平行四邊形難度題型的初中數(shù)學(xué)組卷平行四邊形難度題型的初中數(shù)學(xué)組卷/平行四邊形難度題型的初中數(shù)學(xué)組卷平行四邊形難度題型的初中數(shù)學(xué)組卷一．解答題（共30小題）1．（2015?樂(lè)陵市模擬）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）2．（2014?重慶校級(jí)模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)G在DC上，且∠AGC=120°，求證：AG=EG+FG．3．（2013?常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．4．（2014?保亭縣模擬）如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于F，交BC的延長(zhǎng)線于G，M是FG的中點(diǎn)．（1）求證：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）試問(wèn)當(dāng)∠1等于多少度時(shí)，△ECG為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2013?昭通）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN．（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形．（2）當(dāng)AM的值為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2012?錦州）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：①請(qǐng)直接寫(xiě)出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．②若連接正方形對(duì)角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說(shuō)明理由．7．（2014春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD中，M為BC上除點(diǎn)B、C外的任意一點(diǎn)，△AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接MF、CN．（1）求證：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度數(shù)．8．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE．（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由．9．（2013?重慶）已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的長(zhǎng)；（2）求證：∠CEG=∠AGE．10．（2013?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)模擬）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線BD⊥BC，G為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且△ABG為等邊三角形，∠BAD、∠CBD的平分線相交于點(diǎn)E，連接AE交BD于F，連接GE．若平行四邊形ABCD的面積為，求AG的長(zhǎng)．11．（2013?鄭州模擬）（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H，試證明CH=EF+EG；（2）若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H，則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的猜想；（3）如圖3，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，L在BD上，且BL=BC，連接CL，點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn)，EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的猜想；（4）觀察圖1、圖2、圖3的特性，請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形，使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段的關(guān)系，并滿(mǎn)足（1）或（2）的結(jié)論，寫(xiě)出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論．12．（2013?江北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．過(guò)點(diǎn)D作DC的垂線，分別交AE、AB于點(diǎn)M、N．（1）若M為AG中點(diǎn)，且DM=2，求DE的長(zhǎng)；（2）求證：AB=CF+DM．13．（2013?張家界）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由．14．（2011?福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式．15．（2013春?義烏市期末）如圖1，在正方形ABCD中，BD是對(duì)角線，點(diǎn)E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，點(diǎn)F是DG的中點(diǎn)，連結(jié)EF與CF．（1）求證：EF=CF；（2）求證：EF⊥CF；（3）如圖2，若等腰直角三角形△BEG繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變，請(qǐng)判斷△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．16．（2013?營(yíng)口）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．17．（2012?廈門(mén)）已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE=PF．（1）如圖，若PE=，EO=1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF=BC+3﹣4，求BC的長(zhǎng)．18．（2013?萬(wàn)盛區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如圖2，若H為AB上一點(diǎn)，連接CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．19．（2013?重慶模擬）如圖，已知?ABCD中，DE⊥BC于點(diǎn)E，DH⊥AB于點(diǎn)H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點(diǎn)F、G、M，且DE=AD．（1）求證：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．20．（2013?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，?ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于點(diǎn)E．（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度數(shù)；（2）求證：AB=2OE．21．（2012?東營(yíng)）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．22．（2011?大田縣質(zhì)檢）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm2？（3）是否存在點(diǎn)P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2010?盤(pán)錦）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫(xiě)出△AEF和△ABC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（2012?黔南州）如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P（如圖2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖2的AB邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2010?順義區(qū)）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥FC，交直線AB于點(diǎn)H．判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2，若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明．26．（2012?廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②連接CF，當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值．27．（2011?廈門(mén)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△BEP為等腰三角形？28．（2013?沈陽(yáng)模擬）在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC．（1）如圖1，若∠ADC=90°，G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG．①求證：BE=BF．②請(qǐng)判斷△AGC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若∠ADC=60°，將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG，連接AG、CG．則△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明）29．（2013?重慶模擬）如圖①，在正方形ABCD中，E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE交BC于點(diǎn)G．（1）求證：AF=FG；（2）如圖②，連接EG，當(dāng)BG=3，DE=2時(shí)，求EG的長(zhǎng)．30．（2010?寧德）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的