銜接點(diǎn)03列方程解應(yīng)用題小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的列方程解應(yīng)用題，培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力和簡(jiǎn)單的方程思想。初中階段較小學(xué)數(shù)學(xué)在列方程解應(yīng)用題方面增加了新的概念，還有了大的延伸，分析數(shù)量關(guān)系的范圍有所擴(kuò)大（增加了配套、方案等）；解題方面主要要求學(xué)生上升到思維習(xí)慣的轉(zhuǎn)變、思想方法的轉(zhuǎn)變。培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模（方程思想）能力、邏輯推理思維和創(chuàng)新思維等。為了讓學(xué)生后續(xù)方程的學(xué)習(xí)，可以引導(dǎo)學(xué)生理解：列方程過程中，重要的是未知數(shù)要參與運(yùn)算，用等量關(guān)系列出方程。引導(dǎo)學(xué)生思維方式從算術(shù)思維逐步向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變，無疑是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的重要內(nèi)容。小學(xué)解方程，都按四則運(yùn)算的各部分之間的關(guān)系來解，現(xiàn)在（初中）都是按等式的性質(zhì)解方程。可以肯定的說，用等式的性質(zhì)解方程，是解方程的正途。加強(qiáng)這一方面的教學(xué)，目的就是要有利于學(xué)生初中階段能更好的學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的方程。題型探究題型1、找等量關(guān)系與列方程 3題型2、數(shù)學(xué)文化問題 5題型3、行程問題 8題型4、工程問題 14題型5、年齡問題 19題型6、數(shù)字與日歷問題 22題型7、牛吃草問題 25題型8、銷售問題 28題型9、分段計(jì)費(fèi)問題 32培優(yōu)精練A組（能力提升） 36B組（培優(yōu)拓展） 441．列方程解應(yīng)用題（1）列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)。先用一個(gè)字母代替未知數(shù)，再把它看作已知數(shù)參與列式和運(yùn)算，便于把題中的數(shù)量關(guān)系直接反映出來，使問題簡(jiǎn)單化。（2）列方程解應(yīng)用題一般步驟。列方程解應(yīng)用題的基本思路為：?jiǎn)栴}方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．要點(diǎn)詮釋：（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的關(guān)系，找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．2．常見的數(shù)量關(guān)系1）公式形數(shù)量關(guān)系生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長(zhǎng)、面積、體積等公式。在解決這類問題時(shí)，必須通過情景中的信息，準(zhǔn)確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有關(guān)公式直接建立等式方程。長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=2（長(zhǎng)+寬）正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)正方形周長(zhǎng)=4邊長(zhǎng)2）約定型數(shù)量關(guān)系利息問題、利潤問題、質(zhì)量分?jǐn)?shù)問題、比例尺問題、折扣等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又不算數(shù)學(xué)公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。3）基本數(shù)量關(guān)系在簡(jiǎn)單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)速度×?xí)r間=路程工作效率×?xí)r間=總工作量現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)＝折數(shù)3．分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。2）列表分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對(duì)號(hào)入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會(huì)題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。題型1、找等量關(guān)系與列方程【解題技巧】與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關(guān)系，利用未知數(shù)表示出來。例1．（2024六年級(jí)下·遼寧·專題練習(xí)）超市里茄子、芹菜和黃瓜三種蔬菜單價(jià)的關(guān)系如下圖，下面等量關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）。