中國人口增長的預(yù)測和人口結(jié)構(gòu)的簡析摘要本文根據(jù)過去數(shù)十年的人口數(shù)據(jù)，通過建立不同的數(shù)學(xué)模型，對中國人口的增長進行了短期和中長期的預(yù)測。模型一：從中國統(tǒng)計年鑒—2008，查找得到2000-2007年的人口數(shù)據(jù)，然后用灰色模型進行人口的短期（2008-2017）預(yù)測。這里，我們采用兩種算法進行人口總數(shù)的預(yù)測。一種是用灰色模型分別對城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口進行人口預(yù)測，然后求加和得到總的人口數(shù)；另一種是用灰色模型對實際的總?cè)丝跀?shù)進行預(yù)測，預(yù)測未來10年的總?cè)丝跀?shù)。通過比較相對誤差率知道第二種方法預(yù)測得到的數(shù)據(jù)誤差較小，故采用第二種方法預(yù)測的未來10年的人口數(shù)為：時間20082009201020112012人數(shù)（萬）132996.6133770.2134548.4135331136118.2時間20132014201520162017人數(shù)（萬）136910137706.4138507.4139313.1140123.4模型二：對于中長期的預(yù)測我們采用Leslie模型進行預(yù)測。我們利用題中所提供的人口數(shù)據(jù)的比例，將人分為6種類型，在考慮年齡結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對各類人中的女性人數(shù)分別進行預(yù)測，然后根據(jù)男女的性別比例，求出男性的人口數(shù)，再將預(yù)測得到的各類人數(shù)進行匯總加和，最終得到總的人口數(shù)。由于我們是根據(jù)年齡結(jié)構(gòu)進行的預(yù)測，所以可以對人口進行簡單的分析，得到老齡化變化趨勢，鄉(xiāng)鎮(zhèn)市的人口所占比例的變化等。關(guān)鍵詞：人口預(yù)測；灰色模型；分類計算；Leslie模型模型假設(shè)模型一的假設(shè)：1、不考慮國際遷移，認為國家內(nèi)部遷移不改變?nèi)丝诳偭浚?、不考慮自然災(zāi)害、疾病等因素對人口數(shù)量的影響；3、文中短期預(yù)測到2017年4、大面積自然災(zāi)害、疾病的發(fā)生以及人們的生育觀念等因素會對當年的生育率和人口數(shù)量產(chǎn)生影響，認為這些因素在預(yù)測誤差允許的范圍內(nèi)．模型二的假設(shè)：每一年齡組的女性在每一個時間段內(nèi)有相同的生育率和死亡率；在預(yù)測的時間段內(nèi)男女的性別比例保持現(xiàn)狀不變；不考慮人口的遷入和遷出；不考慮空間等自然因素的影響，不考慮自然災(zāi)害對人口數(shù)量的影響。問題分析中國是一個人口大國，隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，生產(chǎn)力達到較高的水平，現(xiàn)在的問題已不是僅僅滿足個人的需要，而是要考慮社會的需要。中國未富先老，對經(jīng)濟的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響。當今面臨的問題是如何很好的預(yù)測出未來人口的變化趨勢，并根據(jù)趨勢制定出合理可行的人口規(guī)劃方案，以緩解人口對經(jīng)濟的影響。所以準確的預(yù)測出人口的發(fā)展趨勢勢在必行。短期人口預(yù)測：根據(jù)獲得的歷年的人口數(shù)據(jù)，利用灰色模型預(yù)測出未來10年人口的增長趨勢。中長期人口的預(yù)測和分析：將人口分為6大類，利用Leslie模型分別預(yù)測出各類人未來70年的人口數(shù)，并根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)，對人口的老齡化等進行簡單的分析。模型建立與求解模型一、中國人口總數(shù)的短期（2008-2017）預(yù)測采用灰色模型預(yù)測短期人口數(shù)?；疑Ｐ褪怯脮r間數(shù)據(jù)序列建立系統(tǒng)的動態(tài)模型，把2000-2007年人口數(shù)據(jù)（這些數(shù)據(jù)是一組離散的原始數(shù)據(jù)），經(jīng)7次累加生成規(guī)律性強的累加生成序列，可以弱化原始人口數(shù)據(jù)的離散型。然后對累加生成序列建模，最后進行7次累減還原成預(yù)測值。從中國統(tǒng)計年鑒-2008查得2000-2007年我國的人口數(shù)據(jù)如下：表12000年到2007年人口數(shù)據(jù)年份城鎮(zhèn)人口鄉(xiāng)村人口總?cè)丝?000459068083712674320014806479563127627200250212782411284532003523767685112922720045428375705129988200556212745441307562006577067374213144820075937972750132129下面，我們采用兩種方法進行人口的短期預(yù)測。一種是，我們用灰色模型分別預(yù)測出2008-2017年城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口，然后加和得到總的預(yù)測人口數(shù)；另一種是，我們根據(jù)總的人口數(shù)用灰色模型預(yù)測出未來十年的人口數(shù)。