)是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，表示的數(shù)分別是，點(diǎn)，表示的數(shù)分別是．若點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為．請(qǐng)完成下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)，的距離相等時(shí)，______；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)，的距離相等時(shí)，______；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍時(shí)，試求出，的值；(3)在（2）的條件下，若數(shù)軸以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫出第秒時(shí)，的度數(shù)．（用含的式子表示）【答案】(1)(2)或；或(3)或【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程進(jìn)行求解即可；（3）分表示的數(shù)分別為和，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：；，解得，故答案為：（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)：，解得：；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)：，解得：；綜上：或；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：，解得：；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：，解得：；綜上：或；（3）設(shè)第秒時(shí)，數(shù)軸轉(zhuǎn)到了如圖所示的位置，點(diǎn)，點(diǎn)轉(zhuǎn)到，點(diǎn)轉(zhuǎn)到，

由圖可知：，；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，幾何圖形中角度的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，列出一元一次方程，理清角之間的和差關(guān)系．23．（2022上·北京海淀·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，，，OM，ON分別是，的角平分線．

(1)若，，當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線OB與OC重合時(shí)（如圖2），則的大小為_______；

(2)在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)（如圖3），求的大小并說明理由．

(3)在繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，________．（用含，的式子表示）【答案】(1)(2)，理由見解析．(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可求得，，結(jié)合，即可求得答案．（2）根據(jù)角平分線的定義可求得，，結(jié)合，即可求得答案．（3）需要分三種情況討論：射線OB與OC重合；射線OB在OC下方；射線OB在OC上方．【詳解】（1）∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．故答案為：．（2）∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．（3）①如圖所示，射線OB與OC重合．

∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．②如圖所示，射線OB在OC下方．

∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．③如圖所示，射線OB在OC上方．

∵，分別是，的角平分線，∴，．∴．綜上所述，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的角平分線的定義，能采用分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．24．（2021下·廣東深圳·七年級(jí)深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，將兩塊直角三角板的角和一個(gè)角的頂點(diǎn)疊放在一起，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的直角邊始終在的內(nèi)部，在旋轉(zhuǎn)過程中

(1)若時(shí)，______°；(2)善于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，①和②的度數(shù)均各為一個(gè)定值，請(qǐng)你寫出這兩個(gè)定值，定值：①______；②______．(3)作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若變化，請(qǐng)求出變化的范圍．【答案】(1)9(2)，；(3)【分析】（1）由角的和差關(guān)系可得：，再代入數(shù)據(jù)可得答案；（2）由在的內(nèi)部，如圖，，，再代入數(shù)據(jù)可得答案；（3）由角平分線的定義可得，，結(jié)合（1）得：，（2）得：，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）∵在的內(nèi)部，如圖，

∴；∴；（3）∵，分別平分和，

∴，，∵由（1）得：，由（2）得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角的動(dòng)態(tài)定義，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．25．（2023下·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，O，依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向以每秒的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向以每秒的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，直線保持不動(dòng)，如圖2，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中是否存在，使得射線與射線垂直？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)或27時(shí)，射線與射線垂直．【分析】（1）根據(jù)題意，求出和的度數(shù)，即可得到的度數(shù)；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)，分別求解，即可得到的值．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，；（2）由題意可知，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，

，解得：；②如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，

，解得：；綜上可知，當(dāng)或27時(shí)，射線與射線垂直．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，一元一次方程的應(yīng)用，角的計(jì)算等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．26．（2023上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）探究：在①，②，③，④，⑤中，樂樂同學(xué)只利用一副三角板能畫出來的角是；__________（填序號(hào)）

