專題05中點(diǎn)模型之中位線、斜邊中線、中點(diǎn)四邊形期末真題匯編之六大題型中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運(yùn)用，在各類考試中都會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對(duì)初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義.常見的中點(diǎn)模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④中位線模型；⑤直角三角形斜邊中點(diǎn)模型；⑥中點(diǎn)四邊形模型.本專題就中點(diǎn)模型的后三類模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握.模型1：中位線模型三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點(diǎn)分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC.中點(diǎn)三角形：三角形三邊中點(diǎn)的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一.模型運(yùn)用條件：構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)）.模型2：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個(gè)直角三角形組成的圖中，M為中點(diǎn)，則（1）；（2）．模型運(yùn)用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點(diǎn)時(shí)）模型3：中點(diǎn)四邊形模型中點(diǎn)四邊形：依次連接四邊形四邊中點(diǎn)連線的四邊形得到中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形是中點(diǎn)模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用.中點(diǎn)四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會(huì)涉及中位線這一重要知識(shí)點(diǎn)，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊.結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點(diǎn)M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，則四邊形MNPQ為平行四邊形.圖1圖2圖3圖4結(jié)論2：順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形.結(jié)論3：順次連結(jié)對(duì)角線相等四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形.結(jié)論4：順次連結(jié)對(duì)角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形.推廣與應(yīng)用1）中點(diǎn)四邊形的周長：中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對(duì)角線之和.2）中點(diǎn)四邊形的面積：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的.與三角形中位線有關(guān)的求解問題例題：（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·期末）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則．

【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由可得點(diǎn)為中點(diǎn)，從而可得為的中位線，進(jìn)而求解．【詳解】解：在矩形中，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為的中位線，．故答案為：3【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·重慶萬州·期末）如圖，是的中位線，的角平分線交于點(diǎn)F，若，則的長為．

【答案】4【分析】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，能熟記三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解決問題的關(guān)鍵，根據(jù)三角形的中位線得出，，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義得出，得到，根據(jù)等腰三角形的判定得出，即可求出．【詳解】解：∵是的中位線，，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：4．2．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，已知，延長直角邊BC至點(diǎn)D，使，E為直角邊AC上的點(diǎn)，且，連接ED，P，Q分別為AB，ED的中點(diǎn)，連接PQ，則．【答案】【分析】本題考查三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)．連接，取中點(diǎn)，連接，，由三角形中位線定理推出，，，，再證明，根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】解：連接，取中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)H．∵，分別為，的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，，，，∵，，∴，∵，，∴在中，．故答案為：三角形中位線與三角形面積問題例題：（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在上且，連接，相交于點(diǎn)，則．

【答案】/0.6【分析】取中點(diǎn)可證得，進(jìn)一步推出故可得出結(jié)論．【詳解】解：取中點(diǎn)，則是中位線，∴，，∴，∴設(shè)，則，，∴，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．結(jié)合條件進(jìn)行幾何推導(dǎo)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，是的中位線，F(xiàn)是的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)G，若的面積為，則的值為．【答案】4【分析】取的中點(diǎn)H，連接，根據(jù)三角形的中位線定理可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，全等三角形的面積相等可得，再求出，再根據(jù)等高的三角形的面積比等于底邊的比求出兩三角形的面積的比，即可得解答案；【詳解】解：取的中點(diǎn)H，連接，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，是的中位線，∴，，∴，∵F是的中點(diǎn)，，在和中，∵∴，∴，，∵，∴，∵的面積為，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線，利用三角形的中位線進(jìn)行解題是解題的關(guān)鍵．2．（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖，的面積是16，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積是．

【答案】8【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，可得，同理可得，，，即可得到四邊形的面積．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是，，，的中點(diǎn)，∴是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，∴，同理可得：，，，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線有關(guān)的面積計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．與三角形中位線有關(guān)的證明例題：（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)P是對(duì)角線的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，延長線段交的延長線于點(diǎn)E，延長線段交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的大小．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了三角形中位線定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理即可得到結(jié)論．（1）根據(jù)三角形中位線定理得到，，求得，同理，，等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵P是的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，∴，，∴，同理，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（21-22九年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，四邊形中，，P是對(duì)角線的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)．(1)判斷的形狀，并證明；(2)當(dāng)、所在直線存在什么關(guān)系時(shí)，．【答案】(1)是等腰三角形，見解析(2)當(dāng)時(shí)，，見解析【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)；（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，，結(jié)合已知證明即可；（2）延長、交于點(diǎn)E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，結(jié)合，即可得到此時(shí)．【詳解】（1）是等腰三角形；證明：∵P是對(duì)角線的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，，，∵，∴，∴是等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，；證明：如圖，延長、交于點(diǎn)E，由（1）得：，，∴，，∵，即，∴，∴，即．2．（23-24九年級(jí)上·云南昆明·期末）數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑，通過猜想探究圖形的變化規(guī)律，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．如圖1，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想圖1中的形狀是______；(2)探究證明把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的形狀是否發(fā)生改變？并說明理由．【答案】(1)等邊三角形(2)不發(fā)生改變，理由見解析【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用三角形的三邊關(guān)系解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．（1）利用三角形的中位線定理證明，再證明即可解決問題．（2）的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形．如圖2中，連接，．證明，即可解決問題．【詳解】（1）解：結(jié)論：是等邊三角形．理由：如圖1中，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形．（2）解：的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形，理由如下：如圖2中，連接，．由旋轉(zhuǎn)可得，是等邊三角形，，，又，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，，且．同理可證且，，，，，，是等邊三角形．三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用例題：（22-23八年級(jí)下·吉林·期末）如圖，為估計(jì)池塘兩岸邊A，B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O，分別取的中點(diǎn)M，N，測得，則A，B兩點(diǎn)間的距離是．

