初中數(shù)學(xué)（北師大版）中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型09】隱圓最值問題主講人：王建林【模型介紹】隱圓問題：隱圓，隱圓，顧名思義，就是在題目所給的條件下隱藏著沒有畫出來的圓，需要我們把它給找出來．要解決這類問題，我們首先得弄明白以下三個(gè)問題：(1)圓的定義是什么？(2)圓周角定理的內(nèi)容及其推論有哪些？(3)把隱圓找出來后有什么用？【模型介紹】圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角都相等，且都等于它所對(duì)圓心角的一半．圓周角定理推論：(1)直徑所對(duì)的圓周角是90°；(2)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(3)圓的內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，等于它的內(nèi)對(duì)角．【模型介紹】【類型一】動(dòng)點(diǎn)定長模型

(圓的定義)【類型二】直角圓周角模型

(圓周角定理推論的逆用)若動(dòng)點(diǎn)

P

滿足：AP=AB=AC，則

B、C、P

在以

A

為圓心，AB

為半徑的圓上．若線段

AB

長度固定，動(dòng)點(diǎn)

P

滿足：∠APB=90°，則

A、B、P

在以

AB

為直徑的圓上．【模型介紹】【類型三】定邊定角模型

(圓周角定理的逆用)若線段

AB

長度固定，動(dòng)點(diǎn)

P

滿足∠APB

為定值，則點(diǎn)

P

的運(yùn)動(dòng)軌跡為過

A、B、P

三點(diǎn)的圓．以AB

邊為底邊作等腰△AOB，使其頂角∠AOB=2∠APB，以

O

為圓心，OA為半徑畫圓，即為所求．【模型介紹】【類型四】四點(diǎn)共圓模型(圓周角定理推論的逆用)①若線段

AB

同側(cè)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

P、C

滿足∠APB=∠ACB，則

A、B、C、P

四點(diǎn)共圓．②若線段

AB

異側(cè)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

P、C

滿足∠APB+∠ACB=180°，則

A、B、C、P

四點(diǎn)共圓．同側(cè)相等，異側(cè)互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓【典型例題】【例1】(1)如圖，在邊長為2的菱形

ABCD

中，∠A=60°，M

是

AD

邊的中點(diǎn)，N

是

AB

邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿

MN

所在直線翻折得到△EMN，連接

EC，則

EC

長

度的最小值是______．(2)如圖，在矩形ABCD

中，已知AB=4，BC=8，點(diǎn)

O、P

分別是邊

AB、AD

的中

點(diǎn)，點(diǎn)

H

是邊

CD

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

OH，將四邊形OBCH

沿

OH

折疊，得到四

邊形

OFEH，連接

PE，則

PE

長度的最小值是______．(3)如圖，在矩形

ABCD

中，AB=4，BC=8，P、Q

分別是直線

BC、AB

上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，AE=2，將△AEQ

沿

EQ翻折形成△FEQ，連接

PF、PD，則

PF+PD

的最小值

是______．【典型例題】【例2】(1)如圖，E、F是正方形

ABCD的邊

AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接

CF交

BD于點(diǎn)

G，連接

BE交

AG于點(diǎn)

H，若正方形邊長為2，則線段

DH長度的最

小值是________．(2)如圖，在

Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且滿足∠PAB=∠PBC，則線段

CP長的最小值是________．(3)如圖，在

Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是

BC上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥

AD于

E，EF⊥AB交

BC于點(diǎn)

F，則

CF的最大值是________．【典型例題】【例3】(1)在

Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=10，BC=12，點(diǎn)

D

為線段

BC

上一動(dòng)點(diǎn)，

以CD

為⊙O直徑，連接

AD交⊙O于點(diǎn)

E，連

BE

，則

BE

的最小值為

．(2)如圖，已知

AB

是半圓

O

的直徑，點(diǎn)

C

在半圓

O

上，AB=10，AC=8，D

是弧

BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AD，過點(diǎn)

C

作

CE⊥AD

于

E，連接

BE

，在點(diǎn)

D

移動(dòng)的過程中，

BE的最小值為

．(3)如圖，已知

BE，CF

為△ABC

的高，且交于點(diǎn)

H，連接

AH

并延長交

BC

于點(diǎn)

D，

求證：AD⊥BC.(即證明三角形的三條高線交于一點(diǎn))【典型例題】【例4】(1)如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F

分別是

BC、AC

上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足：

BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為

P

點(diǎn)，則CP

的最小值為_____．(2)如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若

P

為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足：∠PAB

=∠ACP，則線段PB

長度的最小值為_____．(3)在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則

BC

長度的取值范圍是_____．【典型例題】【例5】(1)如圖，在△ABC

中，AB=AC=2，BC=

，D

點(diǎn)是△ABC

所在平面內(nèi)的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠BDC=60°，則△DBC

面積的最大值是為________．(2)如圖，正方形ABCD

的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)E、F

分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的

速度分別沿

AB、CD

向終點(diǎn)B、D

移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)

E

到達(dá)點(diǎn)

B

時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過點(diǎn)

B

作

直線

EF

的垂線BG，垂足為點(diǎn)

G，連接AG，則AG

長的最小值為________．(3)如圖，在矩形

ABCD

中，AB=4，BC=3，E、F

分別為

AB、CD

邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P

從點(diǎn)

E

出發(fā)沿

EA

向點(diǎn)

A

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

F

出發(fā)沿

FC

向點(diǎn)

C

運(yùn)動(dòng)，連接

PQ，過點(diǎn)

B

作

BH⊥PQ

于點(diǎn)

H，連接

DH，若點(diǎn)

P

的速度是點(diǎn)

Q

的速度的

2

倍，在

點(diǎn)

P

從點(diǎn)

E

運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)

A

的過程中，線段

DH

長度的最小值為________．【典型例題】【例6】(1)如圖，在△ABC

中，∠BAC=60°，AD⊥BC

于點(diǎn)

D，且AD=4，則△ABC

面積的最小值為

．(2)如圖，點(diǎn)

A

是直線

l外一點(diǎn)，AH⊥l于

H，AH=2，點(diǎn)

B、C

是直線

l上的動(dòng)點(diǎn)，

且∠BAC=90°，則△ABC

面積的最小值為

，周長的最小值為

．(3)如圖，在正方形

ABCD

中，邊長為

4，M

是