專題13勾股定理之螞蟻行程模型綜合應用（3大類型）解題思路解題思路幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用勾股定理求解【典例分析】【典例1】如圖，有一個圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）【變式1-1】如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【變式1-2】如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的側面爬行到點C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【典例2】（2021春?望城區(qū)期末）如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B距離C點5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短距離是cm．【變式2-1】正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【變式2-2】有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需要爬行的最短路徑長為（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm【典例3】如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．【變式3】如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是寸．【夯實基礎】1.長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上與點C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．2．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草，則他們僅僅少走了步路．（假設2步為1米）如圖，一座橋橫跨一河，橋長40m，一艘小船自橋北頭出發(fā)，向正南方駛去，因水流原因到達南岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9m，則小船實際行駛的距離為m．4．如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是cm．5．如圖一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm，高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．6．如圖是棱長為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點，若在B點處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．7．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用秒鐘．8．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．9．如圖，有一個圓柱形倉庫，它的高為10m，底面半徑為4m，在圓柱形倉庫下底面的A處有一只螞蟻，它想吃相對一側中點B處的食物，螞蟻爬行的速度是50cm/min，那么螞蟻吃到食物最少需要min．（π取3）10．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．11．一個長方體盒子，它的長是12dm，寬是4dm，高是3dm，（1）請問：長為12.5dm的鐵棒能放進去嗎？（1）如果有﹣只螞蟻要想從D處爬到C處，求爬行的最短路程．專題13勾股定理之螞蟻行程模型綜合應用（3大類型）解題思路解題思路幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用勾股定理求解【典例分析】【典例1】如圖，有一個圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）【解答】解：將此圓柱展成平面圖得：∵有一圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm（π≈3），∴AC＝16cm，BC＝BB′＝×8π＝12（cm），∴AB＝＝10（cm）．∴AB＝＝20cm．答：需要爬行的最短路程是20cm．【變式1-1】如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【答案】B【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為10cm，則AD＝10×＝5（cm）．又因為CD＝AB＝12cm，所以AC＝（cm）．故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是13cm．故選：B．【變式1-2】如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的側面爬行到點C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【答案】C【解答】解：將圓柱體展開，連接DC，圓柱體的底面周長為24cm，則DE＝12cm，根據(jù)兩點之間線段最短，CD＝＝13（cm）．而走D﹣B﹣C的距離更短，∵BD＝5，BC＝，∴BD+BC≈13．故選：C．【典例2】（2021春?望城區(qū)期末）如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B距離C點5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短距離是cm．【答案】25【解答】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故答案為：25【變式2-1】正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【答案】A【解答】解：展開正方體的點M所在的面，∵BC的中點為M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故選：A．【變式2-2】有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需要爬行的最短路徑長為（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm【答案】B【解答】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展開前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展開左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；所以最短路徑長為cm．故選：B．【典例3】如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．【變式3】如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是寸．【答案】25【解答】解：將臺階展開矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長分別為24寸，7寸，由勾股定理得AB＝＝25寸．【夯實基礎】1.長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上與點C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．【答案】C【解答】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝25；只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；∵25＜5＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故選：C．2．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草，則他們僅僅少走了步路．（假設2步為1米）【答案】4【解答】解：由勾股定理，得路長＝＝5（m），少走（3+4﹣5）×2＝4步，故答案為：4．如圖，一座橋橫跨一河，橋長40m，一艘小船自橋北頭出發(fā)，向正南方駛去，因水流原因到達南岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9m，則小船實際行駛的距離為m．【答案】41【解答】解：根據(jù)題意知，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝9m，在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，所以實際行駛的路程為AC＝＝41（m）．故答案為：41．4．如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是cm．【答案】15【解答】解：由題意可得，當展開前面和右面時，最短路線長是：＝＝15（cm）；當展開前面和上面時，最短路線長是：＝＝7（cm）；當展開左面和上面時，最短路線長是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是15cm，故答案為：15．5．如圖一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm，高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．【答案】【解答】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；（2）展開前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；（3）展開左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．所以最短路徑的長為AB＝（cm）．故答案為：．6．如圖是棱長為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點，若在B點處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．【答案】【解答】解：將點A和點B所在的面展開為矩形，AB為矩形對角線的長，∵矩形的長和寬分別為8cm和4cm，∴AB＝＝cm．故螞蟻沿正方體的最短路程是cm．7．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用秒鐘．【答案】2.5【解答】解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路徑長為5cm，用時最少：5÷2＝2.5秒．8．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2