專題10平行線的性質(zhì)定理（2大考點(diǎn)+8種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：平行線的性質(zhì)定理考點(diǎn)二：綜合應(yīng)用題型一：兩直線平行同位角相等題型二：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型六：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度題型七：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明題型八：利用平行線間距離解決問題考點(diǎn)一：平行線的性質(zhì)定理（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡(jiǎn)記為：兩直線平行，同位角相等．（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；簡(jiǎn)記為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； 簡(jiǎn)記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．考點(diǎn)二：綜合應(yīng)用1．三個(gè)距離：兩點(diǎn)之間的距離；點(diǎn)到直線、射線、線段的距離；平行線間的距離．2．幾種角：余角：∠1+∠2=90°，補(bǔ)角：∠1+∠2=180°；鄰補(bǔ)角：∠1+∠2=180°(有一條公共邊和公共頂點(diǎn))；對(duì)頂角；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．3．可以用來推理的依據(jù)：同角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等；對(duì)頂角相等；鄰補(bǔ)角的意義；角平分線的意義；垂直的意義；判定平行線的三個(gè)方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行線的三個(gè)性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；垂直于同一條直線的兩條直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；平行線間的距離處處相等；等量代換；等式的性質(zhì)．4．幾個(gè)基本性質(zhì)兩點(diǎn)之間，垂線段最短；垂線段最短；經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；經(jīng)過直線外的一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線．題型一：兩直線平行同位角相等【例1】．（2023下·上?！て吣昙?jí)期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，還在原來的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次拐彎的角度應(yīng)是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)：兩條直線平行，同位角相等．再根據(jù)題意可得兩次拐彎的方向不相同，但角度相等．【詳解】解：如圖，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由兩次拐彎后，還在原來的方向上平行前進(jìn)得：，由此可知，兩次拐彎的方向不相同，但角度相等，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B符合，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．【變式1】．（2022下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將矩形紙條折疊，折痕為，折疊后點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)，處，與交于點(diǎn)G．已知，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)折疊得出，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵矩形紙條中，∴，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同位角相等．【變式2】．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，，三角尺的直角頂點(diǎn)在直線b上，，的度數(shù)為．

【答案】/41度【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等求出，再根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2021下·上海閔行·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，垂足分別為點(diǎn)D、G，且，請(qǐng)說明與相等的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證明，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式4】．（2021下·上海松江·七年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，線、線是直線，，，．試說明．解：∵（已知），∴_________（

