課時質(zhì)量評價(五十三)1．若直線y＝kx＋2與橢圓x27+y2m＝1A．m>1 B．m>0C．0<m<4且m≠1 D．m≥4且m≠7D解析：直線y＝kx＋2恒過定點(0，2)，若直線y＝kx＋2與橢圓x27+y2m＝1總有公共點，則點(0，2)在橢圓x27+y2m＝1內(nèi)部或在橢圓上，所以4m≤1，m≥4.由方程x27+y2m2．(2024·長春模擬)直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于A，B兩點．若使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則p等于()A．14 B．C．1 D．2C解析：由拋物線的對稱性知，要使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則AB必須垂直于x軸，故A，B兩點的坐標分別為p2，1，p23．(2023·新高考全國Ⅱ卷)已知橢圓C：x23＋y2＝1的左焦點和右焦點分別為F1和F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點．若△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，則m＝(A．23 B．C．－23 D．－C解析：記直線y＝x＋m與x軸交于M(－m，0)，因為橢圓C：x23＋y2＝1的左、右焦點分別為F1－2且由△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，可得|F1M|＝2|F2M|，所以－2－xM＝22－xM，解得xM＝2所以－m＝23或－m＝32，所以m＝－23或m＝聯(lián)立x23+y2＝1，y＝x+m，可得因為直線y＝x＋m與C相交，所以Δ>0，解得m2<4，所以m＝－32不符合題意，故m＝－234．(2024·巴中模擬)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且斜率為34的直線與C的右支交于點P.若線段PFA．12 B．C．2 D．3C解析：如圖，設(shè)PF1交y軸于點A，A為PF1的中點．又因為O為F1F2的中點，所以AO為△PF1F2的中位線，則AO∥PF2.而AO⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2.因為直線PF1的斜率為34，故在Rt△PF2F1中，tan∠PF1F2＝3設(shè)|PF2|＝3t，則|F1F2|＝4t，|PF1|＝5t，結(jié)合雙曲線的定義以及點P在雙曲線右支上，得4t＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a＝2t，則2a＝c，所以e＝ca＝5．(多選題)過雙曲線x2－y22＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則下列滿足條件的直線l有(A．x＝3 B．x＋2y－1＝0C．x－2y－3＝0 D．x＋ACD解析：由題意知F3，當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝3，由x＝3，x2－所以|AB|＝|y1－y2|＝4滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx－由y得(2－k2)x2＋23k2x－3k2－2＝0.當(dāng)2－k2＝0時，不符合題意，當(dāng)2－k2≠0時，Δ＝23k22＋4(2－k2)(3k2＋2)＞0，x1＋x2|AB|＝1+k2·x1+解得k＝±22所以直線l的方程為y＝±22即x±2y－6．過點(0，3)的直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則直線l的方程為________.y＝13x＋3或y＝3或x＝0解析：當(dāng)直線l的斜率k存在且k≠0時，直線l的方程為y＝kx＋3(k≠0)，與拋物線方程聯(lián)立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，由題可知Δ＝(6k－4)2－4×k2×9＝0，解得k＝13，所以直線l的方程為y＝13x＋3；當(dāng)k＝0時，直線l的方程為y＝3，此時直線l平行于拋物線的對稱軸，且與拋物線只有一個公共點94，3；當(dāng)k不存在時，若直線l與拋物線只有一個公共點，則直線l的方程為x＝0.綜上，過點(0，3)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線l的方程為y＝13x＋3或7．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F作斜率為5的直線l與C交于M，N兩點．若線段MN中點的縱坐標為10，則點F到C的準線的距離為________.52解析：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y12＝2px兩式相減得y12－y22＝2px1－2px2，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x因為M，N兩點在斜率為5的直線l上，所以y1得5(y1＋y2)＝2p.因為線段MN中點的縱坐標為10，所以y1＋y2＝210，則5×所以F到C的準線的距離為52.8．已知焦點在x軸上的橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，短軸長為2(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)橢圓的右頂點為B，過點F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝1827，求直線解：(1)由2b＝所以橢圓C的標準方程為x24(2)由題意知，直線l的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(－1，0)，B(2，0)，設(shè)直線l的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x24+y23＝1，x＝my－1，得Δ＝36m2＋4×9×(3m2＋4)＞0，則y1＋y2＝6m又S△BMN＝12BF1y1解得m＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.9．(思維創(chuàng)新)(2024·淮北模擬)已知A(－2，0)，B(2，0)，過P(0，－1)且斜率為k的直線上存在不同的兩個點M，N滿足|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23，則k的取值范圍是()A．－B．－C．3D．－C解析：因為|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23＜|AB所以M，N是以A(－2，0)，B(2，0)為焦點的雙曲線的右支上的兩點，且c＝2，a＝3，所以b＝c2－a所以雙曲線的方程為x23－y2＝1則過P(0，－1)且斜率為k的直線方程為y＝kx－1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x消去y，整理得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0，所以1解得33＜k＜63，即k的取值范圍為10．(多選題)已知直線l：x＝ty＋4與拋物線C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則()A．y1y2為定值 B．k1k2為定值C．y1＋y2為定值 D．k1＋k2＋t為定值A(chǔ)BD解析：由x＝ty+4，y2＝4x，Δ＝16t2＋64＞0，則y對于A，y1y2＝－16為定值，故A正確；對于B，k1k2＝y(tǒng)1y2x1x對于C，y1＋y2＝4t，不為定值，故C錯誤；對于D，k1＋k2＋t＝y(tǒng)1x1+y2x2+t＝x11．已知點A(0，1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA與拋物線C的準線相交于點N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，則實數(shù)a的值為________.433解析：依題意得拋物線的焦點F的坐標為a4，0，過點M作拋物線的準線的垂線，垂足為由拋物線的定義知|MF|＝|MK|.因為|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3:又kFA＝0－1a4－0＝所以－4a＝－3，解得12．橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為12的直線l過左焦點F1且交C于A，B兩點，且△ABF45解析：如圖所示，由橢圓定義可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，則△ABF2的周長為4a設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，又△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π，故2π＝2πr，則r＝1.由題意得12得|y1－y2|＝2ac所以|AB|＝1+1k213．已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2(1)求雙曲線C的方程；(2)記O為坐標原點，過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若△OAB的面積為22，求直線l的方程．解：(1)依題意，c＝2，所以a2＋b2＝4，則雙曲線C的方程為x2a2－y2將點P5，23代入上式，得25a解得a2＝2或a2＝50(舍去)，故雙曲線C的方程為x22(2)依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因為直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，所以1解得k≠設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k所以|AB|＝1+k2又原點O到直線l的距離d＝21所以S△OAB＝12d·又S△OAB＝22，即3－k2所以k4－k2－2＝0，解得k＝±2，滿足(*)．故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y＝2x＋2和y＝－2x＋2.14．已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知直線l過定點E14，0，若橢圓C上存在兩點A，B關(guān)于直線l對稱，求直線l解：(1)因為橢圓的離心率為e＝ca＝12，長軸長為2所以a＝2，c＝1，則b2＝3，所以橢圓C的標準方程為x24(2)易知直線的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為y＝"k"("x-""1"/"4")，A(x1，y1)，B(當(dāng)k＝0時，易得在橢圓C上有無數(shù)對A，B關(guān)于直線