第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區(qū)日壇中學高三（上）開學數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|?3<x<1}，N={x|?1≤x<4}，則M∪N=(

)A.{x|?1≤x<1} B.{x|x>?3} C.{x|?3<x<4} D.{x|x<4}2.若命題p：?x∈R，sinx≥1，則￢p為(

)A.?x∈R，sinx≤1 B.?x∈R，sinx<1

C.?x∈R，sinx<1 D.?x∈R，sinx≤13.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=log2x，則f(?2)=A.?1 B.0 C.1 D.24.已知x，y是實數(shù)，則“x>y”是“x2>y2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.函數(shù)f(x)是定義在[0,+∞)上的增函數(shù)，則滿足f(2x?1)<f(13)的x的取值范圍是A.(13,23) B.[6.若i(1?z)=1，則z+z?=A.?2 B.?1 C.1 D.27.已知(x2+x+a)(2x?1)6展開式中各項系數(shù)之和為3，則展開式中A.?10 B.?11 C.?13 D.?158.中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中SN叫作信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比SN從1000提升到A.10% B.20% C.30% D.50%9.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，點P在線段AD上運動，則|PA+PB|的取值范圍是

A.[6,4+43] B.[42,8]10.設集合A={(x,y)|x?y≥1，ax+y>4，x?ay≤2}，則(

)A.對任意實數(shù)a，(2,1)∈A B.對任意實數(shù)a，(2,1)?A

C.當且僅當a<0時，(2,1)?A D.當且僅當a≤32二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線x?y+3=0被圓x2+y12.能使“cos(α+β)=cosα+cosβ”成立的一組α，β的值可以為______．13.若對任意正數(shù)x，不等式2x2+4≤2a+114.已知函數(shù)f(x)=mx2+1,x≥0(m215.已知函數(shù)fn(x)=sinnxsinx(n∈N?)，關于此函數(shù)的說法正確的序號是

①fn(x)(n∈N三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+3cosx)?3．

(Ⅰ)求f(x)的單調遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[m,π17.(本小題14分)

在△ABC中，bsinA=acos(B?π6)．

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若c=5，

求a．

從①b=7，②C=18.(本小題14分)

某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒．為了解該試劑盒檢測的準確性，質檢部門從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機選取了80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對他們進行檢測，結果如表：患者的檢測結果人數(shù)陽性76陰性4非患者的檢測結果人數(shù)陽性1陰性99(Ⅰ)從該地區(qū)患者中隨機選取一人，對其檢測一次，估計此患者檢測結果為陽性的概率；

(Ⅱ)從該地區(qū)患者中隨機選取3人，各檢測一次，假設每位患者的檢測結果相互獨立，以X表示檢測結果為陽性的患者人數(shù)，利用(Ⅰ)中所得概率，求X的分布列和數(shù)學期望；

(Ⅲ)假設該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次．若檢測結果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.5？并說明理由．19.(本小題15分)

已知曲線C：x2+2y2=8，設曲線C與y軸的交點為A、B(點A位于點B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N，直線y=1與直線BM交于點G，求證：A、20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax?1x?(a+1)lnx，a∈R．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(Ⅱ)當a≥1時，若f(x)>1在區(qū)間[1e21.(本小題14分)

設集合Sn={n,n+1,…,2n?1}，若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為Sn的奇(偶)子集．

(1)當n=3時，寫出Sn的所有奇子集；

(2)求證：當n≥3時，Sn的所有奇子集的個數(shù)等于偶子集的個數(shù)；

(3)當n≥3參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.D

7.B

8.C

9.C

10.D

11.212.α=?π3,β=13.[?114.(1,15.①②④

16.解：(Ⅰ)f(x)=2cosx(sinx+3cosx)?3=2cosx?sinx+23cos2x?3

=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3).

由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得?5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z．

所以f(x)的單調遞增區(qū)間是[?17.解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，

又bsinA=acos(B?π6)，∴asinB=acos(B?π6)，

即sinB=cos(B?π6)=cosBcosπ6+sinBsinπ6=32cosB+12sinB，

即sinB=3cosB，

∴tanB=3，

又B∈(0,π)，

∴B=π3．

(Ⅱ18.解：(Ⅰ)由題意知，80位患者中有76位用該試劑盒檢測一次，結果為陽性，

所以從該地區(qū)患者中隨機選取一位，用該試劑盒檢測一次，

結果為陽性的概率估計為P=7680=1920．

(Ⅱ)由題意，可知X～B(3,1920)，

P(X=0)=C30(1

X

0

1

2

3

P

1

57

1083

6859E(X)=3×1920=5720．

(Ⅲ)此人患該疾病的概率未超過0.5．

理由如下：

由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測一次，

那么結果為陽性的人數(shù)為99000×1100+1000×1920=1940，其中患者人數(shù)為95019.證明：曲線C：x2+2y2=8，

當x=0時，y=±2，

故A(0,2)，B(0,?2)

將直線y=kx+4代入橢圓方程x2+2y2=8得：(2k2+1)x2++16kx+24=0，

若y=kx+4與曲線C交于不同兩點M，N，

則Δ=32(2k2?3)>0，解得：k2>32，

由韋達定理得：xm+xn=?16k1+2k2

①，

xm?xn=241+2k2

②，

設N(xN,kxN20.解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0}，f′(x)=ax2?(a+1)x+1x2=(ax?1)(x?1)x2．

(1)當a≤0時，ax?1<0，令f′(x)>0，解得0<x<1，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，

令f′(x)<0，解得x>1，函數(shù)f(x)單調遞減區(qū)間為(1,+∞)．

所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為(1,+∞)．

(2)當0<a<1，令f′(x)<0，解得1<x<1a，則函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,1a)；

令f′(x)>0，解得0<x<1或x>1a，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，(1a,+∞)；

(3)當a=1時，f′(x)≥0恒成立，則則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為R，

(4)當a>1時，1a<1，令f′(x)<0，解得1a<x<1，則函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(1a,1)；

令f′(x)>0，解得0<x<1a或x>1，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1a)，(1,+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得當a=1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1e,e]上單調遞增，則f(x)min=f(1e)=1e?e?2<1，故不滿足條件，

若a≥e，則由(Ⅰ)知，函數(shù)f(x)在(1,e)上單調遞增，在(1e,1)單調遞減，

f(x)min=f(1)=a?1>e?1>1，滿足條件

當1<a<e時，由(Ⅰ)21.解：(1)當n=3時，Sn={3