（2）在探究過程中他發(fā)現(xiàn)：如圖1，他先用三角板畫出了直線，然后將一副三角板拼接在一起，其中角（的頂點(diǎn)與角（的頂點(diǎn)互相重合，且邊都在直線上．固定三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向每秒旋轉(zhuǎn)（如圖2），當(dāng)邊第一次落在射線上時(shí)停止．在此過程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，請(qǐng)用表達(dá)下列角度．__________．__________．（3）在此過程中，是否存在一個(gè)時(shí)間（秒），使？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①④；（2）；（3）存在，當(dāng)或時(shí)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運(yùn)用角的和與差的計(jì)算，只要是15°的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度=旋轉(zhuǎn)速度乘以旋轉(zhuǎn)時(shí)間以及角的和差即可得出答案；（3）當(dāng)在內(nèi)時(shí)和在外部時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴、和不能寫成、、、的和或差，故畫不出；故選①④；（2）（3）存在時(shí)間，使，理由如下：由題意得：，①當(dāng)在內(nèi)時(shí)，如圖所示，

解得，，符合題意；②當(dāng)在外部時(shí)，如圖．所示

解得，，符合題意；當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．27．（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點(diǎn)O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；②若，當(dāng)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可得到答案；（2）先求出，則，進(jìn)一步求出，由角平分線的定義得到，進(jìn)而可得；（3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，則；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由題意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．28．（2023上·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時(shí)是否平分？說明理由；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞O點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；平分，理由見解析(2)的值為或【分析】（1）根據(jù)的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)互余得出的度數(shù)，進(jìn)而求出時(shí)間t即可；根據(jù)題意和圖形得出，，再根據(jù)，即可得出平分；（2）根據(jù)題意和圖形得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前,當(dāng)平分時(shí)，，則,解得：，結(jié)論：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

則，∴，∴，當(dāng)停止時(shí),平分,則有,

∴,綜上所述，滿足條件的的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.29．（2018·甘肅蘭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）以直線上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（注：）

(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______°；(2)如圖2，將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若恰好平分，請(qǐng)說明所在射線是∠的平分線；(3)如圖3，將三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，若恰好，求的度數(shù)？【答案】(1)(2)見解析(3)的度數(shù)為或．【分析】（1）根據(jù)，，即可得；（2）根據(jù)平分得，根據(jù)得，，則，即可得；（3）設(shè)，則，有兩種情況：①OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，根據(jù)，，得，進(jìn)行計(jì)算得，即，即可得；②在的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)，，，，得，進(jìn)行計(jì)算得，即，根據(jù)得，綜上，即可得．【詳解】（1）解：∵，又∵，∴，故答案為：；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴所在射線是的平分線；（3）解：設(shè)，則，有兩種情況：①如圖1，在∠AOC內(nèi)部時(shí)，

∵，，，∴，解得，即，∴；②如圖2，在的內(nèi)部時(shí)，

∵，，，，，∴，解得：，即，∵，∴，∴的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是分類討論，列出一元一次方程．30．（2022上·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）已知是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．

(1)在圖1中，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，且保持射線在直線上方，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)亩葦?shù)是多少時(shí)，？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定義，以及角平分線平分角進(jìn)行求解即可；（2）利用平角的定義，以及角平分線平分角進(jìn)行求解即可；（3）分點(diǎn)在直線上方和下方，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵是直角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）同法（1）可得：，即：；（3）設(shè)，則，∵平分，∴，①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)：