【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵的中點(diǎn)分別為M，N，∴是的中位線，∴，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線定理，熟練掌握中位線定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·湖南岳陽·期末）在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們?cè)谕膺x擇一點(diǎn)C，測得，兩邊中點(diǎn)的距離為15m，則A，B兩點(diǎn)的距離是m．

【答案】30【分析】根據(jù)題意得出為的中位線，然后利用其性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D、E為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∵，∴，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（21-22八年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖所示，李叔叔家有一塊呈等邊三角形的空地已知分別是的中點(diǎn)，測得，李叔叔想把四邊形用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長是【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到，由中點(diǎn)定義得到，由三角形中位線定理得到，即可解決問題．【詳解】解：是等邊三角形，∴，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴為等邊三角形，，分別是的中點(diǎn)，，是的中位線，，需要籬笆的長是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到．直角三角形斜邊中線模型例題：（22-23八年級(jí)下·吉林·期末）如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)E作的平行線，交的延長線于點(diǎn)F．若，則的長為．【答案】4【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線為斜邊一半，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得、結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵為直角三角形斜邊中線，∴∴．故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·貴州黔東南·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線定理．作關(guān)于的對(duì)稱圖形，連接，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，最小，，再根據(jù)三角形中位線定理可得，即可求解．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱圖形，連接，∵在中，，，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，最小，此時(shí)：，∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，即的最小值為故答案為：2．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，在中，為斜邊的中點(diǎn)，將沿中線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)，連結(jié)．（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，則的長為．【答案】/52度【分析】本題主要考查了勾股定理和翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．（1）依據(jù)△是等腰三角形，，即可得到的度數(shù)；（2）如圖所示，連接，過作于，過作于，依據(jù)，即可得到，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理，即可得到中，的長，即可得到的長．【詳解】解：（1）為斜邊的中點(diǎn)，，由折疊可得，，即△是等腰三角形，在中，為斜邊的中點(diǎn)，，，，，，，．故答案為：；（2）如圖所示，連接，過作于，過作于，在中，，由折疊可得，，，垂直平分，，，，又，，∴，，是的中線，，即，，，中，，．故答案為：．中點(diǎn)四邊形模型例題：（22-23八年級(jí)下·浙江湖州·期末）定義：對(duì)角線垂直的四邊形叫做“對(duì)垂四邊形”．如圖，在“對(duì)垂四邊形”中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，且四邊形是“對(duì)垂四邊形”，則四邊形的面積是．【答案】2【分析】連接，，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)“對(duì)垂四邊形”的性質(zhì)得到垂直線段，從而逐步證明四邊形是正方形，最后計(jì)算面積即可．【詳解】解：連接，，交于點(diǎn)M，∵在四邊形中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，∴，，，∴，同理：，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“對(duì)垂四邊形”，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵四邊形是“對(duì)垂四邊形”，∴，∴四邊形是正方形，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是利用“對(duì)垂四邊形”，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．【變式訓(xùn)練】1．（21-22八年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形EFGH為平行四邊形．(2)若四邊形ABCD是矩形，且其面積是，則四邊形EFGH的面積是________【答案】(1)見解析(2)3.5【分析】（1）連接BD，由三角形中位線定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）由矩形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：連接BD，∵E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF=BD，EF∥BD，同理，GH=BD，GH∥BD，∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴DH=AF=CH=BF，∴四邊形AFHD和四邊形HFBC都是矩形，∴AD=HF=BC，DC=EG=AB，∴S四邊形EFGH=EG?HF＝AB?BC，∵四邊形ABCD的面積是7cm2，∴AB?BC=7cm2，∴四邊形EFGH的面積是3.5cm2，故答案為：3.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形以及矩形的性質(zhì)，解題時(shí)利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．2．（21-22八年級(jí)下·浙江寧波·期末）定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【答案】概念理解：D；性質(zhì)探究：①，②；問題解決：見解析；拓展應(yīng)用：（1），理由見解析；（2）【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；性質(zhì)探究：由四邊形ABCD是“中方四邊形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理即可得出答案；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形MNRL是平行四邊形，再證得△EAC≌△BAG（SAS），推出?MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可證得結(jié)論；拓展應(yīng)用：（1）如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，可得四邊形ENFM是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求得答案．【詳解】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線相等且互相垂直，故選：D；性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥BD；理由如下：如圖1，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，∴AC⊥BD，AC=BD，故答案為：AC⊥BD，AC=BD；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，∴MNBG，MN=BG，RLBG，RL=BG，RNCE，RN=CE，MLCE，ML=CE，∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，∴四邊形MNRL是平行四邊形，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，又∵∠BAC=∠BAC，∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，又∵RL=BG，RN=CE，∴RL=RN，∴?MNRL是菱形，∵∠EAB=90°，∴∠AEP+∠APE=90°．又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°，又∵M(jìn)NBG，MLCE，∴∠LMN=90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：（1）MN=AC，理由如下：如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴四邊形ENFM是正方形，∴FM=FN，∠MFN=90°，∴MN===FM，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM=AC，∴MN=AC；（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，∴2（OM+ON）2MN，由性質(zhì)探究②知：AC⊥BD，又∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2OM，CD=2ON，∴2（OM+ON）=AB+CD，∴AB+CD2MN，由拓展應(yīng)用（1）知：MN=AC；又∵AC=2，∴MN=，∴AB+CD的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（22-23八年級(jí)下·云南楚雄·期末）如圖，在中，，，分別是邊，的中點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：，分別是，的中點(diǎn)，，，在中，是的中點(diǎn)，，，由勾股定理得：，故選：C2．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期末）如圖所示，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形，使四邊形為正方形，應(yīng)添加的條件分別是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【分析】直接利用三角形中位線的性質(zhì)以及正方形的判定方法分析得出答案．【詳解】解：使四邊形為正方形，應(yīng)添加的條件分別是且．理由：∵順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形，∴，，，，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是菱形，∵，∴，∵，，∵，∴，∴菱形是正方形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接，構(gòu)造平行線．3．（23-24九年級(jí)上·四川樂山·期末）如圖，中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，延長交于N，，，，則（）