A．芹菜單價(jià)×3＝黃瓜單價(jià) B．茄子單價(jià)－0.8元＝芹菜單價(jià)C．（黃瓜單價(jià)－0.8元）÷3＝茄子單價(jià) D．（茄子單價(jià)－0.8元）×3＝黃瓜單價(jià)【答案】C【分析】觀察線段圖可知，黃瓜的單價(jià)是芹菜單價(jià)的3倍，茄子的單價(jià)比芹菜的單價(jià)貴0.8元，黃瓜的單價(jià)剛好是茄子單價(jià)與0.8元的差的3倍，據(jù)此解答。【詳解】A．黃瓜的單價(jià)＝芹菜的單價(jià)×3，等量關(guān)系正確；B．芹菜的單價(jià)＝茄子的單價(jià)－0.8元，等量關(guān)系正確；C．黃瓜的單價(jià)÷3＝茄子的單價(jià)－0.8元，等量關(guān)系錯(cuò)誤；D．黃瓜的單價(jià)＝（茄子的單價(jià)－0.8元）×3，等量關(guān)系正確。故答案為：C例2．（23-24六年級(jí)上·福建福州·期中）“王叔叔買來小鴨140只，買來小雞的只數(shù)比小鴨多，買來小雞多少只？”下面4個(gè)數(shù)量關(guān)系中，符合題意的是（

）。A．小雞只數(shù)×（1＋）＝小鴨只數(shù) B．小鴨只數(shù)×（1＋）＝小雞只數(shù)C．小鴨只數(shù)×＝小雞只數(shù) D．小雞只數(shù)÷＝小鴨只數(shù)【答案】B【分析】買來小雞的只數(shù)比小鴨多，則將小鴨的數(shù)量看作單位“1”，小雞的數(shù)量占小鴨數(shù)量的（1＋多的分率），小雞的數(shù)量＝單位“1”的具體量×（1＋多的分率），據(jù)此列式?！驹斀狻繉⑿▲喌臄?shù)量看作單位“1”，由分析可知，小雞的數(shù)量＝小鴨的數(shù)量×（1＋）；故答案為：B變式1．（23-24六年級(jí)上·山西大同·期末）請(qǐng)你理解“褲子的價(jià)錢比上衣便宜20%”的含義，并在線段圖中畫出表示上衣價(jià)錢的線段，標(biāo)出20%表示的部分，再將數(shù)量關(guān)系式補(bǔ)充完整。數(shù)量關(guān)系式：（

）的價(jià)錢×20%＝（

）的價(jià)錢（

）的價(jià)錢×（1－20%）＝（

）的價(jià)錢【答案】作圖見詳解上衣；便宜上衣；褲子【分析】將上衣的價(jià)錢看作單位“1”，褲子的價(jià)錢是上衣的（1－20%），據(jù)此將百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，根據(jù)分母表示平均分的份數(shù)，分子表示取走的份數(shù)，確定上衣的段數(shù)，據(jù)此作圖標(biāo)數(shù)據(jù)即可。求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少用乘法，上衣的價(jià)錢×便宜的對(duì)應(yīng)百分率＝便宜的錢數(shù)；上衣的價(jià)錢×褲子對(duì)應(yīng)百分率＝褲子的價(jià)錢，據(jù)此補(bǔ)充數(shù)量關(guān)系?！驹斀狻?－20%＝80%＝數(shù)量關(guān)系式：上衣的價(jià)錢×20%＝便宜的價(jià)錢上衣的價(jià)錢×（1－20%）＝褲子的價(jià)錢變式2.（2023·遼寧·五年級(jí)期末）媽媽在商場(chǎng)買了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，洗面奶和面膜的價(jià)錢分別是多少元？方法1：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是()的價(jià)錢()的價(jià)錢×。解：設(shè)面膜的價(jià)錢是元方法2：也可以想面膜的價(jià)錢是洗面奶的()倍。解：設(shè)洗面奶的價(jià)錢是元?！敬鸢浮?/p>

洗面奶

面膜

2【分析】根據(jù)題意，方法1：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是洗面奶的價(jià)錢＝面膜的價(jià)錢×，設(shè)面膜的價(jià)錢數(shù)x元，則洗面奶的價(jià)錢是x元，列方程：x＋＝240，據(jù)此解答；方法2：洗面奶的價(jià)錢數(shù)面膜的一半，也就是面膜的價(jià)錢是洗面奶的2倍，設(shè)洗面奶的價(jià)錢是x元，則面膜的價(jià)錢是2x元，列方程：x＋2x＝240，據(jù)此解答?！驹斀狻糠椒?：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是洗面奶的價(jià)錢面膜的價(jià)錢。方法2：也可以想面膜的價(jià)錢是洗面奶的2倍?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確洗面奶和面膜的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行解答。題型2、數(shù)學(xué)文化問題【解題技巧】數(shù)學(xué)文化類問題主要根據(jù)題干中譯釋找到等量關(guān)系解題即可。（1）基本量及關(guān)系：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率，現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量，現(xiàn)有量＝原有量－降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長(zhǎng)率等．例1．