分支限界法

2024/7/42

of158人1234

A21097

B154148

C13141611

D4

1513922A做1B做1C做1D做1274133243624342831A做2B做2C做2A做3C做3283739B做2C做2D做2A→3,B→2,C→4,D→1,總時間為28例1：用分支限界法求解分配問題2024/7/43

of158例2：同順序任務加工問題：設有4項待加工的任務J1,J2,J3,J4,它們的工序相同：每個任務必須先在機器M1上加工，然后在機器M2上加工，最后在M3上加工。各加工時間已知。求一最佳加工順序使得盡早完工。2024/7/44

of158設tij為任務Ji在機器Mj上的加工時間，且加工時間矩陣T為：T=J1J2J3J457910529957810M1M2M3

=(tij)4*32024/7/45

of158如若加工順序是：

J2→J3→J1→J4則從開始到結束所需的時間可計算如下圖：2024/7/46

of158理想的加工安排是：M2無空閑，最后一個在M3上加工的任務時間最短。估計下界：比如從Ji開始的加工順序，估計加工所需的最短時間為：

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

2024/7/47

of158M1先加工J1

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t11+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠1T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=5+(7+5+9+8)+2=362024/7/48

of158M1先加工J2

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t21+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠2T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=10+(7+5+9+8)+5=442024/7/49

of158M1先加工J4

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t41+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠4T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=7+(7+5+9+8)+2=382024/7/410

of1582024/7/411

of158一般從Ji開始，繼以Jj的任務安排，理想時間為：ti1+tj1+Σtk2+min{th3}

k≠ih≠i,jJ1

→J2

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+10+(5+9+8)+5=422024/7/412

of158ti1+tj1+Σtk2+min{th3}

k≠ih≠i,jJ1

→J3

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+9+(5+9+8)+2=38J1

→J4:

36

J1

→J2:422024/7/413

of158Ji→Jj

→Jk的下界：ti1+tj1+tk1+Σtp2+tq3

p≠i,jJ1

→J4

→J2

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+7+10+(5+9)+5=41J1

→J4

→J3:

37

2024/7/414

of1582024/7/415

of1582024/7/416

of158例3：貨郎擔問題

首先考慮根結點，即求所有路線的下界。對D的每行減去該行的最小元素或每列減去該列的最小元素，得到一個新的矩陣，使得每行和每列至少有一個零元素。這叫做行規(guī)約和列規(guī)約?！?43056∞11436∞561013∞2133411∞D=2024/7/417

of158規(guī)定：先做行規(guī)約，再做列規(guī)約5∞143056∞11436∞561013∞2133411∞D=1∞925017∞81002∞1213811∞010018∞先行規(guī)約∞924017∞71002∞1213810∞010008∞18(=5+3+4+2+3+1)記作

D’再列規(guī)約183423首先計算第一個0所對應的邊142024/7/418

of158h～14=20h～25=19

h～31=26h～45=26h～52=20h～53=25∞924∞17∞71002∞1213810∞010008∞1811v1

v2v3v4v5v1v2v3v4v5∞823∞07∞70002∞0213810∞010007∞20(=18+1+1)1826~31?312024/7/419

of158走31的計算方法

18v1

v2v3v4v5v1v2v3v4v5∞924017∞71002∞1213810∞010008∞189∞01∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v518182631~312024/7/420

of158

h～14=20h～25=19h～45=26h～52=26h～53=25

26~459∞01∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v51818182631~31?459∞∞1∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v5189∞0∞7100∞

v1

v2v5

v2v3v4

182024/7/421

of158

26~4518182631~3119452528∞000v2v5

v2v3

2514~1453不能選選擇23，5231，45，14，23，521→4→5→2→3→1總花費是：252024/7/422

of158方法概述:基本思想在解空間樹中,以廣度優(yōu)先BFS或最佳優(yōu)先方式搜索最優(yōu)解,利用部分解的最優(yōu)信息,裁剪那些不能得到最優(yōu)解的子樹以提高搜索效率。搜索策略是：在擴展結點處，先生成其所有的兒子結點（分支），然后再從當前的活結點表中選擇下一個擴展結點。2024/7/423

of158方法概述:基本思想為了有效地選擇下一擴展結點，以加速搜索的進程，在每一活結點處，計算一個函數值（限界），并根據這些已計算出的函數值，從當前活結點表中選擇一個最有利的結點作為擴展結點，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進，以便盡快地找出一個最優(yōu)解。2024/7/424

of158分支限界法與回溯法的區(qū)別求解目標不同：一般而言，回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解；搜索方法不同：回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索，而分枝限界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費方法來搜索；

2024/7/425

of158分支限界法與回溯法的區(qū)別對擴展結點的擴展方式不同：分支限界法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點?；罱Y點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點；存儲空間的要求不同：相對而言，分枝限界法的存儲空間比回溯法大得多，因此當內存容量有限時，回溯法成功的可能性更大

