課時規(guī)范練35直接證明與間接證明1.用合適的方法證明:(1)已知a,b都是正數(shù),求證:a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)已知a是整數(shù),a2是偶數(shù),求證:a也是偶數(shù).2.(2022吉林東北師大附中檢測)已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=4,a2=52,an+1=an+bn2,bn+1=2a(1)求證:anbn=4;(2)求證:2<an+1<an;(3)設數(shù)列{an2}的前n項和為Sn,求證:Sn<16+3.(1)用分析法證明:若x>1,則3x2+1x2>3x+1x>(2)用反證法證明:若a<e2,則函數(shù)f(x)=ax2-4ex(x>0)無零點.4.列三角形數(shù)表:假設第n行的第二個數(shù)為an(n≥2,n∈N*).(1)歸納出an+1與an的關系式并求出an的通項公式;(2)求證:數(shù)列{an}(n≥2,n∈N*)中任意的連續(xù)三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列.

參考答案課時規(guī)范練35直接證明與間接證明1.證明(1)綜合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)·(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)·(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因為a,b都是正數(shù),所以上式非負,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)反證法:假設a不是偶數(shù),即a是奇數(shù),不妨設a=2n+1(n∈Z),則a2=4n2+4n+1.因為4(n2+n)是偶數(shù),所以4n2+4n+1是奇數(shù),這與已知a2是偶數(shù)矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶數(shù).2.證明(1)因為an+1bn+1=an+bn2×2anbnan+又a1=4,a2=52,且a2=a1+b12,則b1=1,故anbn=a(2)由題易知an>0,bn>0,n∈N*.由(1)可知bn=4an,所以an+1=12an+4an≥12×2an·4an此時an+1=2,即{an}為常數(shù)列,an=2(n∈N*)與a1=4矛盾,所以an>2(n∈N*),所以an+1-an=124an-an=所以2<an+1<an.(3)由(2)知an>2(n∈N*),所以an+12=an+bn22=14an2+16則an+12-4<14(an2-4),故an2-4<(a12-4)14n-1(n≥2),即a所以當n=1時,S1=a12=16<16+4當n≥2時,Sn<16+1214+142+…+14n-1+4(n-1)=16+12×14×[1-(14)

n-1]1-14+4(n-1)=16+4-14n-2+4n-4=16+綜上,Sn<16+4n.3.證明(1)因為x>1,所以要證3x2+1x2>3x+只需證3x4+1>3x3+x,即證3x3(x-1)>x-1,所以只需證3x3>1.因為x>1,所以3x3>3>1,故3x2+1x2>3x+1令t=x>1,則3x+1x>3x+1x等價于3t2+1t又因為已證明3x2+1x2>3x+所以3t2+1t2>3t+故3x2+1x2>3x+1x>(2)假設函數(shù)f(x)=ax2-4ex(x>0)有零點,則方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=4exx2在(0,設g(x)=4exx2(x>0),g'(x)=當0<x<2時,g'(x)<0;當x>2時,g'(x)>0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因為a<e2,所以a=4exx2在(0,顯然矛盾,故假設不成立,即原命題得證.4.(1)解由三角形數(shù)表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N*),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=(n-2)(n-1+2)又a2=2也滿足上式,∴an=n2-n+22(n≥2,n(2)證明(反證法)假設{an}中存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列,可設an-1,an,an