（2024六年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）《九章算術(shù)》第七章“盈不足”：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問：人數(shù)、雞價(jià)各幾何？譯釋：幾人湊錢買雞，每人出9元，則多11元；每人出6元，則差16元。有幾人？雞的價(jià)格是多少元？【答案】9人；70元【分析】根據(jù)題意可知，雞的總價(jià)、總?cè)藬?shù)是不變的，總?cè)藬?shù)×9元－11元＝總?cè)藬?shù)×6元＋16元，設(shè)一共有x人，列方程為9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)一共有x人。9x－11＝6x＋169x－11＋11＝6x＋16＋119x＝6x＋279x－6x＝6x＋27－6x3x＝273x÷3＝27÷3x＝99×9－11＝81－11＝70（元）答：有9人；雞的價(jià)格是70元?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了盈虧問題，可用列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。例2.（2023·湖南七年級(jí)期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醐灑一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清跴酒各幾何？”大意是：現(xiàn)有一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醐灑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清灑，醐灑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為_________．【答案】【分析】設(shè)清酒x斗，則醐灑酒為（5-x）斗，一斗清酒價(jià)值10斗谷子，x斗清酒價(jià)值10x斗谷子；一斗醐灑酒價(jià)值3斗谷子，（5-x）斗醐灑酒價(jià)值3（5-x）斗谷子．存在“換x斗清酒和（5-x）斗醐灑酒共用30斗谷子”的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系可列方程．【詳解】解：設(shè)清酒x斗，則醐灑酒為（5-x）斗．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確分析出數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2024·河北·七年級(jí)期中）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出．然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置．如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（

）A．依題意 B．依題意C．該象的重量是5040斤 D．每塊條形石的重量是260斤【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得方程；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意真確列出方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·四川成都·七年級(jí)期中）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書》之一．書中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余尺．問木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．【詳解】解：設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意得，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024江蘇七年級(jí)月考）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)快馬天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023·南昌七年級(jí)期中）《算法統(tǒng)宗》中記有“李白沽酒”的故事．詩云：今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游時(shí)，做出這樣-條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個(gè)店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．求李白的酒壺中原有酒多少升．【答案】壺中原有升酒．【分析】設(shè)壺中原有x升酒，由在第3個(gè)店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；【詳解】設(shè)壺中原有x升酒，根據(jù)題意得，解得．答：壺中原有升酒．【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.題型3、行程問題【解題技巧】行程問題總公式：路程=速度×?xí)r間。不同類型問題，在求解速度時(shí)有所不同，具體如下：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．例1．（23-24六年級(jí)上·福建莆田·期末）周末，小希一家自駕從莆田經(jīng)過福州去太姥山旅游。