，∵，∴，解得：；②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)：

，∵，∴，解得：；綜上：當(dāng)?shù)亩葦?shù)是或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型五三角板中角度計(jì)算問題】31．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點(diǎn)放置，且，，．將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，點(diǎn)在上，直接寫出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，直接寫出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)三角板得到，，根據(jù)角平分線的定義求出，，相加可得結(jié)果；（2）求出、，利用角平分線的定義得到，，最后根據(jù)得出結(jié)果；（3）①求出，根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)果；②求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再加上和即可得解．【詳解】（1）解：如圖所示：，，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵，，∴，∴，，∵、分別平分、，∴，，∴；（3）①∵，，∴，∵平分，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角板中的角度運(yùn)算，角的和差，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析，得出每個(gè)小問中的的構(gòu)成．32．如圖1，某校七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實(shí)踐活動(dòng)中，把一個(gè)直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時(shí)______．【答案】(1)；(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)，以及角的和差計(jì)算即可；（2）①先求，再利用得出結(jié)論；②分兩種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時(shí)，解答即可．【詳解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案為：；．（2）解：①∵，，∴，∵射線是的角平分線，∴，∴，∵，∴；故答案為：；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時(shí)，如圖所示：設(shè)，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上分析可知，的值為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算，數(shù)形結(jié)合，分情況討論是解題的關(guān)鍵．33．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使，將一直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為(1)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)為度．(2)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若直角繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時(shí)，求此時(shí)直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．【答案】(1)90(2)，理由見解析(3)22.5秒或58.5秒【分析】（1）根據(jù)，先求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的位置即可作答；（2）由圖可知，，兩式相減即可作答；（3）分兩種情況討論即可作答：當(dāng)射線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：；當(dāng)射線的反向延長(zhǎng)線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：，問題隨之得解．【詳解】（1），，，，由落在射線上，可知旋轉(zhuǎn)角為：；故答案為：90．（2），，，即關(guān)系為：；（3）所在直線恰好平分，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)射線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：,即：（秒），當(dāng)射線的反向延長(zhǎng)線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：，（秒）所以直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是22.5秒或58.5秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)幾何中心旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)的掌握，綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決問題的能力．要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用到考試中去．掌握旋轉(zhuǎn)中角度的變化以及旋轉(zhuǎn)反向是解答本題的關(guān)鍵．34．將一副直角三角板，，按如圖1放置，其中B與E重合，，．(1)如圖1，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上，求的度數(shù)；(2)將三角板從圖1位置開始繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，分別為，的角平分線．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）先根據(jù)三角板的度數(shù)得到的度數(shù)，再用即可；（2）①由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，分情況討論：當(dāng)是銳角時(shí)，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；當(dāng)是鈍角時(shí)，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，得出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：①，分別為，的角平分線，，，；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，分兩種情況：（Ⅰ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；（Ⅱ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，利用角平分線定義和角的和差是解題關(guān)鍵，注意要分情況討論．35．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變）直至邊第一次重合在直線上，整個(gè)過程時(shí)間記為t秒．(1)從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個(gè)過程共持續(xù)了______秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請(qǐng)直接寫出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，請(qǐng)問上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變），當(dāng)邊第一次重合在直線上時(shí)兩三角板同時(shí)停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)平分．【答案】(1)9(2)，仍成立．理由見解析(3)①，，②秒【分析】（1）繞過的角度為，據(jù)此除以旋轉(zhuǎn)速度，即可作答；（2）、在直線的異側(cè)，用很含式子表示出與，即可作答；、在直線的右側(cè)，同理可證明；（3）①根據(jù)題意直接列式即可；②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：（秒），故答案為：9；（2）∵，，，，、在直線的異側(cè)，如圖2所示，∵，，∴，∴即，、在直線的右側(cè)，仍成立．理由如下：如圖3所示，∵，，∴；（3）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，，,∴．②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解得：．答：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為秒時(shí)，平分．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、三角形板中的角度的計(jì)算、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【經(jīng)典題型六幾何圖形中角度計(jì)算問題】36．如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過點(diǎn)O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是可得的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)在下方時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，計(jì)算即可；（3）由，，設(shè)，則，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用表達(dá)出的度數(shù)，求出與的度數(shù)．【詳解】（1）平分，，，．（2）當(dāng)在下方時(shí)，

平分，，，，，，．當(dāng)在上方時(shí)，

平分，，，，，，，；（3）設(shè)，則，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．37．如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)圖見解析，的度數(shù)是或或或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時(shí)減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線，得；（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度數(shù)是；（3）的度數(shù)是或或或，理由如下：如圖1，，，，

，又，，，如圖2，，

即，又，，，

如圖3，，，又，，，如圖，，

，，綜上所述，的大小為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計(jì)算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．38．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作射線，使得．

(1)如圖一，過點(diǎn)作射線，使為的角平分線，若時(shí)，則________，________；(2)如圖二，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分．①若，求的度數(shù)（寫出推理過程）；②若，則的度數(shù)是________（直接填空）．(3)過點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根據(jù)求出，利用角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出，根據(jù)進(jìn)行求解即可；②同①法，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分在內(nèi)部和在外部?jī)煞N情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為的角平分線，∴，∴；故答案為：；（2）①解：∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴，②∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴；故答案為：；（3）①當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，②當(dāng)在外部時(shí)，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴；綜上：的度數(shù)是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的相關(guān)計(jì)算．解題的關(guān)鍵是正確的識(shí)圖，理清角之間的和差關(guān)系．39．如圖，點(diǎn)在同一條直線上，從點(diǎn)引一條射線，且．