最后，我們將這兩種方法得到的值分別求與實際值的相對誤差，采納誤差較小的一種方法的預(yù)測值。方法一：由表得知，2000年到2007年城鎮(zhèn)人口的原始數(shù)據(jù)為＝[45906，48064，50212，52376，54283，56212，57706，59379]一次累加公式為經(jīng)過累加得到累加生成序列為＝[45906，93970，144182，196558，250841，307053，364759，424138]定義累加矩陣為常數(shù)項＝[48064，50212，52376，54283，56212，57706，59379]按最小二乘法原理解方程組B*a=Y則則=1377631.7233e-1329567.7233同理，用灰色模型得到鄉(xiāng)村人口預(yù)測為=[80837，79563，78241，76851，75705，74544，73742，72750]＝[80837，160400，238641，315492，391197，465741，539483，612233]=[79563,78241,76851,75705,74544,73742,72750]=-5330296.3333e+5411133.3333得到的總?cè)丝陬A(yù)測為X=1377631.7233e-5330296.3333e+4081565.61方法二：用灰色模型得到總?cè)丝谌丝陬A(yù)測為＝[126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129]＝[126743，254370，382823，512050，642038，772794，904242，1036371]=[127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129]=21954329.207e21827586.207（*）根據(jù)灰色模型推導(dǎo)出的公式（*）我們得到兩種方法下預(yù)測出的人口數(shù)據(jù)如下：(源程序見最后附頁)表2城鎮(zhèn)+鄉(xiāng)村預(yù)測得到的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分析表年份城鎮(zhèn)人口鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)+鄉(xiāng)村=預(yù)測總?cè)丝趯嶋H人口相對誤差200148642.8979357.77128000.71276270.002928200250360.4378176.29128536.71284530.000652200352138.6177012.4129151129227-0.00059200453979.5875865.83129845.4129988-0.0011200555885.5474736.34130621.9130756-0.00103200657858.8173623.66131482.51314480.000262200759901.7572527.54132429.31321290.002273200862016.8371447.75133464.6200964206.5870384.03134590.6201066473.6669336.15135809.8201168820.7868303.87137124.6201271250.7867286.96138537.7201373766.5866285.18140051.8201476371.2165298.33141669.5201579067.864326.16143394201681859.6163368.47145228.120178475062425.04147175用matlab作出曲線如下：圖1城鎮(zhèn)+鄉(xiāng)村總?cè)藬?shù)隨時間的變化關(guān)系圖由上表中我們可以看到，用灰色模型預(yù)測到的城鎮(zhèn)人口數(shù)與鄉(xiāng)村人口數(shù)之和與實際人口之間的相對誤差大都小于0.2%，即與實際人口非常接近；從圖線中也可以看出擬合曲線得到的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)十分接近，從而也可以說明我們預(yù)測得到的2008-2017年的人口數(shù)比較符合現(xiàn)實。然后，我們又在實際總?cè)丝诘那疤嵯掠没疑Ｐ瓦M行預(yù)測，得到的結(jié)果如下表所示(源程序見最后附頁)：表3根據(jù)歷年總?cè)丝跀?shù)得到的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分析表年份總?cè)丝趯嶋H人口相對誤差2001127705.11276270.000611912002128447.91284530.0000397032003129195.1129227-0.0002468482004129946.6129988-0.0003184182005130702.5130756-0.0004092382006131462.81314480.000112342007132227.51321290.0007452292008132996.62009133770.22010134548.420111353312012136118.220131369102014137706.42015138507.42016139313.12017140123.4同樣，根據(jù)得到的公式及數(shù)據(jù)作出總?cè)丝陔S時間變化曲線如下圖：圖2根據(jù)總?cè)丝陬A(yù)測的人口數(shù)隨時間的變化關(guān)系圖從上表中可以看出，根據(jù)實際總?cè)丝跀?shù)用灰色模型預(yù)測得到的人口數(shù)據(jù)相對誤差均小于0.1%，也就是說比用灰色模型分別預(yù)測城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村得到的人口數(shù)更貼近實際。