3.4

函數(shù)的應(yīng)用(一)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.體會函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系,初步理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.能夠根據(jù)題意建立函數(shù)模型并解決實際問題.3.感受數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理的過程,提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、常見的函數(shù)模型1.在現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中,有許多問題蘊含著量與量之間的關(guān)系,可通過建立變量之間的函數(shù)關(guān)系并對所得函數(shù)進行研究的方式,使問題得到解決.我們已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型有哪些?提示:一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、反比例函數(shù).2.常見的幾種函數(shù)模型二、解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的基本步驟解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即建立函數(shù)模型,通過對函數(shù)性質(zhì)的研究解決數(shù)學(xué)問題,從而達到解決實際問題的目的.解決函數(shù)實際應(yīng)用問題的一般步驟是怎樣的?提示:(1)設(shè)恰當(dāng)?shù)淖兞?研究實際問題中的量與量之間的關(guān)系,確定變量之間的主動、被動關(guān)系,并用x,y表示問題中的變量.(2)建立函數(shù)模型:將y表示為x的函數(shù),寫出y關(guān)于x的解析式,并注意標(biāo)明函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型:根據(jù)函數(shù)模型及其定義域,利用相應(yīng)的函數(shù)知識求解函數(shù)模型.(4)給出實際問題的解:將數(shù)學(xué)模型的解還原為實際問題的解,得出實際問題的解.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)利潤=銷售單價×銷售量.(×)(2)實際應(yīng)用問題中自變量的取值范圍由所得的函數(shù)解析式唯一確定.(×)(3)解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可概括為“四步八字”,即“審題、建模、解模、還原”.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

一次函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】

某時裝表演會預(yù)算票價為每張100元,容納觀眾人數(shù)不超過2000人,毛利潤y(單位:百元)關(guān)于觀眾人數(shù)x(單位:百人)之間的函數(shù)圖象如下圖所示,當(dāng)觀眾人數(shù)超過1000人時,表演會組織者需向保險公司繳納定額保險費5000元(不列入成本費用).請解答下列問題:(1)求當(dāng)觀眾人數(shù)不超過1000人時,毛利潤y關(guān)于觀眾人數(shù)x的函數(shù)解析式和成本費用S(單位:百元)關(guān)于觀眾人數(shù)x的函數(shù)解析式;(2)若要使這次表演會獲得36000元的毛利潤,則需售出多少張門票?需付成本費多少元?(注:當(dāng)觀眾人數(shù)不超過1000人時,表演會的毛利潤=門票收入-成本費用;當(dāng)觀眾人數(shù)超過1000人時,表演會的毛利潤=門票收入-成本費用-保險費)解:(1)當(dāng)0≤x≤10時,設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx-100.由400=10k-100,得k=50,即y=50x-100.S=100x-(50x-100),即S=50x+100.(2)當(dāng)0≤x≤10時,由題意得50x-100=360,解得x=9.2(百張)=920(張).即S=50x+100=50×9.2+100=560(百元)=56

000(元).當(dāng)10<x≤20時,設(shè)此時函數(shù)解析式為y=mx+n.可得y=50x-150,S=100x-(50x-150)-50,即S=50x+100.由50x-150=360,解得x=10.2(百張)=1

020(張).S=50×10.2+100=610(百元)=61

000(元).故需售門票920張或1

020張,相應(yīng)地需支付成本費用分別為56

000元或61

000元.反思感悟在實際問題中,如果給出的兩個變量之間滿足一次函數(shù)關(guān)系或給出的函數(shù)圖象是直線,便可建立一次函數(shù)模型y=kx+b(k≠0),利用一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題.【變式訓(xùn)練1】

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價為50元,其成本為25元/件.在生產(chǎn)過程中,平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設(shè)計兩種方案對污水進行處理,并準(zhǔn)備實施.方案一:工廠污水先凈化處理后再排出,每處理1立方米污水所用原料費為2元,并且每月的排污設(shè)備損耗費為30000元;方案二:工廠將污水排到污水廠處理,每處理1立方米需付14元的排污費.問:(1)若工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品,每月利潤為y元,分別求出依方案一和方案二處理污水時,y關(guān)于x的解析式;(利潤=總收入-總支出)(2)當(dāng)工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品時,采用哪種污水處理方案可以節(jié)約支出,使工廠得到更多的利潤?解:(1)設(shè)工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品時,依方案一的利潤為y1元,依方案二的利潤為y2元,則y1=(50-25)x-2×0.5x-30