），∴（已知），∴_________（

），∵（已知），∴（

），即_________，∴_________（

），∴（

）．

【答案】，兩直線平行，同位角相等；，等量代換；等式的性質(zhì)；；，等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【分析】由已知條件和兩直線平行，同位角相等得出，根據(jù)，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，最終得出，證出．【詳解】證明：∵（已知），（兩直線平行，同位角相等），（已知），（等量代換），（已知），（等式的性質(zhì)），，（等量代換），（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：，兩直線平行，同位角相等；，等量代換；等式的性質(zhì)；；，等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運(yùn)用．【變式5】．（2022下·上海·七年級(jí)上外附中?？计谀┤鐖D，已知∠B＝∠F，∠BAC+∠ADE＝180°，說明AFBC的理由．解：因?yàn)椤螧AC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（______）．所以∠B＝∠______（______）．因?yàn)椤螧＝∠F（已知），所以∠______＝∠______（______）．所以AFBC（______）．【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；DEC；兩直線平行，同位角相等；F，DEC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】先根據(jù)平行線的判定證得ABDE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B=∠DEC，進(jìn)一步證得AFBC．【詳解】解：因?yàn)椤螧AC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），所以∠B＝∠DEC（兩直線平行，同位角相等），因?yàn)椤螧＝∠F（已知），所以∠F＝∠DEC（等量代換），所以AFBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；DEC；兩直線平行，同位角相等；F，DEC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．題型二：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等【例2】．（2023下·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，下列說法中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：項(xiàng)∵由得不到，故項(xiàng)不符合題意；項(xiàng)∵由得不到，故項(xiàng)不符合題意；項(xiàng)∵由得不到，故項(xiàng)不符合題意；項(xiàng)∵由可得到，故項(xiàng)符合題意．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022下·上?！て吣昙?jí)上海市文來中學(xué)?？计谥校┤鐖D：已知，，試說明的理由．【答案】過程見詳解【分析】充分利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同位角相等，同位角相等兩直線平行和內(nèi)錯(cuò)相等兩線直平行，即可得證．【詳解】證明∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴AB//EF，∴∠3=∠5，∵∠3=∠B，∴∠5=∠B，∴DE//BC，∴∠7=∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2】．（2020下·上海金山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，，說明的理由．【答案】理由見解析【分析】證明DE∥BC，得到，通過等量代換，證明，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．【變式3】．（2021下·上?！て吣昙?jí)?？计谥校┤鐖D，已知，BD//EF，那么∠B與∠1相等嗎？為什么？【答案】∠B=∠1；證明見詳解；【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求證；【詳解】解：∠B=∠1，理由如下：∵，∴DE//BC．∴．∵BD//EF，∴，∴∠B=∠1．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及證明，掌握平行線的相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，△ABC求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：如圖，作BC的延長(zhǎng)線CD，過點(diǎn)C作CE∥AB，∵CE∥AB，∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．【答案】已知；兩條直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平角的定義；等量代換【分析】作BC的延長(zhǎng)線CD，過點(diǎn)C作CE∥BA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠B，∠2＝∠A，由平角的定義得到∠1+∠2+∠ACB＝180°，等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵CE∥AB，（已知）∴∠1＝∠B，（兩條直線平行，同位角相等）．∠2＝∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，（等量代換）．故答案為：已知；兩條直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平角的定義；等量代換【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解題關(guān)鍵．題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【例3】．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，，，求的度數(shù)．（請(qǐng)寫出過程依據(jù)）【答案】，過程依據(jù)見解析【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由對(duì)頂角相等得，等量代換得，把，代入求出的值可得出結(jié)論．【詳解】解：（已知），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），（對(duì)頂角相等），（等量代換），即，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)校考期末）如圖，已知，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得到，，再利用補(bǔ)角的性質(zhì)得到，進(jìn)而列方程解答即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，、分別是和的角平分線，試完成下列填空：說明．解：因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛___________）因?yàn)椋ㄒ阎┧訽_____（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）所以（____________）因?yàn)?、分別是和的角平分線（已知）所以，（____________）所以______（等式性質(zhì)）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕▋芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）所以（____________）所以（____________）【答案】?jī)芍本€平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；同角的補(bǔ)角相等；角平分線定義；；等量代換；同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴（同角的補(bǔ)角相等），∵、分別是和的角平分線（已知），∴，（角平分線定義），∴（等式性質(zhì)），∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（等量代換），∴同位角相等，兩直線平行），故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；同角的補(bǔ)角相等；角平分線定義；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2022下·上海·七年級(jí)期中）如圖，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，試說明：∠ABH+∠CHB＝180°．