2024/7/426

of158方法概述:求解步驟①定義解空間(對解編碼);②確定解空間的樹結構;③按BFS等方式搜索:

a.每個活結點僅有一次機會變成擴展結點；

b.由擴展結點生成一步可達的新結點；

c.在新結點中,刪除不可能導出最優(yōu)解的結點；

//剪枝策略

d.將余下的新結點加入活動表(隊列)中；

e.從活動表中選擇結點再擴展；

//選擇策略

f.直至活動表為空；2024/7/427

of158方法概述:

兩種常見的活結點擴充方式先進先出隊列（FIFO）:即從活結點表中取出結點的順序與加入結點的順序相同，因此活結點表的性質與隊列相同；優(yōu)先隊列（耗費用小根堆,受益用大根堆）:每個結點都有一個對應的耗費或收益。

-如果查找一個具有最小耗費的解，則活結點表可用最小堆來建立，下一個擴展結點就是具有最小耗費的活結點；

-如果希望搜索一個具有最大收益的解，則可用最大堆來構造活結點表，下一個擴展結點是具有最大收益的活結點。2024/7/428

of158堆（Heap)堆給定一個序列A[]={A[1],A[2],…,A[n]},可以按如下的方式構造一棵二叉樹：A[1]為根對任何一個A[i],它的左兒子是A[2i],右兒子是A[2i+1]如果2i或2i+1超過n，則A[i]沒有相對應的那個兒子2024/7/429

of158堆堆A[1]A[2]A[3]A[4]A[5]A[6]A[7]A[8]A[9]2024/7/430

of158堆堆所構造的樹有如下性質所有葉子在樹的最底層或倒數第二層如果最底層的節(jié)點不能完全填滿，則總是在最左邊這樣的樹叫左-完全二叉樹2024/7/431

of158堆堆如果一個左-完全二叉樹有下列性質：任何一個非葉節(jié)點的值都大于等于（或小于等于）它的兒子的值則這個樹稱為大（小）頂堆一個堆對應的序列顯然有如下性質：大頂堆小頂堆2024/7/432

of158堆堆96，83，27，38，11，99683273811912，36，24，85，47，30，53，9112362485473053912024/7/433

of158堆堆—堆調整假設已經有一個現(xiàn)成的（大頂）堆，調整的目的是把堆頂（根）的最大元素和序列的最后一個元素交換，然后把剩下是元素繼續(xù)建成堆2024/7/434

of158堆50243020211831256堆—堆調整

假設已經有一個堆，把堆頂元素和最后一個元素交換624302021183125500)剩下的序列中，堆的性質被破壞，調整堆就是把剩余的序列重新建成堆2024/7/435

of158堆堆—堆調整1)新的堆頂元素小于它的兒子，所以不能構成堆，調整它的位置把它和較大的兒子交換62430202118312550302462021183125502)調整后，右子樹的根仍小于它的兒子，所以把它和它的大兒子交換2024/7/436

of158堆堆—堆調整3)新堆構成302418202163125502024/7/437

of158堆排序（HeapSort)堆—堆調整voidHeapAdjust(int*h,introot,intm){

//已知h[root..m]除根root以外都滿足堆的定義，目的成為大頂堆

int

rc;rc=h[root];intj;

for(j=2*root;j<=m;j*=2){//沿較大兒子向下篩選

if(j<m&&h[j]<h[j+1])j++;//j為較大兒子的下標

if(rc>=h[j])break;//rc應該插入在位置root上

h[root]=h[j];root=j;}

h[root]=rc; }2024/7/438

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進行堆調整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調整，直到整個樹構成堆20213561830125024202135241830125062024/7/439

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進行堆調整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調整，直到整個樹構成堆20213502418301256202130502418312562024/7/440

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進行堆調整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調整，直到整個樹構成堆20503021241831256502430212018312562024/7/441

of158堆堆—堆建立最后一個非葉節(jié)點是從[n/2]開始的，所以從這個節(jié)點開始向前調整

for(inti=length/2;i>0;i--){

HeapAdjust(h,i,length);}2024/7/442

of158方法概述:示例1示例1（FIFO隊列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數n=3,重量w=(20,15,15),價值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價值之和的物品?求解：

①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO111111100000002024/7/443

of158方法概述:示例1③BFS搜索（FIFO隊列）擴展結點活結點隊列(可行結點)可行解(葉結點)解值

AB,CBCBD,E(D死結點)CECF,GEFGEJ,K(J死結點)FGK40FL,MGL,M50,25GN,OφN,O25,0

∴最優(yōu)解為L,即(0,1,1);解值為50DBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=302024/7/444

of158方法概述:示例2示例2（優(yōu)先隊列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數n=3,重量w=(20,15,15),價值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價值之和的物品?求解：