A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】本題主要考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵，分別是，的中點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∴．故選：C．4．（23-24八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，是的中位線，是的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，若的面積為2，則的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定、三角形的面積計(jì)算，正確作出輔助線、證明是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作交于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)作交于，則，在和中，，，，，，是的中點(diǎn)，，，的面積為2的面積為6，故選：．5．（22-23八年級(jí)下·廣西柳州·期末）如圖，在四邊形中，，，，P、M、N分別是的中點(diǎn)，若．則的周長是（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】本題考查平行線性質(zhì)，中位線性質(zhì)定理，等邊三角形性質(zhì)及判定，三角形周長等．根據(jù)題意可得，再根據(jù)平行線性質(zhì)可得，繼而得到是等邊三角形，再利用周長公式即可得到本題答案．【詳解】解：∵P、N是和的中點(diǎn)，，，∴，，∴，同理，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴的周長是12．故選：B．6．（23-24八年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)．以為邊向左作，且，．連結(jié)，記和的面積分別為和，則的最大值是（

）

A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，得出，進(jìn)而證明得出，結(jié)合已知條件得出，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵，∴，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∵∴∴又∵，∴∴，在中，∴∴又∵∴∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴∴，∴∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的最大值是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，得出是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（23-24八年級(jí)上·河北秦皇島·期末）如圖，公路互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開．若測得的長為，則M，C兩點(diǎn)間的距離為．【答案】【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，解答即可．【詳解】解：是公路的中點(diǎn)，，，，，兩點(diǎn)間的距離為．故答案為：．8．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·期末）在周長為600米的三角形地塊中修建如圖所示的三條水渠，則水渠的總長為米．【答案】300【分析】本題考查三角形中位線的的應(yīng)用，根據(jù)“三角形中位線等于第三邊的一半”即可求解．【詳解】解：如圖，周長為600米，分別為的中點(diǎn)，則均為的中位線，（米），即水渠的總長為300米，故答案為：300．9．（21-22八年級(jí)下·廣西桂林·期末）如圖，順次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第1個(gè)菱形，順次連接這個(gè)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，再順次連接第二個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第2個(gè)菱形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個(gè)矩形的面積為6，則第n個(gè)菱形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意求得第二、三個(gè)矩形的面積，找到規(guī)律，依此類推，第n個(gè)矩形的面積為，而第1個(gè)菱形的面積為第1個(gè)矩形面積的一半，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵已知第一個(gè)矩形的面積為6；第二個(gè)矩形的面積為原來的；第三個(gè)矩形的面積是…∴故第n個(gè)矩形的面積為：由題意易得：第1個(gè)菱形的面積為第1個(gè)矩形的面積的一半，則第n個(gè)菱形的面積為第n個(gè)矩形的面積的一半，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理及矩形、菱形的性質(zhì)，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．10．（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點(diǎn)，．將沿BO對(duì)折至，M為BC上的動(dòng)點(diǎn)，則A'M的最小值為．【答案】/【分析】本題主要考查了圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．由折疊的性質(zhì)可得，可證得是等邊三角形，從而得到，根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，最短，過M作于H，取的中點(diǎn)N，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，從而得到，進(jìn)而得到，，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，∵O為AD的中點(diǎn)，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，最短，過M作于H，取的中點(diǎn)N，連接，如圖，在中，N是斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：11．（23-24八年級(jí)上·山東東營·期末）如圖，的周長為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作，再以各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作，再以各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作，……如此下去，則的周長為．【答案】【分析】本題考查圖形的規(guī)律，根據(jù)題意可知，的周長=的周長，的周長的周長，根據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，的周長=的周長，的周長的周長，所以的周長的周長，故答案：．