【答案】見解析【分析】首先過點(diǎn)E作EMAB，過點(diǎn)F作FNCD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易證得∠MEF＝∠NFE，由平行線的判定，可得EMFN，繼而可得ABEMFNCD，然后由平行線的性質(zhì)，即可證得：∠ABH＋∠CHB＝180°．【詳解】證明：過點(diǎn)E作EMAB，過點(diǎn)F作FNCD，∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN，∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2，∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EMFN，∴ABEMFNCD，∴∠ABH+∠CHB＝180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式4】．（2022下·上?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，、之間是一座山，一條高速公路要通過、兩點(diǎn)，在地測(cè)得公路走向是北偏西如果、兩地同時(shí)開工，那么在地按北偏東多少度施工，才能使公路在山腹中準(zhǔn)確接通？為什么？【答案】在地按北偏東施工【分析】根據(jù)題意可得有平行線的性質(zhì)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出解答．【詳解】解：在地按北偏東施工，就能使公路在山腹中準(zhǔn)確接通．指北方向相互平行，、兩地公路走向形成一條直線，這樣就構(gòu)成了一對(duì)同旁內(nèi)角，，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得在地按北偏東施工．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和方向角，熟練地掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)的知識(shí)點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵．題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【例4】．（2021下·上?！て吣昙?jí)上海市南洋模范初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，已知，，于點(diǎn)，那么與有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？【答案】∠4與∠5互余，理由見解析【分析】由題意知∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠2＝∠5，得到∠5＋∠4＝90°，進(jìn)而可判斷兩角關(guān)系．【詳解】解：∠4與∠5互余，理由：∵OE⊥OA，∴∠AOE＝90°，即∠2＋∠3＝90°，∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠4＝90°∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝90°，∵，∴∠2＝∠5，∴∠5＋∠4＝90°，即∠4與∠5互余．【點(diǎn)睛】本題考查了同角的余角相等，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．【變式1】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）過點(diǎn)作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得．【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點(diǎn)作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．【變式2】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；②如圖6過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．【詳解】（1）解：如圖4所示：過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對(duì)應(yīng)的內(nèi)錯(cuò)角是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線，連結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）．（2）拓展探究：如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：．（3）解決問題：如圖③，，是與之間的點(diǎn)，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（2）見解析（3）見解析【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（3）過點(diǎn)作，過作，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作，∴（_兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等_____）．∵（已知），．∴（__平行于同一條直線的兩條直線互相平行____）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）（2）證明：∵過做∴∵∴∴∴∴∵∴(3)解：理由如下：過點(diǎn)作，過作，過作∴，，，∴，，∴，，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2021下·上海金山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點(diǎn)P．(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫出答案，不需要證明）【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．【分析】（1）過點(diǎn)作，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出，再由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）按點(diǎn)的兩種情況分類討論：①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．過點(diǎn)作，如圖1所示．，，，，，，．（2）解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖2所示．過點(diǎn)作．，，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖3所示．過點(diǎn)作．，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線，直線與直線，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，那么，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(2)若點(diǎn)在兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），試探索，，之間的關(guān)系（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】(1)，理由見解析(2)或，理由見解析【分析】（1）過作，則，，利用平行線的性質(zhì)可得，，兩式相加即可得．（2）當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由直線，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：和【詳解】（1）解：，理由如下：過作，∵，，，，，即．（2）解：或，理由如下：①當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴，∵，∴；②如圖所示，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴，∵，∴．綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式6】．（2021下·上海靜安·七年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）已知：四邊形，（如圖1），點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)C，D不重合，點(diǎn)P，A，B不在同一條直線上，若記，，分別為，，．