（1）小希一家從莆田出發(fā)，以100千米/時(shí)的速度，行駛了1小時(shí)，到達(dá)福州市，這時(shí)已行的路程比未行路程的少20千米。如果以同樣的速度繼續(xù)前行再行多少小時(shí)能到達(dá)太姥山？（2）到達(dá)太姥山，景區(qū)廣場(chǎng)有個(gè)用鵝卵石鋪成的心形圖案，小希和弟弟從A點(diǎn)開始沿著這心形的邊相背而行，在距離B點(diǎn)12米處的C點(diǎn)相遇，相遇時(shí)弟弟走的路程是小希的，這個(gè)心形鵝卵石道的周長(zhǎng)是多少米？【答案】（1）2.1小時(shí)；（2）168米【分析】（1）根據(jù)題意：已行駛路程＋20米＝未行駛路程的，則未行駛的路程為：（100×1＋20）÷，據(jù)此求出未行駛的路程，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度即可。（2）設(shè)小希走了x米，則弟弟走了x米，由題意知小希和弟弟在距離B點(diǎn)12米處的C點(diǎn)相遇，即心形鵝卵石道的周長(zhǎng)的一半－弟弟走的路程＝12米，據(jù)此列出方程，再解方程即可求出小希走的路程，進(jìn)而求出弟弟走的路程，小希走的路程和弟弟走的路程相加即可求出周長(zhǎng)?！驹斀狻浚?）（100×1＋20）÷＝（100＋20）÷＝120÷＝120×＝210（米）210÷100＝2.1（小時(shí)）答：如果以同樣的速度繼續(xù)前行再行2.1小時(shí)能到達(dá)太姥山。（2）解：設(shè)小希走了x米，則弟弟走了x米，（x＋x）÷2－x＝12x÷2－x＝12x×－x＝12x－x＝12x＝12x÷＝12÷x＝12×8x＝9696＋96×＝96＋72＝168（米）答：這個(gè)心形鵝卵石道的周長(zhǎng)是168米。例2．（2024·四川·小升初模擬）市實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生步行到郊外旅行。六（1）班學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4千米/時(shí)，六（2）班學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6千米/時(shí)。前隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12千米/時(shí)。（1）后隊(duì)追上前隊(duì)的時(shí)間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是多少？（2）六（1）班出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，兩隊(duì)相距2千米？【答案】（1）24千米（2）六（1）班出發(fā)0.5小時(shí)、2小時(shí)、4小時(shí)，兩隊(duì)相距2千米?！痉治觥浚?）聯(lián)絡(luò)員走的時(shí)間就是后隊(duì)追上前隊(duì)的時(shí)間，設(shè)后隊(duì)出發(fā)x小時(shí)后追趕上前隊(duì)，根據(jù)后隊(duì)x小時(shí)走的距離＝4千米＋前隊(duì)x小時(shí)走的距離，列方程求解。再用聯(lián)絡(luò)員的速度乘追上前隊(duì)的時(shí)間即是聯(lián)絡(luò)員走的路程；（2）分三種情況①后隊(duì)未出發(fā)前隊(duì)出發(fā)走了2千米；②后隊(duì)將要追及上前隊(duì)之前，距離前隊(duì)2千米；③后隊(duì)與前隊(duì)相遇之后，前隊(duì)由于速度慢行走在后面，前隊(duì)后隊(duì)可能再次相距2千米?！驹斀狻浚?）解：設(shè)后隊(duì)出發(fā)x小時(shí)后追趕上前隊(duì)，6x＝4＋4x6x－4x＝4＋4x－4x2x＝42x÷2＝4÷2x＝212×2＝24（千米）答：后隊(duì)追上前隊(duì)的時(shí)間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是24千米。（2）分三種情況①后隊(duì)未出發(fā)前隊(duì)出發(fā)走了2千米，用的時(shí)間是2÷4＝0.5（小時(shí)）即六（1）班出發(fā)0.5小時(shí)，兩隊(duì)相距2千米；②后隊(duì)出發(fā)還未追及上前隊(duì)，設(shè)后隊(duì)需y小時(shí)兩隊(duì)相距2千米（6－4）y＝22y＝22y÷2＝2÷2y＝11＋1＝2（小時(shí)）即六（1）班出發(fā)2小時(shí)，兩隊(duì)再次相距2千米；③后隊(duì)與前隊(duì)相遇之后，設(shè)前隊(duì)再需z小時(shí)，兩隊(duì)相距2千米，（6－4）z＝22z＝22z÷2＝2÷2z＝11＋2＋1＝4（小時(shí)）即六（1）班出發(fā)4小時(shí)，兩隊(duì)第三次相距2千米。答：六（1）班出發(fā)0.5小時(shí)、2小時(shí)、4小時(shí)，兩隊(duì)相距2千米。【點(diǎn)睛】本題考查追及問題，速度差×追及時(shí)間＝路程差，以及分情況討論問題的解題方法。例3．（2022·哈爾濱七年級(jí)期中）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時(shí)；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時(shí)．若水流速度是3千米/時(shí)，則甲、乙兩碼頭之間的距離是_____千米．