1.5數(shù)學(xué)歸納法檢測A卷(基礎(chǔ)鞏固）一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)驗證不等式（）A． B． C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（）A． B．C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，（，）的自然數(shù)都成立，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．44．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則（）A．該命題對于n＞2的自然數(shù)n都成立B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C．該命題何時成立與k取值無關(guān)D．以上答案都不對5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被3整除”的第二步中，時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將變形為（）A． B．C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n（n∈N*）”時，由假設(shè)n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推證n＝k+1不等式成立時，不等式左邊應(yīng)增加的項數(shù)是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正偶數(shù)n均有，在驗證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）A．假設(shè)時命題成立B．假設(shè)時命題成立C．假設(shè)時命題成立D．假設(shè)時命題成立8．設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，設(shè)條直線的交點個數(shù)為，則與的關(guān)系是（）A． B．C． D．二、多選題9．對于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：①當(dāng)時，，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，.故當(dāng)時，不等式成立.則下列說法錯誤的是（）A．過程全部正確 B．的驗證不正確C．的歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確10．已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是（）A．p(k)對k＝528成立B．p(k)對每一個自然數(shù)k都成立C．p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立D．p(k)對某些偶數(shù)可能不成立11．下列說法正確的是（）A．與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法B．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值一定為1C．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可D．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，歸納假設(shè)一定要用上12．如果命題對成立，則它對也成立.則下列結(jié)論正確的是（）A．若對成立，則對所有正整數(shù)都成立B．若對成立，則對所有正偶數(shù)都成立C．若對成立，則對所有正奇數(shù)都成立D．若對成立，則對所有自然數(shù)都成立三、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______．14．已知f(n)＝1＋＋(n∈N*)，證明不等式f(2n)>時，f(2k＋1)比f(2k)多的項數(shù)是______.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時，式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為_______.16．對任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________.四、解答題17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個公差為d的等差數(shù)列，那么對任何都成立．18．已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．19．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)能被9整除．20．設(shè)，是否存在整式，使得對n≥2的一切自然數(shù)都成立?并試用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.21．已知為正整數(shù)，試比較與的大小.22．設(shè)關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)（1）求；（2）是否存在常數(shù)使得對一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論參考答案1．B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的步驟進行驗證，即可求解.【詳解】因為，故數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)驗證的情況，即.故選：B.2．B【分析】分別求出當(dāng)、時等式左端的表達式，再比較即可求解.【詳解】當(dāng)時，左端為當(dāng)時，左端為因為所以從到左端需要增乘的代數(shù)式為，故選：B.3．C【分析】分別令代入不等式驗證，即可解出．【詳解】當(dāng)時，，，，不等式不成立；當(dāng)時，，，，不等式不成立；當(dāng)時，，，，不等式成立；當(dāng)時，，，，不等式成立，所以滿足題意的的最小值為3．故選：C．4．B【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的概念即可得出選項.【詳解】由n＝k時命題成立可推出n＝k＋2時命題也成立，又n＝2時命題成立，根據(jù)逆推關(guān)系，該命題對于所有的正偶數(shù)都成立，故選：B.5．A【分析】假設(shè)時命題成立，分解的過程中要分析出含有的項即可求解.【詳解】解：假設(shè)時命題成立，即：被3整除．當(dāng)時，故選：A．6．C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可求解.【詳解】在用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n∈N*）”時假設(shè)當(dāng)時不等式成立，左邊=則當(dāng)時，左邊=則由遞推到時不等式左邊增加了：共，故選：C7．C【分析】依題意根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明判斷即可；【詳解】解：因為要證明的是對任意正偶數(shù)n均有等式成立，所以在驗證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)時命題成立．故選：C．8．C【分析】考慮當(dāng)時，任取其中1條直線，記為，由于直線與前面條直線任何兩條不平行，任何三條不共點，所以要多出個交點，從而得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，任取其中1條直線，記為，則除外的其他條直線的交點的個數(shù)為，因為已知任何兩條直線不平行，所以直線必與平面內(nèi)其他條直線都相交(有個交點)；又因為任何三條直線不過同一點，所以上面的個交點兩兩不相同，且與平面內(nèi)其它的個交點也兩兩不相同，從而時交點的個數(shù)是，故選：C9．ABC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過程可得出結(jié)論.