(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出，，之間的關(guān)系并說出理由．

(2)如果點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，探究，，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作，如圖1，由得，由得，則，所以；（2）如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，所以，即．【詳解】（1）．理由如下：過點(diǎn)作，如圖1，，，，，，；（2）如圖2，，，而，，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式7】．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）探究并嘗試歸納：(1)如圖1，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線形成一個(gè)角∠A，試求∠1+∠2+∠A的度數(shù)，請(qǐng)加以說明．(2)如圖2，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線增加一個(gè)折，形成兩個(gè)角∠A和∠B，請(qǐng)直接寫出∠1+∠2+∠A+∠B＝度．(3)如圖3，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線每增加一個(gè)折，就增加一個(gè)角．當(dāng)形成n個(gè)折時(shí)，請(qǐng)歸納并寫出所有角與∠1、∠2的總和：【結(jié)果用含有n的代數(shù)式表示，n是正整數(shù)，不用證明】【答案】(1)360°(2)540(3)【分析】（1）過作//直線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過作//直線，//直線，則AC//BD//直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過A作AB//直線，則AB//直線，，；（2）解：過作AC//直線，BD//直線，則AC//BD//直線，，，故答案為：540；（3）解：由（1），（2）知，當(dāng)形成個(gè)折時(shí)，所有角與、的總和，當(dāng)形成個(gè)折時(shí)，所有角與、的總和，當(dāng)形成個(gè)折時(shí)，所有角與、的總和，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例5】．（2022下·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，直線DE經(jīng)過點(diǎn)A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度數(shù)．【答案】∠DAB＝42°，∠CAD＝123°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠B，∠C+∠CAD＝180°可求得答案．【詳解】∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝42°，∠CAD+∠C＝180°，∴∠CAD＝180°﹣∠C＝180°﹣57°＝123°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式1】．（2022下·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知∠A的兩邊與∠D的兩邊分別平行，且∠D比∠A的3倍少20°，求∠D的度數(shù)．【答案】130°【分析】由∠A和∠D的兩邊分別平行，即可得∠A+∠D＝180°，又由∠D比∠A的3倍少20°，即可求得∠D的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠A＝x°，則∠D＝（3x﹣20）°，∵ABDE，∴∠DGC＝∠A＝x°，∵DFAC，∴∠DGC+∠D＝180°，即x+3x﹣20＝180，解得x＝50，3x﹣20＝130，∴∠D＝130°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握由∠A和∠D的兩邊分別平行，即可得∠A+∠D＝180°．【變式2】．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，，度，度，求∠C的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)已知建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵度，度，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解一元一次方程，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海靜安·七年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，是的角平分線，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而求出，再根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)求出．【變式4】．（2022下·上海·七年級(jí)期中）如圖，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求∠PAG的度數(shù)．【答案】(1)96°(2)12°【分析】（1）利用兩直線內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，相加即可求出所求的角；（2）由AP為角平分線，利用角平分線定義求出∠PAC的度數(shù)，由∠PAC?∠CAG即可求∠PAG的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°，∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝96°．（2）∵AP為∠BAC的平分線，∴∠BAP＝∠CAP＝48°，∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，是解本題的關(guān)鍵．【變式5】．（上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），，分別平分和，分別交射線于點(diǎn)C，D．(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否隨之變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，，求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)(2)不變．比值是2(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義只要證明即可；（2）不變，可以證明，；（3）想辦法證明即可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，分別平分和，∴．（2）解：不變．理由如下：∵，∴，，又∵平分，∴，即的比值是2．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于?？碱}型．【變式6】．（2023下·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)江汛期來臨之前，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在筆直且平行的長(zhǎng)江兩岸河堤上安置了兩盞激光探照燈如下圖所示．光線按順時(shí)針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時(shí)針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)．

(1)如果兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，光線和光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，①如圖1，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即_________°；用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即_________°．②如圖2，當(dāng)光線與光線垂直，垂足為H時(shí)，求的值．(2)如果光線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，光線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在光線第一次到達(dá)之前，求光線旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí)，與光線平行？【答案】(1)①t，；②(2)光線旋轉(zhuǎn)10秒或85秒時(shí)，與光線平行【分析】（1）①根據(jù)題意求出和即可；②過點(diǎn)H作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，得出，即，求出t的值即可；（2）分兩種情況討論，當(dāng)秒時(shí)，當(dāng)秒時(shí)，分別畫出圖形，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：①∵光線按順時(shí)針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)，光線按順時(shí)針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)，∴；；故答案為：t，；②過點(diǎn)H作，如圖所示：