【答案】60【分析】設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)順流速度＝靜水速度+水流速度逆流速度＝靜水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根據(jù)求出的船在靜水中的速度，再根據(jù)路程＝順流的時(shí)間×順流的速度，列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，即：船在靜水中的速度是27千米/小時(shí)，（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系進(jìn)行求解．變式1．（22-23六年級(jí)下·安徽蚌埠·期末）甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，6小時(shí)后相遇，相遇后繼續(xù)前行，甲又行了5小時(shí)到達(dá)B地，這時(shí)乙車離A地還有150千米。A、B兩地相距多少千米？【答案】900千米【分析】速度×?xí)r間＝路程，設(shè)A、B兩地相距x千米，總路程÷相遇時(shí)間＝兩車速度和，甲行完全程用了（6＋5）小時(shí)，也是乙車用的時(shí)間，總路程÷甲車用的時(shí)間＝甲車速度，乙車行了（x－150）千米，乙車路程÷乙車用的時(shí)間＝乙車速度。根據(jù)甲車速度＋乙車速度＝兩車速度和，列出方程解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)A、B兩地相距x千米。x÷（6＋5）＋（x－150）÷（6＋5）＝x÷6x÷11＋（x－150）÷11＝x÷6[x÷11＋（x－150）÷11]×11＝x÷6×11x＋x－150＝x2x－150＝x2x－150－x＋150＝x－x＋150x＝150x÷＝150÷x＝150×6x＝900答：A、B兩地相距900千米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。變式2．（2023·四川成都·小升初真題）甲、乙兩班的學(xué)生于上午8：00出發(fā)，到距學(xué)校27千米的一個(gè)動(dòng)物園參觀?，F(xiàn)有一輛汽車，每次只能坐一個(gè)班的學(xué)生，為了使兩個(gè)班同時(shí)到達(dá)，合理安排步行和乘車。若步行速度為4千米/時(shí)，汽車速度為60千米/時(shí)，那么兩個(gè)班最早幾時(shí)幾分同時(shí)到達(dá)？【答案】9時(shí)9分【分析】設(shè)學(xué)校到甲班下車的地方的距離是x千米，甲班下車后，汽車開回去接乙班，并將乙班送到動(dòng)物園時(shí)正好甲班也到達(dá)動(dòng)物園。甲乙兩班步行的距離都是（27－x）千米，所以甲乙步行的時(shí)間都是小時(shí)。汽車行駛的距離則是千米。根據(jù)乙班步行的時(shí)間等于車子從出發(fā)到與乙相遇的時(shí)間列方程解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)學(xué)校到甲班下車的地方的距離是x千米，則所用時(shí)間：（小時(shí)）8時(shí)＋1.15小時(shí)＝8時(shí)＋（1時(shí)＋0.15×60分）＝8時(shí)＋（1時(shí)＋9分）＝9時(shí)9分答：兩個(gè)班最早9時(shí)9分同時(shí)到達(dá)?！军c(diǎn)睛】本題考查了用方程解決實(shí)際問題，熟練的運(yùn)用速度、時(shí)間、路程之間的數(shù)量關(guān)系找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。變式3．（2022·四川廣元·七年級(jí)期末）已知某鐵路橋長(zhǎng)1600米．現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得火車從開始上橋到完全過橋共用90秒，整列火車完全在橋上的時(shí)間是70秒．則這列火車長(zhǎng)______米．【答案】200【分析】設(shè)這列火車的長(zhǎng)為x米，利用速度＝路程÷時(shí)間，結(jié)合火車的速度不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)這列火車的長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意得，，解得，∴這列火車的長(zhǎng)為200米．故答案為：200【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．題型4、工程問題【解題技巧】我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對(duì)象所完成的工作量之和等于總工作量”這個(gè)關(guān)系來列寫等式方程。工程問題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時(shí)間的倒數(shù)來表示。復(fù)雜的工程問題，往往需要設(shè)多個(gè)未知數(shù)，不要擔(dān)心，在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。例1．（2023·河南·七年級(jí)階段練習(xí)）已知一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要5天，乙單獨(dú)完成需要10天，現(xiàn)先由甲單獨(dú)做2天，然后再安排乙與甲合作完成剩下的部分，則完成這項(xiàng)工程共耗時(shí)(

