2019-2020學(xué)年福建省普通高中高二1月學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知向量，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．如圖放置的圓柱，它的俯視圖是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)俯視圖的定義，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】俯視圖為由上向下觀察的平面圖形，所以俯視圖為圓，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了由直觀圖判斷三視圖，屬于基礎(chǔ)題.4．等比數(shù)列2，4，8，…的公比為（）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】利用等比數(shù)列的定義求公比即可.【詳解】由已知2，4，8，…為等比數(shù)列，則公比.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的概念.屬于容易題.5．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中射靶5次，每次命中的環(huán)數(shù)分別為9，9，10，9，8，則他這次射擊測(cè)試的平均環(huán)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】他這次射擊測(cè)試的平均環(huán)數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.6．不等式組，表示的平面區(qū)城為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】采用排除法可得答案.【詳解】由，排除B，C，由滿(mǎn)足知A符合，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，屬于基礎(chǔ)題.7．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則其向上一面的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用列舉法可得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式可得結(jié)果.【詳解】隨機(jī)拋擲一枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6共6種，為偶數(shù)的為2，4，6共3種情況，則概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用列舉法求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.8．已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】根據(jù)兩條直線的斜率乘積等于可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，且，所以，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了由兩條直線垂直求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.9．不等式的解集是（）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】根據(jù)二次不等式的解法求解即可.【詳解】由即得或.所以原不等式的解集為：或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.10．已知是第二象限的角，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正弦公式求解.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙薜慕?，所以?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式，屬于容易題.11．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，.【詳解】由，且，即，，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.12．函數(shù)的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)整理，再利用三角函數(shù)的值域求解最大值即可.【詳解】由，又函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的最大值為1.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式以及求三角函數(shù)的最值問(wèn)題.屬于較易題.13．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】取，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)取1時(shí)，三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值分別為，，，由圖知.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組，解對(duì)數(shù)不等式組即可.【詳解】由題，解得所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求解，其中主要考查了對(duì)數(shù)及根式有意義的條件，屬于簡(jiǎn)單題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)不等式的解法的掌握.15．用一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園.已知墻長(zhǎng)20米，則菜園面積的最大值是（）A．144 B．160 C．162 D．180【答案】C【解析】設(shè)菜園靠墻一邊的長(zhǎng)為米，則矩形菜園的寬為米，且，根據(jù)矩形的面積公式得到矩形的面積，再根據(jù)基本不等式求出最大值即可得解.【詳解】設(shè)菜園靠墻一邊的長(zhǎng)為米，則矩形菜園的寬為米，且，則菜園面積.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題16．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的的值為3，則輸出的的值是______.【答案】2【解析】根據(jù)程序框圖判斷框內(nèi)的條件進(jìn)行判斷及運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)程序框圖可知，當(dāng)時(shí)，應(yīng)執(zhí)行步驟，所以輸出的值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖判斷輸出的結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.17．已知，，與的夾角，則______.【答案】10【解析】由計(jì)算出答案即可【詳解】因?yàn)?，，與的夾角所以故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查的是向量數(shù)量積的直接計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18．在中，，，，則______.【答案】【解析】直接根據(jù)正弦定理可解得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，所以，得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.19．已知，則______.【答案】2【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入求值即可得解.【詳解】.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.20．已知函數(shù).若對(duì)任意，，且，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系列式可解得結(jié)果.【詳解】依題意分析可知，函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，所以或，即或.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題21．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，，即可得解；（2）由（1）求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出，代入求和公式即可的解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，，解得?所以，，所以的通項(xiàng)公式為，.（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，有一定的計(jì)算量，難度不大，是基礎(chǔ)題.22．已知圓：，點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且傾斜角為.（1）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求直線被圓所戴得的弦的長(zhǎng).【答案】（1）點(diǎn)在圓內(nèi)，理由見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)可得結(jié)果；（2）利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理可求得弦長(zhǎng).【詳解】（1）點(diǎn)在圓內(nèi),理由如下：由已知得圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所?因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi).（2）因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，由圓心到直線的距離，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.23．某地區(qū)2010年至2016年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：年份2010201120122013201420152016年份代號(hào)1234567人均純收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的線性回歸方程，分析2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，【答案】（1）；（2）2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，7.8千元.【解析】（1）根據(jù)根據(jù)最小二乘法估計(jì)公式，基礎(chǔ)線性回歸方程的基本量，即可得解；（2）由（1）知，，故2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，將2020年的年份代號(hào)代入，即可得解.【詳解】（1）由題意得，，所以所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.（2）由（1）知，，故2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，將2020年的年份代號(hào)代入，得，故預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.8千元.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的計(jì)算，考查了對(duì)線性回歸方程各個(gè)量的理解以及線性回歸方程的預(yù)測(cè)作用，在解題時(shí)公式已經(jīng)給出，計(jì)算相對(duì)較為繁瑣，屬于中檔題.24．如圖，在直四棱柱中，庫(kù)面四邊形的對(duì)角線，互相平分，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若______，則平面平面.試在三個(gè)條件“①四邊形是平行四邊形；②四邊形是矩形；③四邊形是菱形”中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線上，使得結(jié)論成立，并證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)，連接，由題意得，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）先判斷三個(gè)條件，判斷選擇的條件是③；先利用菱形的特點(diǎn)得到，又幾何體為直四棱柱，得到平面，進(jìn)而得到，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)，因?yàn)?，互相平分，所以為的中點(diǎn).連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：選擇的條件是③.證明如下：因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，因?yàn)樗睦庵侵彼睦庵?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫鍭EC，所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面垂直，面面垂直的判定定理.屬于中檔題.25．已知定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).（1）試給出滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)函數(shù)，并加以證明；（2）若，，寫(xiě)出的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2），單調(diào)遞增區(qū)間是.【解析】（1），根據(jù)偶函數(shù)的定義可證是偶函數(shù)；根據(jù)周期函數(shù)的定義可證4是函數(shù)的一個(gè)周期；設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，利用中點(diǎn)公式求出，可證點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.（2）利用對(duì)稱(chēng)性求出當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)周期性可求出的解析式；先求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的遞增區(qū)間為，再根據(jù)周期性得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）證明如下：①因?yàn)楹瘮?shù)的定義