∵，∴，∴，，∵，∴，即．解得．（2）解：設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)秒時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴時(shí)，∴，解得；當(dāng)秒時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得．綜上分析可知，光線旋轉(zhuǎn)10秒或85秒時(shí)，與光線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，并注意進(jìn)行分類討論．【變式7】．（2021下·上?！て吣昙?jí)期中）（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．（2）應(yīng)用：如圖2，ABCD，點(diǎn)在、之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的大小是多少？（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線上，連接、．若，則度（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，則；（2）利用（1）中的結(jié)論可知，，則可得的度數(shù)為，由對(duì)頂角相等可得；（3）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，注意需要討論是鈍角或是銳角時(shí)兩種情況．【詳解】解：（1）如圖1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如圖，當(dāng)為鈍角時(shí)，由（1）中結(jié)論可知，，；當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，由（1）中結(jié)論可知，，即，綜上，或．故答案為：70或290．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，難度適中，觀察圖形，推出角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式8】．（2021下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┱?qǐng)回答下列各題．(1)探究：如圖1，AB∥CD∥EF，試說明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)應(yīng)用：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)F在AB、CD之間，F(xiàn)E與AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，則∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如圖3，直線CD在直線AB、EF之間，且AB∥CD∥EF，點(diǎn)G、H分別在直線AB、EF上，點(diǎn)Q是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線GH上，連結(jié)QG、QH．若∠GQH＝70°，則∠AGQ＋∠EHQ＝度（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】(1)證明見解析(2)60°(3)70或290【分析】（1）由可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，從而可以證明結(jié)論成立；（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，則可得∠CNF的度數(shù)為60°，由對(duì)頂角相等可得；（3）分兩種情況討論，即∠AGQ是鈍角與∠AGQ是銳角時(shí)．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD．（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），同理可證，∠F＝∠DCF．∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代換）（2）解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．故答案為：60°．（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的右側(cè)時(shí)，∵AB∥CD∥EF，∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的左側(cè)時(shí)，由（1）的結(jié)論可得：．故答案為：70或290．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點(diǎn)．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點(diǎn)F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大?。敬鸢浮?1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，則∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計(jì)算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．題型六：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【例6】．（2022下·上?！て吣昙?jí)期末）閱讀并填空：如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度數(shù)．解：因?yàn)椤?＝∠3（已知），所以_______（同位角相等，兩直線平行）．所以∠2______．因?yàn)椤?＝57°（已知），所以______＝57°（等量代換）．因?yàn)椤?+_____＝180°（鄰補(bǔ)角的意義），所以∠4＝_____°（等式性質(zhì)）．【答案】a//b，＝∠5，∠5，∠5，123【分析】根據(jù)同位角相等，推出a//b，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠5，根據(jù)∠4+∠5＝180°即可得答案．【詳解】解：∵∠1＝∠3，∴a//b，∴∠2＝∠5，∵∠2＝57°，∴∠5＝57°，∵∠4+∠5＝180°，∴∠4＝123°，故答案為：a//b，＝∠5，∠5，∠5，123．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．【變式1】．（2023下·上海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過點(diǎn)E作，得（）因?yàn)椋ㄒ阎ㄋ鳎┧裕ǎ茫▋芍本€平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）所以．（等式性質(zhì)）即．因?yàn)椋ㄒ阎┧裕ǖ仁叫再|(zhì)）【答案】?jī)芍本€平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；；；；【分析】過E作，利用兩直線平行得到一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再由，利用平行于同一條直線的兩直線平行，得到，利用兩直線平行得到又一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩等式相加，可得出，將度數(shù)代入即可求出的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)E作，得（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)），因?yàn)椋ㄒ阎?，（所作），所以（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．得（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），所以（等式性質(zhì)）．即．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等式性質(zhì)）．故答案為：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；；；；．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，屬于推理型題目，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)分別在的邊上，，，，求：的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)，推導(dǎo)，從而得出，，再利用推導(dǎo)出．【詳解】解：∵，，∴∴∴，又∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，燈A射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)至原位置，燈B射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)至原位置，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A、燈B每秒分別轉(zhuǎn)動(dòng)、，且a，b滿足．已知，且．(1)求a，b的值；(2)如果兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線第一次轉(zhuǎn)到之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)C，且，求的度數(shù)；(3)如果燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒．兩燈的光線互相平行？【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）如圖1，過點(diǎn)作，可得，設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，根據(jù)角的和差關(guān)系得到關(guān)于的方程，解方程即可求解；（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況：①在燈射線到達(dá)之前；②在燈射線到達(dá)之后；進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：，，，解得：，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作，

，，設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，，，，，，解得，，；（3）解：設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，①如圖，