)A．1天 B．2天 C．3天 D．4天【答案】D【分析】設(shè)完成這項(xiàng)工程共耗時(shí)x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)總工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)完成這項(xiàng)工程共耗時(shí)x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)題意得：1，解得：x＝4．即完成這項(xiàng)工程共耗時(shí)4天．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24六年級(jí)上·河南南陽·期末）為了改善人民群眾的宜居環(huán)境，鳳瑞公園里要建一個(gè)直徑是24m的圓形大花壇，在花壇的周圍鋪一條1m寬的小路，這條小路的面積是()m2；但是這項(xiàng)工程現(xiàn)在需要提前3天完成，就要把原來的工作效率提高12%，原計(jì)劃完成這一工程用()天?！敬鸢浮?8.528【分析】小路的形狀是個(gè)圓環(huán)，花壇直徑÷2＝小圓半徑，小圓半徑＋小路寬＝大圓半徑，根據(jù)圓環(huán)面積＝圓周率×（大圓半徑的平方－小圓半徑的平方），求出小路的面積；設(shè)原計(jì)劃完成這一工程用x天，則現(xiàn)在需要（x－3）天，將這項(xiàng)工程看作單位“1”，時(shí)間分之一可以看作效率，原計(jì)劃的效率是，現(xiàn)在的效率是，現(xiàn)在的效率是原來的（1＋12%），根據(jù)原計(jì)劃的效率×現(xiàn)在對(duì)應(yīng)百分率＝現(xiàn)在的效率，列出方程求出x的值即可?！驹斀狻?4÷2＝12（m）12＋1＝13（m）3.14×（132－122）＝3.14×（169－144）＝3.14×25＝78.5（m2）解：設(shè)原計(jì)劃完成這一工程用x天。為了改善人民群眾的宜居環(huán)境，鳳瑞公園里要建一個(gè)直徑是24m的圓形大花壇，在花壇的周圍鋪一條1m寬的小路，這條小路的面積是78.5m2；但是這項(xiàng)工程現(xiàn)在需要提前3天完成，就要把原來的工作效率提高12%，原計(jì)劃完成這一工程用28天。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓環(huán)面積公式，本題的難度主要在求原計(jì)劃天數(shù)，關(guān)鍵是理解工作時(shí)間、工作效率、工作總量之間的關(guān)系，找到等量關(guān)系，用方程解決問題。例3．（23-24六年級(jí)上·河北保定·期末）某大廈用無人智能配送車給大廈里的工作人員配送快遞。若配送車A單獨(dú)送，3小時(shí)才能送完；配送車B單獨(dú)送，4小時(shí)才能送完。如果兩輛車同時(shí)配送，多少小時(shí)可以將這些快遞送完。（用方程解）【答案】小時(shí)【分析】將配送總量看成單位“1”，A單獨(dú)送3小時(shí)才能送完，則A車1小時(shí)完成總量的1÷3＝；B單獨(dú)送4小時(shí)才能送完，則B車1小時(shí)完成總量的1÷4＝；設(shè)x小時(shí)可以將這些快遞送完，根據(jù)效率和×?xí)r間＝工作總量列出方程求解即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)x小時(shí)可以將這些快遞送完[（1÷3）＋（1÷4）]×x＝1[＋]×x＝1x＝1x＝1÷x＝1×x＝答：如果兩輛車同時(shí)配送，小時(shí)可以將這些快遞送完。變式1．（23-24六年級(jí)上·河南開封·期末）暑假里，學(xué)校進(jìn)行校園部分設(shè)施維修，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，需要20天，如果乙隊(duì)單獨(dú)做，需要25天。甲隊(duì)先單獨(dú)做了若干天后，被叫去參加另外一個(gè)工程的緊急搶修，剩下的維修工作由乙隊(duì)單獨(dú)做完。兩隊(duì)一共用了22天完工，甲、乙兩隊(duì)各做了多少天？【答案】甲、乙兩隊(duì)各做了12天和10天【分析】假設(shè)這個(gè)工程的總量為“1”。甲隊(duì)單獨(dú)做，需要20天，則甲隊(duì)的工作效率為。乙隊(duì)單獨(dú)做，需要25天，則乙隊(duì)的工作效率為。根據(jù)工作效率×工作時(shí)間＝工作總量，據(jù)此可以假設(shè)甲隊(duì)做了x天，則乙隊(duì)做了（22－x）天，甲隊(duì)工作的天數(shù)×工作效率＋乙隊(duì)工作的天數(shù)×工作效率＝工作總量，據(jù)此列方程，并解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)甲隊(duì)做了x天，則乙隊(duì)做了（22－x）天，x＋（22－x）＝1x＋－x＝1x＋－x－＝1－x－x＝x－x＝x＝x＝÷x＝×100x＝12則乙隊(duì)：22－12＝10（天）答：甲、乙兩隊(duì)各做了12天和10天。變式2．（22-23六年級(jí)下·四川綿陽·期末）有一項(xiàng)工程，按原計(jì)劃甲、乙合作120天可以完工，后因特殊原因，甲隊(duì)的工效提高20%，乙隊(duì)的工效則下降了20%，因此比計(jì)劃多用5天完成。求甲隊(duì)單獨(dú)完成全部工程要用多少天？【答案】300天【分析】把這項(xiàng)工程的工作總量看作單位“1”，已知原計(jì)劃甲、乙合作120天可以完工，即原計(jì)劃兩隊(duì)的合作工效是；由此可以設(shè)原計(jì)劃甲隊(duì)的工作效率為，則原計(jì)劃乙隊(duì)的工作效率為（－）。