1.2集合間的基本關系一、集合間的基本關系：集合的包含定義符號表示圖形表示子集（subset）如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集或A包含于BA?B真子集（propersubset）如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集注意：符號“∈”與“?”不同，“∈”表示元素與集合間的關系，“?”表示集合與集合之間的關系集合的相等：若，且，則．空集（empty）：不含任何元素的集合，記為，并規(guī)定：空集任何集合的子集。是任何非空集合的真子集。注意：{0}與不同，{0}表示一個集合，且集合中有且僅有一個元素0；表示空集，其不含有任何元素

考點一：集合關系的判斷【例1】(2020·浙江高一單元測試)設集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，則集合A與B的關系為()A． B． C． D．【練1】已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，則集合M與N的關系是A．M＝N B．NMC．MN D．N?M【練2】已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，則A與B之間的關系是A．A?B B．A＝BC．AB D．BA【練3】(2020·浙江高一單元測試)已知集合，，則集合A，B之間的關系為________．考點二：集合的包含關系【例2】設A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【練2】(2020·全國高三月考(文))已知集合，則下列集合中是集合的真子集的是()A． B．C． D．【練2.1】(2020·沙坪壩重慶一中高三月考(理))已知集合，則的真子集共有()個A．3 B．4 C．6 D．7【練2.2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求實數m的取值范圍．【練2.3】已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求實數m的取值范圍．【練2.4】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A?B，求實數m的取值范圍．【練2.5】已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求實數a的取值范圍．考點三：集合子集的個數【例3】(2019·全國高三二模(文))集合,則集合的真子集的個數是A．1個 B．3個 C．4個 D．7個

課后練習(2020·浙江高一課時練習)下列關系中，正確的個數是().①；②，；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4(2020·浙江高一課時練習)已知集合是平行四邊形，是矩形，是正方形，是菱形，則()A． B． C． D．(2020·湖南天元株洲二中高二月考(文))下列集合中，是集合的真子集的是()A． B． C． D．(2020·貴州鳳岡一中高一月考)已知集合，且中至多有一個偶數，則這樣的集合共有()A．3個 B．4個 C．5個 D．6個(2019·五華云南師大附中高三月考(文))已知集合，則M的非空子集的個數是()A．15 B．16 C．7 D．8(2020·浙江高一課時練習)已知A?{0,1,2,3}，且A中至少有一個奇數，則這樣的集合A共有()A．11個 B．12個 C．15個 D．16個(2020·廣東潮州)下列各組集合中，表示同一集合的是()A．， B．，C．， D．，下列集合中表示同一集合的是()A．， B．，C．， D．，(2020·全國高一)設集合，，若，則實數a的取值范圍是()A． B．C． D．(2020·全國高一)M={x|6x2?5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P?M，則a的取值集合為A．{2} B．{3} C．{2,3} (2020·全國高一)，，若，則實數a的值構成的集合M=______________(2020·浙江高一課時練習)已知集合，是否存在實數a，使得.若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由.精講答案【例1】【答案】D【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A?B．故選D．【練1】答案C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，則M＝{1,2}，因為1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M?N.又因為0∈N但0?M，所以MN.【練2】答案D解析因為A中元素是3的整數倍，而B中的元素是3的偶數倍，所以集合B是集合A的真子集．【練3】【答案】A=B【解析】對于集合A，k=2n時，，當k=2n-1時，即集合A=,由B=可知A=B，故填：A=B.【例2】解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0個元素構成的子集為?；由1個元素構成的子集為{－4}，{－1}，{4}；由2個元素構成的子集為{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3個元素構成的子集為{－4，－1,4}．因此集合A的子集為?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集為?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．【練2】【答案】D【解析】因為，由集合的子集和真子集的概念知選項D正確.故選：D.【練2.1】(2020·沙坪壩重慶一中高三月考(理))已知集合，【答案】D【解析】因為，所以其真子集個數為.故選：D.【練2.2】解：①當B≠?時，如圖所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解這兩個不等式組，得2≤m≤3.②當B＝?時，由m＋1>2m－1，得m<2.綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．【練2.3】解(1)當B＝?時，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)當B≠?時，如圖所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3，綜上可得，m的取值范圍是{m|m<3}．【練2.4】解當A?B時，如圖所示，此時B≠?.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在實數m使A?B.【練2.5】解(1)當B＝?時，2a＞a＋3，即a＞3．顯然滿足題意．(2)當B≠?時，根據題意作出如圖所示的數軸，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3＜－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a＞4，))解得a＜－4或2＜a≤3．綜上可得，實數a的取值范圍為{a|a＜－4或a＞2}．【例3】【答案】B【解析】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個數為個，故選B．練習答案1.【答案】B【解析】對于①，是集合中的元素，即，故正確；對于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正確；對于③，集合中的元素為，，集合中的元素為，故錯誤；對于④，集合中的元素為，集合中的元素為，故錯誤.故選：B2.【答案】B【解析】因為菱形是平行四邊形的特殊情形，所以D?A，矩形與正方形是平行四邊形的特殊情形，所以B?A，C?A，正方形是矩形，所以C?B．故選B．3.【答案】D【解析】,真子集就是比A范圍小的集合;故選D4.【答案】D【解析】∵，且中至多有一個偶數，∴可能為，故選：D．5.【答案】C【解析】,所以的非空子集為共7個，故選C.6.【答案】B【解析】根據題意，分A中有1個奇數或2個奇數兩種情況討論，由排列組合知識易得每種情況下的集合A數目，由分步計數原理計算可得答案解：根據題意，A中至少有一個奇數，包含兩種情況，A中有1個奇數或2個奇數，若A中含1個奇數，有C21×22=8，A中含2個奇數：C22×22=4，由分類計數原理可得．共有8+4=12種情況；故選B．7.【答案】B【解析】A選項中，，，集合、都是點集，但集合里的元素是點，集合里的元素是點，所以集合、不是同一集合；B選項中，集合、都是數集，并且它們的元素都相同，所以時同一集合；C選項中，集合是點集、集合是數集，所以集合、不是同一集合；D選項中，集合是數集、集合是點集，集合、不是同一集合.故選：B8.【答案】B【解析】對于A選項，點和點不是同一個點，則；對于B選項，集合和中的元素相同，則；對于C選項，集合為點集，集合為數集，則；對于D選項，集合為數集，集合為點集，則.故選：B.9.【答案】C【解析】在數軸上表示和的關系，如下圖所示：可知：，故選：．1