，，，，，在燈射線到達(dá)之前，由題意得：，解得：；②如圖，

，，，，，在燈射線到達(dá)之后，由題意得：，解得：．綜上所述，燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、解方程等知識(shí)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2022下·上海楊浦·七年級(jí)?？计谥校┮阎褐本€分別與直線，相交于點(diǎn)，，平分，，，分別為直線和線段上的點(diǎn)．(1)如圖，平分，若，求的度數(shù)．(2)如圖，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）時(shí)，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)或，證明見解析【分析】（1）首先作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推得；然后根據(jù)，推得，據(jù)此求出的度數(shù)即可．（2）①首先判斷出，然后根據(jù)，可得，推得，再根據(jù)，推得即可．②首先判斷出，然后根據(jù)，可得，推得，再根據(jù)，推得即可．【詳解】（1）解：如圖，作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，．（2）解：①如圖，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．②如圖，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．綜上，可得當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）時(shí)，或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．③定理：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式5】．（2022下·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；見解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上，通過平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）仿照（1）的解題思路，過點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖①，過點(diǎn)M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如圖②，過點(diǎn)M作MN∥AB，∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如圖③，∵M(jìn)E⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵M(jìn)F平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵M(jìn)G平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案為：∠MAB＝∠EMD；45．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)M作MN∥AB是解題的關(guān)鍵．題型七：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【例7】．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，．試說明的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)得出，再利用等量代換得出，即可判定，再利用平行的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)?？计谥校┱?qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：如圖，于D，于G，，說明平分的理由．

證明：因?yàn)橛贒，于G（已知）所以（_________________）所以（_________________）所以（_________________）所以_________（_________________）又因?yàn)椋ㄒ阎┧訽__________．（等量代換）所以平分．【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；兩直線平行，同位角相等；【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)角平分線的定義即可得證．【詳解】證明：∵于，于（已知），∴（垂直的定義），（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），（兩直線平行，同位角相等），又∵（已知），∴（等量代換），∴平分（角平分線的定義）．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；兩直線平行，同位角相等；．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，．說明的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，先證明，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得，結(jié)合已知條件，可得出，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可證明．【詳解】∵，∴，∴，即，∵，，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)校考期末）如圖，，，直線與，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F，試說明：．

【答案】見解析【分析】由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，根據(jù)平行線的判定得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，，，，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟記兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等和內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行是解決問題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，，垂足分別為點(diǎn)，，試說明的理由．

【答案】見解析【分析】先證明，得到，再由，得到，由此即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，點(diǎn)D、G分別在邊、上，且，F(xiàn)在的延長(zhǎng)線上，E在上，如果，說明的理由．

解：因?yàn)椋ㄒ阎裕╛_____）所以______（______）．因?yàn)開_____（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______（等式性質(zhì)）．所以（等量代換）．【答案】同位角相等，兩直線平行，，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，，【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（同位角相等，兩直線平行），所以（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)椋ㄈ切蔚囊粋€(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ仁叫再|(zhì)）．所以（等量代換）．故答案為：同位角相等，兩直線平行，，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．【變式6】．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，試說明的理由．

解：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（______）．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______（______）．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（______）即．所以______．所以（______）．【答案】?jī)芍本€平行，同位角相等；；等量代換；等式性質(zhì)；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【分析】由得到，得到，由得到，則，即可得到結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ攘看鷵Q）．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等式性質(zhì)）．即．所以．所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7】．（2021下·上海浦東新·七年級(jí)上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）（1）如圖a所示，，且點(diǎn)E在射線與之間，請(qǐng)說明的理由．（2）現(xiàn)在如圖b所示，仍有，但點(diǎn)E在與的上方．請(qǐng)嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到和，再根據(jù)等量代換得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，表示出，從而可得三者之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）過點(diǎn)E作，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）；過點(diǎn)E作，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，作出輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8】．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）填空，并把證明過程補(bǔ)充完整．如圖，已知中，、、分別是、、邊上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求證：．證明：點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，______，已知，______．請(qǐng)補(bǔ)充證明過程，并寫出過程依據(jù)【答案】鄰補(bǔ)角定義；同角的補(bǔ)角相等；其余過程見解析【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】證明：點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，鄰補(bǔ)角定義，(已知，同角的補(bǔ)角相等，，，，，，．故答案為：鄰補(bǔ)角定義；同角的補(bǔ)角相等．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式9】．（2023下·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，為邊上一點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)，且，，請(qǐng)說明的理由．