已知甲隊(duì)的工效提高20%，把甲隊(duì)計(jì)劃的工效看作單位“1”，那么現(xiàn)在甲隊(duì)的工效是（1＋20%）；已知乙隊(duì)的工效下降20%，把乙隊(duì)計(jì)劃的工效看作單位“1”，那么現(xiàn)在乙隊(duì)的工效是（－）×（1－20%）；由“現(xiàn)在比計(jì)劃多用5天完成”可知，現(xiàn)在兩隊(duì)合作用時(shí)（120＋5）天；根據(jù)“合作工效×合作工時(shí)＝工作總量”列出方程，并求解；求出原計(jì)劃甲隊(duì)的工作效率，再根據(jù)“工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率”，即可求出甲隊(duì)單獨(dú)完成全部工程要用的天數(shù)?！驹斀狻吭?jì)劃兩隊(duì)的合作工效：1÷120＝解：設(shè)原計(jì)劃甲隊(duì)的工作效率為，則原計(jì)劃乙隊(duì)的工作效率為（－）。[（1＋20%）＋（－）×（1－20%）]×（120＋5）＝1[＋（－）×]×125＝1[＋－]×125＝1[＋]×125＝150＋＝150＝1－50＝＝÷50＝×＝甲隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需要的天數(shù)：1÷＝1×300＝300（天）答：甲隊(duì)單獨(dú)完成全部工程要用300天?！军c(diǎn)睛】本題考查列方程解決工程問題，掌握工作效率、工作時(shí)間、工作總量之間的關(guān)系以及百分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵。變式3．（2024·仁壽七年級(jí)月考）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需20天完成，乙單獨(dú)做需15天完成，現(xiàn)在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙獨(dú)做，先后共用12天，請(qǐng)問甲做了多少天？【答案】甲做了4天．【分析】設(shè)甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量=總工程量，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲做了x天，依題意得：，解得：x=4．答：甲做了4天．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．題型5、年齡問題【解題技巧】“年齡差不變”是隱藏在年齡問題中的已知條件，每個(gè)年齡問題都是與年齡差發(fā)生關(guān)系，找出年齡差是解題的關(guān)鍵。例1．（2023·四川·小升初真題）父親和女兒現(xiàn)在年齡之和是91，當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍的時(shí)候，女兒年齡是父親現(xiàn)在年齡的，女兒現(xiàn)在年齡是()歲?！敬鸢浮?8【分析】設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡為x歲，則父親現(xiàn)在的年齡是（91－x）歲。當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍的時(shí)候也就是父親的年齡是2x歲。兩個(gè)人跨越的年齡是一樣的，當(dāng)父親2x歲時(shí)，和現(xiàn)在相比少了（91－x－2x）歲，則女兒也跨越了（91－x－2x）歲，則女兒這時(shí)候的年齡是[x－（91－x－2x）]也是父親現(xiàn)在年齡的，也就是，列出方程求出方程的解?！驹斀狻吭O(shè)女兒現(xiàn)在的年齡為x歲，則父親現(xiàn)在的年齡是（91－x）歲。則女兒現(xiàn)在的年齡是28歲。例2．（2024六年級(jí)·廣東·培優(yōu)）今年祖父的年齡是70歲，3個(gè)孫子的年齡分別是18歲、18歲、19歲，那么（

）年前3個(gè)孫子的年齡之和恰好等于祖父年齡的一半。A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】設(shè)x年前3個(gè)孫子的年齡之和恰好等于祖父年齡的一半，則x年前3個(gè)孫子的年齡分別是（18－x）歲、（18－x）歲、（19－x）歲，祖父的年齡是（70－x）歲，據(jù)此列方程為18－x＋18－x＋19－x＝（70－x）÷2，然后解出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)x年前3個(gè)孫子的年齡之和恰好等于祖父年齡的一半。18－x＋18－x＋19－x＝（70－x）÷218＋18＋19－x－x－x＝（70－x）÷2（18＋18＋19）－（x＋x＋x）＝（70－x）÷255－3x＝（70－x）÷2（55－3x）×2＝（70－x）÷2×2110－6x＝70－x110－6x＋6x＝70－x＋6x110＝70＋5x70＋5x＝11070＋5x－70＝110－705x＝405x÷5＝40÷5x＝88年前3個(gè)孫子的年齡之和恰好等于祖父年齡的一半。故答案為：C變式1．（2024六年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）父親的年齡是女兒現(xiàn)在的年齡時(shí)，女兒剛4歲，當(dāng)父親79歲時(shí)，女兒的年齡恰好是父親現(xiàn)在的年齡，則父親現(xiàn)在的年齡是()歲?！敬鸢浮?4【分析】如圖，設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡是x歲，父親和女兒相差x－4歲，根據(jù)女兒現(xiàn)在的年齡＋年齡差×2＝79歲，列出方程，求出女兒現(xiàn)在的年齡，女兒現(xiàn)在的年齡－4＝年齡差，女兒現(xiàn)在的年齡＋年齡差＝父親現(xiàn)在的年齡。