000=24x-30

000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(2)當(dāng)x=6

000時,y1=114

000元,y2=108

000元.由y1>y2,知應(yīng)選擇方案一處理污水.探究二

二次函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】

如圖所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM,使點P在邊DE上.(1)設(shè)MP=x米,PN=y米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;(2)求矩形BNPM面積的最大值.解:(1)如圖,作PQ⊥AF于點Q,則PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.因為△EPQ∽△EDF,S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),其圖象開口向下,對稱軸為直線x=10,即當(dāng)x∈[4,8]時,S(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=8米時,矩形BNPM的面積取得最大值,最大面積為48平方米.本例中,將(2)改為:若所截取的矩形BNPM的面積不小于42平方米,試求x的取值范圍.反思感悟解二次函數(shù)模型的策略(1)根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)解析式).(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值,從而解決實際問題中的最值問題.(3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象.探究三

分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例3】

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時.研究表明,當(dāng)20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的解析式;(2)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/時)f(x)=x·v(x)可以達到最大?并求出最大值.(精確到1輛/時).即當(dāng)車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大,最大值約為3

333輛/時.反思感悟構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點,即明確自變量的取值區(qū)間,對每一區(qū)間進行分類討論,從而寫出函數(shù)的解析式.【變式訓(xùn)練2】

某醫(yī)療研究所開發(fā)一種新藥,如果成人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測,服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:μg)與時間t(單位:h)之間近似滿足如圖所示的折線關(guān)系.(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)解析式;(2)據(jù)測定,每毫升血液中含藥量不少于4μg時治療疾病有效,假若某病人一天中第一次服藥為上午7:00,問一天中怎樣安排服藥時間(共4次)效果最佳?易

錯

辨

析解決實際問題時忽視定義域致錯【典例】

如圖,有一塊矩形空地ABCD,要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形EFGH為綠地,使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上(包括端點).已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,設(shè)AE=x,綠地EFGH的面積為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出它的定義域;(2)當(dāng)x為何值時,綠地面積y最大?并求出最大值.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施解決實際問題時,一方面要結(jié)合問題的實際意義確定好變量的取值范圍,另一方面,在求函數(shù)模型的最值時,一定要根據(jù)該函數(shù)模型中自變量的取值范圍求解,特別是含有參數(shù)時,應(yīng)注意分類討論.【變式訓(xùn)練】

某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運.據(jù)市場分析,每輛客車營運的總利潤y(單位:萬元)與營運年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖),則要使每輛客車營運的年平均利潤最大,需營運的年數(shù)是(

)

A.3 B.4

C.5

D.6答案:C隨

堂

練

習(xí)1.若等腰三角形的周長為20,底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù),則它的解析式為(

)A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)解析:由題意,得2x+y=20,即y=20-2x.∵y>0,∴20-2x>0,∴x<10.又三角形兩邊之和大于第三邊,∴5<x<10.故選D.答案:D2.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車,利潤(單位:萬元)分別為L1=5.06x-0.15x2(x∈N)和L2=2x(x∈N),其中x為銷售量(單位:輛),若該公司在這兩地共銷售15輛車,則可能獲得的最大利潤為(

)A.45.606萬元 B.45.6萬元C.45.56萬元 D.45.51萬元解析:題意可設(shè)在甲地銷售x輛,則在乙地銷售(15-x)輛,總利潤S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15,x∈N),故當(dāng)x=10時,Smax=45.6.答案:B3.某市為鼓勵居民節(jié)約用水,規(guī)定:每戶居民每月用水不超過10m3時,按3元/m3收費;用水超過10m3時,超過的部分按5元/m3收費.某戶居民某月繳水費55元,則該戶居民該月實際用水為(

)A.13m3 B.14m3 C.15m3 D.16m3某戶居民某月繳水費55元,易知該戶居民這個月的實際用水量超過10

m3,即5x-20=55,解得