解：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以_________（__________________）．即_________．因?yàn)椋ㄒ阎訽________（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以_________（等量代換）．所以（__________________）．【答案】，等式性質(zhì)，，，，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．【詳解】解：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以∠DBC（等式性質(zhì)）．即∠DBF．因?yàn)椋ㄒ阎訟BC（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)椋ㄒ阎┧訢BF（等量代換）．所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型八：利用平行線間距離解決問題【例8】．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀、填空并將說理過程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線，點(diǎn)A、B在直線上，點(diǎn)C、D在直線上，與交于點(diǎn)E．與的面積相等嗎？為什么？

解：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎訽_____（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【答案】相等，理由見解析．【分析】作，垂足為，作，垂足為，根據(jù)平行線間間距相等得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，進(jìn)而可得．【詳解】解：相等，理由如下：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（平行線間距離的意義）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以與的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線間間距相等是解題的關(guān)鍵．【變式】．（上海黃浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知直線，在直線上取兩點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn)，無論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如圖2，在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請(qǐng)問應(yīng)該怎么改進(jìn)呢？寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫出相應(yīng)圖形并簡(jiǎn)述理由．（3）如圖3，王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形，中間有條分界小路（圖中折線），左邊區(qū)域?yàn)橥鯛敔數(shù)?，右邊區(qū)域?yàn)槔顮敔數(shù)摹，F(xiàn)在準(zhǔn)備把兩家田地之間的小路改為直路，請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按要求設(shè)計(jì)出修路方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形，說明方案設(shè)計(jì)理由。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)平行線間的距離處處相等，所以無論點(diǎn)在m上移動(dòng)到何位置，總有與同底等高，因此它們的面積相等；（2）利用同底等高的三角形的面積相等即可求得設(shè)計(jì)方案；（3）連結(jié)，過點(diǎn)作的平行線，連結(jié)或，則或即為所修直路．【詳解】（1）∵與有共同的邊AB，又∵，∴與的高相等，即與同底等高，∴=，故答案為：=；（2）方法一：連結(jié)，將的區(qū)域用于種植大豆，的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，則與同底等高，∴，∴，即，又由可知與同底等高，∴，∴該設(shè)計(jì)方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；方法二連結(jié)，將的區(qū)域用于種植大豆，的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，則與同底等高，∴，∴，即，又由可知與同底等高，∴，∴該設(shè)計(jì)方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；（3）方法一連結(jié)，過點(diǎn)作的平行線：連結(jié)，即為所修直路．將四邊形的區(qū)域分給王爺爺，四邊形的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：∵，則與同底等高，∴，則，即，又由可知與同底等高，∴，∴滿足修路方案；方法二：連結(jié)，過點(diǎn)作的平行線：連結(jié)，即為所修直路．將四邊形的區(qū)域分給王爺爺，四邊形的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：∵，則與同底等高，∴，則，即，又由可知與同底等高，∴，∴滿足修路方案．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩條平行線間的距離處處相等．只要兩個(gè)三角形是同底等高的，則兩個(gè)三角形的面積一定相等．解題的關(guān)鍵還要根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)一步進(jìn)行變形．一、單選題1．（2023下·上海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定的是（

）

A．； B．； C．； D．.【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵，∴是的平分線，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、∵，∴，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D、∵，∴，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知平行線的判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知，、、分別平分、、，則圖中與互余的角共有（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義求得，再證明得到，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵、分別平分、，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴與互余的角有，共5個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及互余的定義，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．3．（2023下·上海靜安·七年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┤绻麅蓚€(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角的大小可能（

