9.4矩陣的初等變換與逆_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

9.4矩陣的初等變換與初等矩陣1.矩陣的初等變換引例解方程組得方程組的解1．對(duì)方程組共進(jìn)行了三種變換(1)交換兩方程的位置；(2)方程兩邊乘以不為0的數(shù)k；(3)一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍.對(duì)上述作法進(jìn)行歸納方程組的初等變換(同解變換)在上述變換過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．將方程組的系數(shù)和常數(shù)按原來(lái)的順序排列成數(shù)表，稱(chēng)為增廣矩陣行列元素2．消元與回代的操作可通過(guò)增廣矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)例如定義以下三種變換為矩陣的初等行變換矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換

同理可定義初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．任意矩陣A都可經(jīng)過(guò)初等變換，可化成下列形式．等價(jià)類(lèi)特點(diǎn)：如果矩陣A可經(jīng)過(guò)初等變換變?yōu)锽，則當(dāng)detA不為零時(shí)，detB也不為零．反之亦然推論行列式不為零的矩陣A必可經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)閱挝痪仃嚩?、逆矩陣的概念和性質(zhì)定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱(chēng)為的逆矩陣.,使得例設(shè)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(2)若A可逆,則也可逆,且(3)若A可逆,數(shù)k

0,則kA可逆,且(4)若A,B為同階方陣,且均可逆,則AB也可逆,且(1)若A可逆,則唯一推廣(5)若A可逆,則AT也可逆,且(6)若A可逆,則有判定：n階方陣A可逆n階方陣A可逆n階方陣A不可逆當(dāng)時(shí),稱(chēng)不可逆矩陣A為奇異矩陣或退化,時(shí),稱(chēng)可逆矩陣A為非奇異矩陣或非退化當(dāng)定義設(shè)A為n階方陣，為A中元素的代數(shù)余子式.稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣.【注】(1)A中第i行第j列元素aij的代數(shù)余子式Aij是的第j行第i列的元素;

(2)

是由所有的代數(shù)余子式Aij所組成的矩陣.伴隨矩陣.性質(zhì)若A為n階矩陣,為A的伴隨矩陣,則非奇異矩陣

定理

矩陣可逆的充要條件是，且

其中為A的伴隨矩陣.例2求方陣的逆矩陣.解同理可得故2、利用初等變換求矩陣的逆對(duì)(A，E)作初等行變換，當(dāng)把A變?yōu)锽時(shí)，E就變?yōu)镻如果矩陣B是單位矩陣E，則對(duì)（A，E）作同樣的初等行變換，那么當(dāng)變成單位矩陣時(shí)，就變成。即，類(lèi)似的初等列變換解：

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