(1)求的度數(shù)．(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（，且不是的整數(shù)倍）得到，在內(nèi)引射線，在內(nèi)引射線，且．．①若，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫出的大?。敬鸢浮?1)(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)的角度可得出和的度數(shù)，由此可得出和的度數(shù)，根據(jù)和差關(guān)系即可得出結(jié)論；②分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，；（2）解：①如圖1，

，當(dāng)時(shí)，則，，，，，，，，；②或．如圖2，當(dāng)時(shí)，

，，，，，解得；如圖3，當(dāng)時(shí)，

，，，，，解得，綜上所述，的大小為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，涉及分類討論的思想，由圖得出角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．40．已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時(shí)，過點(diǎn)作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的度數(shù)是或．【分析】（1）根據(jù)已知條件，和是直角，可得出和與的關(guān)系式，再根據(jù)與和列出等量關(guān)系，即可得出答案；（2）根據(jù)已知條件，可設(shè)，則，再根據(jù)周角的關(guān)系可得到的等量關(guān)系，再根據(jù)，可得到的等量關(guān)系式，由、和可列出等量關(guān)系，即可得到答案；（3）分兩種情況，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，由，可得出結(jié)果，當(dāng)射線在外部時(shí)，由，可得出結(jié)果．【詳解】（1），理由如下：∵和是直角，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（3）存在，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，∵，∴，當(dāng)射線在外部時(shí)，∵，∴，綜上所述，的度數(shù)是或．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型七實(shí)際問題中角度計(jì)算問題】41．給出如下定義：如果，且（k為正整數(shù)），那么稱是的“倍銳角”．(1)下列三個(gè)條件中，能判斷是的“倍銳角”的是________（填寫序號(hào)）；①；②；③是的角平分線；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，在圖中畫出的一個(gè)“倍銳角”；(3)如圖，當(dāng)時(shí)，射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”_____°；(4)當(dāng)且存在它的“倍銳角”時(shí)，則________°．【答案】(1)①③(2)見解析(3)60或80(4)或【分析】（1）分別求出和后判斷是否符合（k為正整數(shù)）；（2）先求出的度數(shù)，再任意畫出一個(gè)符合題意的角即可；（3）先求出的所有可能性，再分別求出的度數(shù)；（4）分兩種情況分別討論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，①符合題意；當(dāng)時(shí)，，，②不符合題意；當(dāng)是的角平分線，，③符合題意；故答案為①③．（2）∵，，∴，如下圖：（3）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，∴應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∵當(dāng)時(shí)，射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，∴可取，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意；故答案為：60或80．（4）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，①：如圖，；②：如圖，，∵，∴，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了用新定義計(jì)算角的和差，正確理解“倍銳角”是解題的關(guān)鍵．42．如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．(1)①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；(2)如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α(2)t=秒，4秒，5秒【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對(duì)PM和PQ的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到答案．【詳解】（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動(dòng)前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時(shí)，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．43．如圖1，在表盤上12：00時(shí)，時(shí)針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標(biāo)準(zhǔn)位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點(diǎn)分()時(shí)，時(shí)針與分針的指針位置，將時(shí)針記為，分針記為．如：12：30時(shí)，時(shí)針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；（2）當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個(gè)角、、中有兩個(gè)角相等時(shí)，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)【答案】（1）6，0.5；（2）的值為；（3）的值為或【分析】（1）由題意根據(jù)分針每60分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，時(shí)針每12小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈進(jìn)行分析計(jì)算；（2）由題意與在同一直線上即與所圍成的角為180°，據(jù)此進(jìn)行分析計(jì)算；（3）根據(jù)題意分當(dāng)時(shí)以及當(dāng)時(shí)兩種情況進(jìn)行分析求解.【詳解】解：（1）由題意得分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：.故答案為：6，0．5.（2）當(dāng)與在同一直線上時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了度，即分針轉(zhuǎn)了度，即∴解得，∴的值為．