①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO111111100000002024/7/445

of158方法概述:示例2BFS搜索（優(yōu)先隊列：按價值率優(yōu)先）擴展結點活結點堆(可行結點)可行解(葉結點)解值

AB,CBD,E(D死結點)EJ,K(J死結點)K40CF,G

FL,ML

50(最優(yōu))GN,OφBCECFGCGDBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=302024/7/446

of1586.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點?；罱Y點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優(yōu)解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重復上述結點擴展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結點表為空時為止。2024/7/447

of1586.1 分支限界法的基本思想常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法按照隊列先進先出（FIFO）原則選取下一個節(jié)點為擴展節(jié)點。

（2）優(yōu)先隊列式分支限界法按照優(yōu)先隊列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點成為當前擴展節(jié)點。2024/7/448

of1586.2 單源最短路徑問題1.問題描述單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。

2024/7/449

of1586.2 單源最短路徑問題

下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產生的解空間樹。其中，每一個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長。2024/7/450

of1586.2 單源最短路徑問題：基本思想

解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結點表。其優(yōu)先級是結點所對應的當前路長。算法從圖G的源頂點s和空優(yōu)先隊列開始。結點s被擴展后，它的兒子結點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結點作為當前擴展結點，并依次檢查與當前擴展結點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結點i到頂點j有邊可達，且從源出發(fā)，途經頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小于當前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點作為活結點插入到活結點優(yōu)先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續(xù)到活結點優(yōu)先隊列為空時為止。2024/7/451

of1586.2 單源最短路徑問題剪枝策略在算法擴展結點的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結點的下界不小于當前找到的最短路長，則算法剪去以該結點為根的子樹。在算法中，利用結點間的控制關系進行剪枝。從源頂點s出發(fā)，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應的樹中的結點為根的子樹剪去。2024/7/452

of158

while(true){//搜索問題的解空間

for(intj=1;j<=n;j++)

if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){//頂點i到頂點j可達，且滿足控制約束

dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;

HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結點優(yōu)先隊列

}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j的路徑長2024/7/453

of1586.3裝載問題1.問題描述有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

2024/7/454

of1586.3裝載問題2.隊列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測當前擴展結點的左兒子結點是否為可行結點。如果是則將其加入到活結點隊列中。然后將其右兒子結點加入到活結點隊列中(右兒子結點一定是可行結點)。2個兒子結點都產生后，當前擴展結點被舍棄?；罱Y點隊列中的隊首元素被取出作為當前擴展結點，由于隊列中每一層結點之后都有一個尾部標記-1，故在取隊首元素時，活結點隊列一定不空。當取出的元素是-1時，再判斷當前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標記-1加入活結點隊列，算法開始處理下一層的活結點。2024/7/455

of1586.3裝載問題：隊列式分支限界法while(true){if(ew+w[i]<=c)enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結點

enQueue(ew,i);//右兒子結點總是可行的

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴展結點

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(newInteger(-1));//同層結點尾部標志

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴展結點

i++;//進入下一層

}}2024/7/456

of1586.3裝載問題3.算法的改進節(jié)點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設bestw是當前最優(yōu)解；ew是當前擴展結點所相應的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當ew+r

bestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進入左子樹的時候更新bestw的值。2024/7/457

of1586.3裝載問題3.算法的改進//檢查左兒子結點

intwt=ew+w[i];if(wt<=c){//可行結點

if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結點隊列

if(i<n)queue.put(newInteger(wt));}提前更新bestw

//檢查右兒子結點

if(ew+r>bestw&&i<n)//可能含最優(yōu)解

queue.put(newInteger(ew));

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴展結點

右兒子剪枝

2024/7/458

of1586.3裝載問題4.優(yōu)先隊列式分支限界法解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結點表?；罱Y點x在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結點到結點x的路徑所相應的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結點成為下一個擴展結點。以結點x為根的子樹中所有結點相應的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結點所相應的載重量與其優(yōu)先級相同。在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結點成為當前擴展結點，則可以斷言該葉結點所相應的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。

2024/7/459

of1586.50-1背包問題算法的思想首先，要對輸入數據進行預處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。在下面描述的優(yōu)先隊列分支限界法中，節(jié)點的優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。算法首先檢查當前擴展結點的左兒子結點的可行性。如果該左兒子結點是可行結點，則將它加入到子集樹和活結點優(yōu)先隊列中。當前擴展結點的右兒子結點一定是可行結點，僅當右兒子結點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結點優(yōu)先隊列。當擴展到葉節(jié)點時為問題的最優(yōu)值。2024/7/460

of1586.50-1背包問題上界函數while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數，cleft為剩余空間

{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間

b+=p[i];//p[i]表示i的價值

i++;}if(i<=n)b+=p[i]/