所以選用方法二預(yù)測得到的人口數(shù)據(jù)較好。模型二、中國人口中長期（2006-2074）增長預(yù)測和簡單分析采用Leslie模型進行中長期的人口預(yù)測?！胺N群是直接通過雌性個體的生長的繁殖而增長的，所以用雌性個體數(shù)量的變化為研究對象比較方便?！盵1]所以，只預(yù)測女性的人口數(shù)量，然后根據(jù)過去幾年的男女性別比預(yù)測出未來的性別比，進而推算出男性人口的數(shù)量，最后給出人口的總數(shù)量。我們在考慮人口預(yù)測時只從女性考慮，并將所給的6類人按年齡每五年為一個年齡段劃分為20個年齡組。每5年觀察一次人口數(shù)，即時間間隔與年齡段等長。記（t=0,1,2…,20）為第i個年齡組在第t個時間段的女性總?cè)藬?shù)；記第i年齡組的生育率為，即每個（雌性）在1個時段內(nèi)生育的人數(shù)；記第i年齡組的死亡率為，即1個時段內(nèi)死亡數(shù)量占總量的比例；記為存活率。其中，0,i=1,2,…,20,且至少有一個>0;,i=1,2,…,19。根據(jù)定義知道，時段t+1第1年齡組的數(shù)量是各年齡組在時段t的生育數(shù)量之和；時段t+1第i+1年齡組（i=1,2,…,19）的數(shù)量是時段t第i年齡組存活下來的數(shù)量。由此得到記種群數(shù)量在時段t按年齡組的分布向量為由生育率和存活率構(gòu)成的矩陣L=則(1)(2)可以表示為當矩陣L和按年齡組的初始分布為x(0)已知時，可以預(yù)測女性人口數(shù)量在時間段t按年齡組的分布為以所給2005年的人口數(shù)據(jù)為起始時刻的x(0)，根據(jù)模型一的計算結(jié)果，得到L(見附件L矩陣)，依次可以得到每類人2009-2074年的女性人口數(shù)。表4Leslie模型預(yù)測得到的鄉(xiāng)村女性人數(shù)結(jié)果（部分，詳見附件Leslie模型預(yù)測結(jié)果）年齡段2009201420192024202920340_42326.5512561.932726.162554.322258.0692177.0315_91965.6032323.9432559.0582723.1042551.4562255.53810_142340.1341957.8512314.7782548.9662712.3642541.39315_193158.4412329.8091949.2132304.5652537.7192700.39720_243085.8723138.8842315.3831937.1442290.2952522.00625_292055.883061.0373113.6232296.7491921.5532271.86330_342115.7272032.6573026.4593078.4512270.8051899.84835_392836.952089.0692007.0452988.3263039.6632242.19340_443512.4462792.0012055.971975.2452940.9792991.50245_493073.2043443.182736.9432015.4261936.2942882.98350_542355.9652986.6753346.2342659.8821958.681881.77555_592641.1192259.8612864.8433209.7342551.381878.78160_641901.2522467.3542111.182676.3592998.562383.51965_691302.8261663.5882158.9251847.2742341.8042623.72870_74976.3571030.3481315.6591707.3991460.9281852.02975_79691.8703635.7958670.9542856.74651111.844951.344480_84394.3049372.0519341.8979360.8043460.7137597.8921∑36340.237146.0437272.4337740.4936882.3936653.82預(yù)測女性的人數(shù)后，接下來根據(jù)女性的人數(shù)預(yù)測出男性的人數(shù)。我們假定未來若干年內(nèi)男女的性別比例基本不變，根據(jù)給出的2001-2005年的數(shù)據(jù)求出男女性別比例的均值作為未來的男女性別比例。則有：男性人數(shù)=女性人數(shù)×男女性別比例系數(shù)總?cè)丝跀?shù)=男性人口數(shù)+女性人口數(shù)預(yù)測出的總的人口數(shù)如下：時間2009201420192024202920342039人口數(shù)（萬）140899.8142730.7142417.8141973.5137890.9134352.9128082.9時間2044204920542059206420692074人口數(shù)（萬）124150.4117153.2113180.6107326.3103900.598697.5896331.96根據(jù)預(yù)測出的人口數(shù)畫出的人口總數(shù)—時間曲線圖如下：圖3人口總數(shù)—時間曲線（源程序見附頁）從上圖可以看出，我國的總?cè)丝跀?shù)呈現(xiàn)先增后減的趨勢，人口峰值大約出現(xiàn)在2020年左右。