（3）①當(dāng)時(shí)，∵∴∴；②當(dāng)時(shí)，∵∴∴；∴綜上所述，符合條件的的值為或.【點(diǎn)睛】本題考查鐘表角的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意熟練掌握并運(yùn)用方程思維進(jìn)行分析是解答此題的關(guān)鍵.44．借助一副三角板，可以得到一些平面圖形（1）如圖1，∠AOC＝度．由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是多少度？（2）如圖2，∠1的度數(shù)比∠2度數(shù)的3倍還多30°，求∠2的度數(shù)；（3）利用圖3，反向延長(zhǎng)射線OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，請(qǐng)按題意補(bǔ)全圖（3），并求出∠EOF的度數(shù)．【答案】（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.【分析】（1）根據(jù)三角板的特殊性角的度數(shù)，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和；（2）依題意設(shè)∠2＝x，列等式，解方程求出即可；（3）依據(jù)題意求出∠BOM,∠COM,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF.【詳解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，∴∠AOC＝75°，∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；答：由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是150°；故答案為75；（2）設(shè)∠2＝x，則∠1＝3x+30°，∵∠1+∠2＝90°，∴x+3x+30°＝90°，∴x＝15°，∴∠2＝15°，答：∠2的度數(shù)是15°；（3）如圖所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°，∵OE為∠BOM的平分線，OF為∠COM的平分線，∴∠MOF＝∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°，∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角板各角的度數(shù)、角平分線的性質(zhì)及列方程解方程在幾何中的應(yīng)用，熟記概念是解題的關(guān)鍵.45．分類討論是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，如果一道題提供的已知條件中包含幾種情況，我們可以分情況討論來求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．情況①?若x=2，y=3時(shí)，x+y=5情況②若x=2，y=﹣3時(shí)，x+y=﹣1情況③若x=﹣2，y=3時(shí)，x+y=1情況④若x=﹣2，y=﹣3時(shí)，x+y=﹣5所以，x+y的值為1，﹣1，5，﹣5．幾何的學(xué)習(xí)過程中也有類似的情況：?jiǎn)栴}（1）：已知點(diǎn)A，B，C在一條直線上，若AB=8，BC=3，則AC長(zhǎng)為多少？通過分析我們發(fā)現(xiàn)，滿足題意的情況有兩種情況①?當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1，此時(shí)，AC=情況②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖2，此時(shí)，AC=通過以上問題，我們發(fā)現(xiàn)，借助畫圖可以幫助我們更好的進(jìn)行分類．問題（2）：如圖3，數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)分別是﹣1和2，點(diǎn)C是數(shù)軸上一點(diǎn)，且BC=2AB，則點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？仿照問題1，畫出圖形，結(jié)合圖形寫出分類方法和結(jié)果．問題（3）：點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度數(shù)．畫出圖形，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）11，5；（2）點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣4或8；（3）①當(dāng)OC，OD在AB的同側(cè)時(shí)，30°；②當(dāng)OC，OD在AB的異側(cè)時(shí)，150°.【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，分別依據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，分別依據(jù)BC=2AB進(jìn)行計(jì)算；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)OC，OD在AB的同側(cè)時(shí)，②當(dāng)OC，OD在AB的異側(cè)時(shí)，分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：（1）滿足題意的情況有兩種：①?當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1，此時(shí)，AC=AB+BC=8+3=11；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖2，此時(shí)，AC=AB﹣BC=8﹣3=5；故答案為11，5；（2）滿足題意的情況有兩種：①?當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖，此時(shí)，BC=2AB=2（2+1）=6，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為2﹣6=﹣4；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖，BC=2AB=2（2+1）=6，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為2+6=8；綜上所述，點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣4或8；（3）滿足題意的情況有兩種：①當(dāng)OC，OD在AB的同側(cè)時(shí)，如圖，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°；②當(dāng)OC，OD在AB的異側(cè)時(shí)，如圖，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°；【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，垂線的定義以及角的計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．【經(jīng)典題型八角平分線的有關(guān)計(jì)算】46．定義：從的頂點(diǎn)P引一條射線（不與重合），若，則稱射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線．