【詳解】在時，沒有應(yīng)用時的假設(shè)，即從到的推理不正確.故選：ABC.10．AD【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個選項的正確錯誤.【詳解】由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD11．CD【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的特點判斷.【詳解】與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明不一定只能用數(shù)學(xué)歸納法，如：證明時，可用數(shù)學(xué)歸納法，也可使用裂項相消法求和，故A錯誤；數(shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值不一定為1，如：證明當(dāng)為偶數(shù)時，能被整除.初始值為2，故B錯誤；數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可且用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，歸納假設(shè)一定要用上，故CD正確.故選：CD.12．BC【分析】由推理關(guān)系，可知需分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合首項成立，即可判斷選項.【詳解】由題意可知，若對成立，則對所有正奇數(shù)都成立；若對成立，則對所有正偶數(shù)都成立.故選：BC13．【分析】將代入左邊的式子即可求解.【詳解】因為左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為：14．2k【分析】由f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，然后寫出f(2k)和f(2k＋1)進行比較可得答案【詳解】觀察f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k項.故答案為：2k15．(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6【分析】將n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【詳解】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)為偶數(shù)，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案為：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋616．5【分析】當(dāng)n＝1時，求出a＝3或5，再由當(dāng)a＝3且n＝2時，不能被14整除，即可得出答案.【詳解】當(dāng)n＝1時，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5；當(dāng)a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5.故答案為：517．證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法與步驟即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，左邊，右邊，①式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，①式成立，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義，有，于是，即當(dāng)時，①式也成立，由（1）（2）可知，①式對任何都成立．18．，證明見解析【分析】利用遞推關(guān)系式得出數(shù)列的前項，猜想，再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由，可得．由，可得．同理可得，，．歸納上述結(jié)果，猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1）當(dāng)時，③式左邊，右邊，猜想成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，③式成立，即，那么，即當(dāng)時，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想對任何都成立．19．見解析【分析】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟操作即可證明.【詳解】證明：（1）當(dāng)時，，能被9整除，故當(dāng)時，能被9整除．（2）假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即能被9整除，則當(dāng)時，也能被9整除.綜合(1)(2)可得,對任意正整數(shù)能被9整除．【點睛】本題考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，屬于容易題.20．略【詳解】試題分析：假設(shè)存在一次函數(shù)g(x)＝kx＋b(k≠0)，依題意可得k=1,b=0,故猜想g(x)=x;然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．試題證明：假設(shè)存在一次函數(shù)g(x)＝kx＋b(k≠0)，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(an－1)對n≥2的一切正整數(shù)都成立，則當(dāng)n＝2時，a1＝g(2)(a2－1)，又∵a1＝1，a2＝1＋，∴g(2)＝2，即2k＋b＝2；①當(dāng)n＝3時，a1＋a2＝g(3)(a3－1)，又∵a1＝1，a2＝1＋，a3＝1＋＋，∴g(3)＝3，即3k＋b＝3，②由①②可得k＝1，b＝0，所以猜想：存在g(n)＝n，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(n≥2，n∈N*)成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：(1)當(dāng)n＝2時，猜想成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，猜想成立，即存在g(k)＝k，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(k)(－1)對k≥2的一切正整數(shù)都成立，則當(dāng)n＝k＋1時，a1＋a2＋a3＋…＋＝(a1＋a2＋a3＋…＋)＋＝＋＝(k＋1)－k，又∵＝1＋＋＋…＋＋＝＋，∴＝－，∴a1＋a2＋a3＋…＋＝(k＋1)(－)－k＝(k＋1)(－1)，∴當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立.由(1)(2)可知，對于一切n(n≥2，n∈N*)有g(shù)(n)＝n，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(－1)都成立．【點睛】運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．21．當(dāng)n=1時,<;當(dāng)n=2時,=;當(dāng)n=3時,>;當(dāng)n=4時,=;，當(dāng)時,<【解析】試題分析：解：當(dāng)n=1時,<;１分當(dāng)n=2時,=;２分當(dāng)n=3時,>;３分當(dāng)n=4時,=;4分當(dāng)n=5時,<;當(dāng)n=6時,<猜想：當(dāng)時,<５分下面下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=5時，由上面的探求可知猜想成立６分（2）假設(shè)n=k（）時猜想成立，即７分則，，當(dāng)時，從而所以當(dāng)n=k+1時，猜想也成立9分綜合（1）（2），對猜想都成立10分考點：數(shù)學(xué)歸納法點評：對于不等式的證明可以通過通過對于n的討論來得到，屬于基礎(chǔ)題。22．（1），，（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法思想，先利用特殊值來得到參數(shù)的a,b,c的值，然后對于解題的結(jié)果運用數(shù)學(xué)歸納法加以