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，可能是國家政策和人的生育意識的改變。圖4未來我國老齡人口曲線（源程序見附頁）從上圖中可以看出，我國的老齡人口呈現(xiàn)先急劇增加又緩慢減少的趨勢，尤其是2010-2040年，我國的老齡人口數(shù)增長迅速，可能會對我國的養(yǎng)老制度產(chǎn)生沖擊，影響經(jīng)濟的快速穩(wěn)定增長。因此，應(yīng)該實施相應(yīng)的政策加以應(yīng)對，如延遲職工退休年齡等。模型的優(yōu)點和缺點模型一：優(yōu)點：灰色模型是用時間數(shù)據(jù)序列建立系統(tǒng)的動態(tài)模型，把2000-2007年人口數(shù)據(jù)（這些數(shù)據(jù)是一組離散的原始數(shù)據(jù)），經(jīng)7次累加生成規(guī)律性強的累加生成序列，可以弱化原始人口數(shù)據(jù)的離散型。同時，我們也較好的預(yù)測出了城鎮(zhèn)化率缺點：只能做短期預(yù)測，對于中長期預(yù)測，我們需要建立其他模型另解。同時，灰色模型主要是反映數(shù)據(jù)的規(guī)律性，而不能完全反映各種非規(guī)律性的社會因素對預(yù)測指標的影響，因此，盡管與已知數(shù)據(jù)相比誤差很小，但也不能完全依賴其預(yù)測結(jié)果。模型二：優(yōu)點：采用賴斯莉模型，充分考慮到了年齡結(jié)構(gòu)對總?cè)丝跀?shù)增長的影響。而且采用分類的方法對總?cè)丝谶M行預(yù)測，考慮到了市鎮(zhèn)鄉(xiāng)不同的環(huán)境對人口增長的影響，最終求出的總?cè)丝跀?shù)與實際更接近。缺點：雖然在計算男性人口數(shù)時采用的是男女性別比的平均值，但是假設(shè)男女性別比為定值與現(xiàn)實有些偏頗，影響了預(yù)測的真實性。另外，采用分類的方法進行人口的預(yù)測，計算量較大。模型的優(yōu)化與改進模型一的優(yōu)化：由于模型一沒有考慮遷移因素，短期幾年內(nèi)，遷移對城鎮(zhèn)人口與鄉(xiāng)村人口的數(shù)量有較大影響，但對總?cè)丝跀?shù)預(yù)測的影響不大，有待于建立包含遷移因素的灰色模型來預(yù)測城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村人口數(shù)量的變化。模型二的優(yōu)化：在模型二中假定男女性別比例為定值對預(yù)測結(jié)果的影響很大?？梢酝ㄟ^對給出的2001-2005年的男女性別數(shù)據(jù)求出每類人的平均值，然后用灰色模型預(yù)測出未來我國人口的男女性別比例，再與預(yù)測出的女性人數(shù)相乘得到男性人數(shù)，進而得到全國總?cè)藬?shù)。雖然用預(yù)測出的值相乘仍存在誤差，但是較之于改進前，數(shù)據(jù)的準確性會大大提高。由于時間的原因，我們未進行該改進。參考文獻【1】數(shù)學(xué)建模及其實驗，嚴喜祖、宋中民、畢春加編，科學(xué)出版社；【2】數(shù)學(xué)模型，姜啟源，謝金星，葉俊編，高等教育出版社；【3】數(shù)學(xué)建模簡明教程，西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)委員會編，高等教育出版社；【4】灰色模型在人口預(yù)測中的應(yīng)用，蒿建華；【5】中國人口增長的預(yù)測和人口結(jié)構(gòu)的分析，作者不詳；附頁（源程序）：Ⅰ.灰色模型預(yù)測的源程序：城鎮(zhèn)人口:B=[-69938,1;-119076,1;170370,1;-223699.5,1;-278947,1;-335906,1;-394448.5,1;];Y=[48064;50212;52376;54283;56212;57706;59379];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+004*-0.00005.1264鄉(xiāng)村人口:B=[-120618.5,1;-199520.5,1;-277066.5,1;-353344.5,1;-428469,1;-502612,1;-575858,1];Y=[79563;78241;76851;75705;74544;73742;72750];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+004*0.00008.1167總?cè)丝?B=[-190556.5,1;-318596.5,1;-447436.5,1;-577044,1;-707416,1;-838518,1;-970306.5,1];Y=[127627;128453;129227;129988;130756;131448;132129];a=(B'*B)^(-1)*B'*Ya=1.0e+005*-0.00001.2660Ⅱ.圖1（城鎮(zhèn)+鄉(xiāng)村總?cè)藬?shù)隨時間的變化關(guān)系圖）源程序：t=2001:1:2017;y=[12770510001284479000129195100012994660001307025000131462800013222750001329966000133779200013454840001353310000136118200013691000001377064000138507400013931310001401234000];x=2001:1:2007;z=[127627000012845300