(1)下列說法：①一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定在這個(gè)角的外部；②一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定有2條；③一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線有1條或2條，其中正確的是；（填序號(hào)）(2)如圖，O是直線上一點(diǎn)，射線，在同側(cè)，是的平分線，則是關(guān)于邊的補(bǔ)線嗎？為什么？(3)已知射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，是的平分線．若，試用含α的式子表示（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)③(2)是關(guān)于邊的補(bǔ)線，理由見解答(3)可以表示為或或或【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)是的平分線，得出，求出，根據(jù)不與重合，結(jié)合補(bǔ)線定義進(jìn)行判斷即可；（3）分情況討論：當(dāng)為鈍角，且在內(nèi)部時(shí)，當(dāng)為鈍角，且在外部時(shí)，當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時(shí)，當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時(shí)，當(dāng)為銳角，且在外部，當(dāng)為直角時(shí)，只能在的外部，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)這個(gè)角是鈍角時(shí)，它的補(bǔ)線一條在內(nèi)部，鄰補(bǔ)的在外部；②當(dāng)這個(gè)角是直角時(shí)，它的補(bǔ)線只有1條；③當(dāng)這個(gè)角是直角時(shí)，它的補(bǔ)線只有1條，當(dāng)這個(gè)角不是直角時(shí)，有兩條；故答案為：③；（2）解：是關(guān)于邊的補(bǔ)線，理由如下：∵是的平分線，∴，∵，∴，又∵不與重合，∴是關(guān)于邊的補(bǔ)線．（3）解：當(dāng)為鈍角，且在內(nèi)部時(shí)，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，∴，∵，∴，∵是的平分線．∴，∴．當(dāng)為鈍角，且在外部時(shí)，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，∴，∵，∴，∵是的平分線．∴，∴．當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時(shí)，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，∴，∵，∴，∵是的平分線．∴，∴；當(dāng)為銳角，且在內(nèi)部，且時(shí)，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；當(dāng)為銳角，且在外部，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；當(dāng)為直角時(shí)，只能在的外部，如圖所示：

∵射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；綜上分析可知：可以表示為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義，數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．47．如圖，點(diǎn)O在直線上，在同一平面內(nèi)，以O(shè)為頂點(diǎn)作直角．射線、射線分別平分、．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，________，________．(2)如圖1，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)直接寫出圖2和圖3中，與的數(shù)量關(guān)系．圖2：__________；圖3：__________．【答案】(1)，(2)，理由見詳解(3)，【分析】（1）根據(jù)角平分的定義即可求解；（2）根據(jù)（1），可得，問題得解；（3）圖2，先表示出，，再根據(jù)角平分線可得，問題隨之得解；圖3，由，可得，根據(jù)，，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）∵射線、射線分別平分、，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：，；（2），理由如下：在（1）中有：，，，∴；（3）圖2中，，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∵射線、射線分別平分、，∴，，∴，∵，，∴；圖3中，，理由如下：∵，∴，∵射線、射線分別平分、，∴，，∵，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平角為，以及角度的計(jì)算，理清圖中各個(gè)角直角的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．48．（1）【特例感知】如圖1，已知線段，，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是，的中點(diǎn)．若，則________cm；（2）【知識(shí)遷移】我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度數(shù)；②請(qǐng)你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）【類比探究】如圖3，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，若，，，，求∠COD的度數(shù)．（用含有k的式子表示計(jì)算結(jié)果）．【答案】（1）24；（2）①90°；②．理由見詳解；（3）．【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是，的中點(diǎn)，得，，那么，進(jìn)而解決此題．（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分別平分和，得，，進(jìn)而解決此題．②與①同理可證．（3）由，可得，，，所以，根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∴．故答案為：24．（2）①∵和分別平分和，∴，．∴．又∵，，∴．∴．∴．②．理由如下：∵和分別平分和，∴，．∴．∴．（3）∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段中點(diǎn)以及角平分線的定義，熟練掌握線段中點(diǎn)以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．49．點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線