12．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E、F分別為、邊上的點(diǎn)，且的長為4，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑，解題關(guān)鍵利用軸對(duì)稱和直角三角形的性質(zhì)確定最短路徑．作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，，，可知當(dāng)H、P、G、D共線時(shí)，最小，求出、長即可．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，，，如圖所示：∵，∴當(dāng)H、P、G、D共線時(shí)，最小，∵，，∴，，∵的長為4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．三、解答題13．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，與交于點(diǎn)F，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，．

(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)36度【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)垂直的定義得到，等量代換得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，設(shè)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，

是邊上的高線，，是邊上的中線，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．（2）解：連接，

則，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，∵，，．14．（23-24九年級(jí)上·江西九江·期末）課本再現(xiàn)：（1）定理

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖1，在中，，是邊上的中線．求證：．證明：如圖1，延長到點(diǎn)，使得，連接．……請(qǐng)把證明過程補(bǔ)充完整．知識(shí)應(yīng)用：（2）如圖2，在中，是邊上的高，是邊上的中線，是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解（1）的關(guān)鍵，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解（2）的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形是矩形即可；（2）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得，進(jìn)而可證，然后證明是線段的垂直平分線即可．【詳解】解：（1）是邊上的中線，．，四邊形是平行四邊形．，四邊形是矩形．．，．（2）如圖，連接．是邊上的高，是邊上的中線，，是的中點(diǎn)．．，．．是的中點(diǎn)，．是線段的垂直平分線．．15．（22-23八年級(jí)下·河北石家莊·期末）【三角形中位線定理】已知：在中，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)．直接寫出和的關(guān)系；【應(yīng)用】如圖②，在四邊形中，點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，若，，，．求的度數(shù)；【拓展】如圖③，在四邊形中，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)F、G，．求證：．

【答案】[三角形中位線定理]見解析；[應(yīng)用]；[拓展]見解析【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．[三角形中位線定理]根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；[應(yīng)用]連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，計(jì)算即可；[拓展]取的中點(diǎn)，連接、，則、分別是、的中位線，由中位線的性質(zhì)定理可得且，且，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】解：[三角形中位線定理]，；理由：點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，是的中位線，，；[應(yīng)用]連接，如圖所示，

、分別是邊、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，；[拓展]證明：取的中點(diǎn)，連接、．

、分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，且，同理可得且．，，，，，，，，．16．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，已知，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移得到線段，點(diǎn)F在射線上，連接.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)G時(shí)，連接，若，求證：；(3)如圖3，，F(xiàn)在的延長線上，連接，當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得到，由平移的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，推出四邊形是菱形，得到；（2）由平移的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，因此，而，得到，證明是等邊三角形，推出，又，因此；（3）由平移的性質(zhì)，推出四邊形是矩形，于是可以證明，推出，得到是等腰直角三角，因此．【詳解】（1）證明：∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，由平移的性質(zhì)得：，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∴；（2）證明：連接,如圖，由平移的性質(zhì)得：四邊形是平行四邊形，∴，∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴,∴，∴∴是等邊三角形，∴∵，∴，∴；（3）證明：∵，∴是等腰直角三角形，∵D是中點(diǎn)，∴，由平移的性質(zhì)得：四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是由平移的性質(zhì)，推出四邊形DCEF是平行四邊形．17．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·期末）在四邊形中，，E、F分別是的中點(diǎn)．(1)如圖1，若M是的中點(diǎn)，求證：．(2)如圖2，連接EF并延長，分別與的延長線交于點(diǎn)M、N，求證：．(3)如圖3，在中，，D點(diǎn)在上，，E