第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省珠海一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1<2x≤16}，則A∩N的元素個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.5 D.62.已知復(fù)數(shù)z=(1?i)3，則z?在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列推斷正確的是(

)A.若m?α，n與α相交，則m與n異面

B.若α//β，m?α，n?β，則m//n

C.若α⊥β，m⊥α，則m//β

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，設(shè)甲：{TnA.甲是乙的充要條件

B.甲是乙的充分條件但不是必要條件

C.甲是乙的必要條件但不是充分條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5.已知sinα?cosα=2A.131454 B.?13146.已知直角三角形ABC的面積為S，AB=2BC，AB⊥BC，D、E分別在邊AB、AC上，滿足DE=λBC(0<λ<1)，若BE?CDA.13 B.23 C.147.若整數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=2024，則滿足條件“a≥2，b≥0，c≥2，d≥4”的數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)為(

)A.C20194 B.C20193 C.8.若動(dòng)直線2x+y+m=0交曲線y=ex于點(diǎn)A，交直線y=x于點(diǎn)B，則|AB|的最小值為(

)A.13 B.23 C.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到的散點(diǎn)圖如圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是(

)

A.r2>1 B.r1<0 C.10.已知函數(shù)f(x)=cos2x?A.g(x)的最小正周期為π B.g(π3)=?1

C.(11.已知A(0,83)，B(?2,0)，C(2,0)，△ABC的內(nèi)切圓為⊙I，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)⊙I在AC和AB上的切點(diǎn)為D，E.直線BI，CI分別交直線DE于點(diǎn)M，N.P是⊙I上一動(dòng)點(diǎn)，則A.|OI|=1 B.|S△PAB?S△PAC|的最大值為85

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?2x)13.已知數(shù)列{an}14.一圓錐的底面圓圓心為O，半徑為1，側(cè)面積為3π，過O且平行于圓錐的一條母線的平面與圓錐的交線為曲線E，已知E是拋物線，其焦點(diǎn)為F，則|OF|的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，圓柱OE的軸截面是正方形ABCD，AB=2，F(xiàn)在底面圓O上，BF=1，點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)．

(1)證明：EG//平面DAF；

(2)求直線DF與平面GEF所成角的正弦值．16.(本小題15分)

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足3sinC=4sinB+sinCcosA，A≥C．

(1)證明：a+c=3b；

(2)求cosB的取值范圍．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x?a)lnx?12x+a．

(1)若f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x?2y+1=0平行，求f(x)的極值；

(2)討論18.(本小題17分)

有n個(gè)上鎖的箱子(n≥2)，對(duì)應(yīng)有n把鑰匙，但不知道它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系.現(xiàn)通過如下方式打開所有箱子：選定一把鑰匙，用它逐個(gè)嘗試打開某個(gè)未打開的箱子，直至打開它對(duì)應(yīng)的箱子.每次嘗試不論是否打開了箱子，都記為一次操作.設(shè)打開所有箱子時(shí)，共進(jìn)行了X次操作．

(1)求隨機(jī)變量X的取值范圍；

(2)證明：對(duì)任意離散型隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，有E(i=1nXi)=19.(本小題17分)

已知圓F1：(x+5)2+y2=4，圓P過F2(5,0)且與圓F1外切，點(diǎn)P的軌跡為曲線E．

(1)求E的離心率；

(2)斜率為4的動(dòng)直線l與E交于M，N兩點(diǎn)．

①若MN的中點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的軌跡方程；

②若A1(?1,0)，A2(1,0)，A參考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.A

6.A

7.B

8.C

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.?160x13.380

14.4315.(1)證明：取AF的中點(diǎn)M，由條件MG是△ABF的中位線，MG/?/AB，且MG=12AB，

又正方形ABCD，DE=12DC=12AB=MG，DE//AB//MG，

所以四邊形DMGE為平行四邊形，所以EG//DM，

而DM?平面DAF，EG?平面DAF，

故EG/?/平面DAF；

(2)解：由OM是△ABF的中位線知OM/?/BF，

同理OG/?/AF，又AF⊥BF，則OG⊥OM，

又OE⊥平面ABF，則OE⊥OM，OE⊥OG，

以O(shè)M，OG，OE所在的直線分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意F(12,32,0)，B(?12,32,0)，E(0,0,2)，D(12,?32,2)，

則DF=(0,3,?2)，16.解：(1)證明：因?yàn)?sinC=4sinB+sinCcosA，

則由正弦定理可得：3c=4b+ccosA，

再由余弦定理可得：3c=4b+c×b2+c2?a22bc，

化簡(jiǎn)可得(3b?c)2=a2，則3b?c=a或c?3b=a，

又A≥C，則a≥c，所以c?3b=a不成立，則3b?c=a，即a+c=3b；

(2)由余弦定理可得：cosB=a2+c2?b22ac=a2+c17.解：(1)由f(x)=(x?a)lnx?12x+a，得f′(x)=lnx?ax+12,x>0，

由題意f′(1)=12?a=12，故a=0,f′(x)=lnx+12，

則f(x)在(0,e?12)上遞減，在(e?12,+∞)上遞增，

所以f(x)的極小值為f(e?12)=?e?12，無極大值．

(2)令g(x)=f′(x)．

①a>0，易得g(x)單調(diào)遞增，x→0時(shí)，g(x)→?∞，x→+∞時(shí)，g(x)→+∞，

則g(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn)m，

f(x)在(0,m)上遞減，在(m,+∞)上遞增，

因?yàn)閘nm?am+12=0,f(m)=(am?12)(m?a)?12m+a=?(m?2a)(2m?a)2m(?)，

且x→0時(shí)，f(x)→+∞，x→+∞時(shí)f(x)→+∞，

(i)f(m)=0，即m=2a或a2,a=12或2e32,f(x)只有m一個(gè)零點(diǎn)；

(ii)f(m)>0，即12a<m<2a，

由g(x)的單調(diào)性知，12<a<2e32，則f(x)沒有零點(diǎn)；

(iii)f(m)<0，即0<a<12或a>2e32，

則f(x)在(0,m)上和(m,+∞)上各有唯一零點(diǎn)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

②a<0，x→0時(shí)f(x)→?∞，18.解：(1)當(dāng)所有嘗試均一次成功打開箱子時(shí)，Xmin=n，…1分

而選定第k把鑰匙開始嘗試時(shí)，已經(jīng)打開了k?1個(gè)箱子，剩余n+1?k個(gè)未打開的箱子，故至多要操作n?k+1次，

所以Xmax=k=1n(n+1?k)=n2+n2，…3分

另一方面，對(duì)于操作了n次的情況，每增加一次未打開箱子的操作就會(huì)使得X增加1，

故X的取值范圍是{X∈Z|n≤X≤n2+n2}.…4分

(2)證明：先證明n=2時(shí)命題成立．

設(shè)P(X1=a1)=pi，1≤i≤k；P(X2=bj)=qj，1≤j≤l，

則E(X1+X2)=i=1k(j=1ipiiP(X2=bj|X1=ai)(ai+bj))?…6分

19.解：(1)設(shè)圓P的半徑為R，由題意知，|PF1|=R+2，|PF2|=R，

所以|PF1|?|PF2|=2，所以曲線E是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

離心率為e=|F1F2||PF1|?|PF2|=252=5；

(2)由(1)得曲線E中，c=5，a=1，所以b=5?1=2，

所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2?y24=1(x≥1)，

①設(shè)