）A．相等或互補(bǔ) B．相等 C．互補(bǔ) D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行分析．【詳解】解：如圖所示，和，和兩對(duì)角符合條件．∴，或，即兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題時(shí)要聯(lián)想的平行線的性質(zhì)定理，正確認(rèn)識(shí)其基本圖形，就不會(huì)忽視互補(bǔ)的情況．4．（2023下·上?！て吣昙?jí)期中）如圖，，a、b被c所截，得到的依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．同位角相等，兩直線平行D．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【答案】A【分析】由圖形可知和是一對(duì)同位角，且是由平行得到角相等，可知是平行線的性質(zhì)．【詳解】解：∵和是一對(duì)同位角，∴由得到是根據(jù)平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④，?．5．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀⒁桓比前逯械膬蓧K直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖所示的方式疊放在一起，其中，，，當(dāng)且點(diǎn)在直線的上方時(shí)，如果三角板的直角邊與邊平行，那么的度數(shù)為（

）．

A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120【答案】D【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，然后分別利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)時(shí)，如圖：

∵，，，；當(dāng)時(shí)，如圖：

∵，；綜上所述：如果三角板的直角邊與邊平行，那么的度數(shù)為或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·上?！て吣昙?jí)期中）如圖，若，用含、、的式子表示x，應(yīng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作，過M作，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，求出，，即可得出答案．【詳解】解：過C作，過M作，∵，∴，∴，，，∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．明確題意，添加合適輔助線，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023下·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線被直線所截，，且，，那么°．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，解得：，∴，即．故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程求出x是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)P是直線上的點(diǎn)，，，那么的度數(shù)是度．

【答案】33【分析】求出，利用平行線的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線、被直線所截，如果，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中?？计谀┤鐖D，，則∠B、∠C、∠D的關(guān)系是．

【答案】【分析】如圖，過作，證明，，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作，

∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．11．（2021下·上海松江·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的是，第二次拐彎處的角是，第三次拐彎處的是，這時(shí)道路恰好是和第一次拐彎之前的道路平行，則．【答案】/97度【分析】過B作，由推出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出和，進(jìn)而求出．【詳解】解：如圖，過B作，∵，∴，∴，∵，∴，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和角的計(jì)算．12．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作，若，則．【答案】45°/45度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和垂線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：．13．（2023下·上?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)平分，得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，點(diǎn)分別在邊上，如果，，那么．

【答案】1.8【分析】連接，由平行線的性質(zhì)可知，點(diǎn)，，到的距離相等，可得，，進(jìn)而可求得答案．【詳解】解：連接，

∵，∴點(diǎn)，，到的距離相等，∴，，∴，故答案為：1.8．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的之間的距離，掌握平行線之間的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們規(guī)定車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)的轉(zhuǎn)彎角是車輛原行駛路線與轉(zhuǎn)彎后路線所成的角的外角．如圖：一輛車在一段繞山公路行駛（沿箭頭方向）時(shí)，在點(diǎn)B、C和D處的轉(zhuǎn)彎角分別是、和，且，則、和之間的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)彎角的定義及平行線的性質(zhì)即可得出α、β和θ三角的關(guān)系式．【詳解】根據(jù)題干中的“規(guī)定車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)的轉(zhuǎn)彎角是車輛原行駛路線與轉(zhuǎn)彎后路線所成的角的外角”可知，在點(diǎn)B、C和D處的轉(zhuǎn)彎角分別是α、β和θ，如下圖所示．

過點(diǎn)C作，則（兩直線平行，則同位角相等）．∵，∴，∴（兩直線平行，則內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和對(duì)轉(zhuǎn)彎角名稱定義的理解，解題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)把相關(guān)的角聯(lián)系在一起．16．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知船在觀測(cè)站的北偏東方向上，且在觀測(cè)站的北偏西方向上，那么的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖所示：

，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解決問題的關(guān)鍵．17．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，、、、之間的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】【分析】過點(diǎn)作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，，，繼而可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，過作

，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021下·上海徐匯·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，如圖，四邊形中，，點(diǎn)E在線段上，為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是．

【答案】/65度【分析】由對(duì)折的性質(zhì)及求出，再和前面方法一樣用互余計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，由折疊有，，，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)與判定及余角，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，與互補(bǔ)，，試說明．解：因?yàn)榕c互補(bǔ)所以（）所以（）又因?yàn)椋ǎ┧裕ǖ仁叫再|(zhì)）即所以（）所以（）【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；已知；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定定理，完成填空即可求解．【詳解