【詳解】解：設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡是x歲。x＋2（x－4）＝79x＋2x－8＝793x＝87x＝2929－4＋29＝54（歲）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是明白年齡差永不變的特點(diǎn)，找到等量關(guān)系列出方程。變式2．（2023·四川成都·小升初真題）爸爸、哥哥、妹妹三人現(xiàn)在的年齡和70歲，當(dāng)爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，妹妹是9歲，當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲，現(xiàn)在三人的年齡各是多少歲？【答案】妹妹12歲、哥哥16歲、爸爸42歲【分析】三人增長(zhǎng)的歲數(shù)一樣。也就是爸爸增長(zhǎng)的歲數(shù)＝哥哥的增長(zhǎng)歲數(shù)＝妹妹增長(zhǎng)的歲數(shù)。當(dāng)妹妹9歲時(shí)，設(shè)哥哥的年齡是x歲，爸爸的年齡是3x歲。當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲時(shí)，爸爸是增長(zhǎng)了（34－3x）歲，妹妹和哥哥也都增長(zhǎng)了（34－3x）歲。這時(shí)候妹妹的年齡是（9＋34－3x）歲，哥哥的年齡是（x＋34－3x）歲，根據(jù)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍列出數(shù)量關(guān)系式：哥哥的年齡＝妹妹的年齡×2。解方程得出哥哥的年齡為13歲，這時(shí)候爸爸的年齡39歲，妹妹的年齡是9歲，三個(gè)人這時(shí)候的年齡總和是61歲，現(xiàn)在三個(gè)人的年齡和是70歲，相差9歲，這個(gè)相差的9歲是三個(gè)人一起增長(zhǎng)的年齡，所以每個(gè)人增長(zhǎng)了3歲?！驹斀狻拷猓涸O(shè)當(dāng)妹妹9歲時(shí)，哥哥x歲，爸爸3x歲。3×13＝39（歲）9＋13＋39＝61（歲）（70－61）÷3＝9÷3＝3（歲）妹妹：9＋3＝12（歲）哥哥：13＋3＝16（歲）爸爸：39＋3＝42（歲）答：現(xiàn)在妹妹12歲，哥哥16歲，爸爸42歲。題型6、數(shù)字與日歷問題【解題技巧】已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a．例1．（2022·河北滄州·七年級(jí)期末）一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，將兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)后得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和是99，求原兩位數(shù).設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是，根據(jù)題意可列方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出原兩位數(shù)的十位數(shù)字是，再根據(jù)將兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)后得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和是99建立方程即可．【詳解】解：由題意得：原兩位數(shù)的十位數(shù)字是，則可列方程為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．例2．（2024·河南·七年級(jí)期中）將連續(xù)的奇數(shù)1、3、5、7、9、11等，按一定規(guī)律排成如圖：圖中的T字框框住了四個(gè)數(shù)字，若將T字框上下左右移動(dòng)，按同樣的方式可框住另外的四個(gè)數(shù)．若將T字框上下左右移動(dòng)，則框住的四個(gè)數(shù)的和不可能得到的數(shù)是（

）A．34 B．62 C．118 D．158【答案】A【分析】由題意，設(shè)T字框內(nèi)處于中間且靠上方的數(shù)為2n﹣1，則框內(nèi)該數(shù)左邊的數(shù)為2n﹣3，右邊的為2n+1，下面的數(shù)為2n﹣1+10，故T字框內(nèi)四個(gè)數(shù)的和為：8n+6．【詳解】由題意，設(shè)T字框內(nèi)處于中間且靠上方的數(shù)為2n﹣1，則框內(nèi)該數(shù)左邊的數(shù)為2n﹣3，右邊的為2n+1，下面的數(shù)為2n﹣1+10，∴T字框內(nèi)四個(gè)數(shù)的和為：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框內(nèi)四個(gè)數(shù)的和為：8n+6．A、由題意，令框住的四個(gè)數(shù)的和為34，則有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不滿足整數(shù)的條件．故框住的四個(gè)數(shù)的和不能等于34，故本選項(xiàng)符合題意；B、由題意，令框住的四個(gè)數(shù)的和為62，則有：8n+6＝62，解得n＝7．滿足整數(shù)的條件．故本選項(xiàng)不符合題意；C、由題意，令框住的四個(gè)數(shù)的和為118，則有：8n+6＝118，解得n＝14．滿足整數(shù)的條件．故本選項(xiàng)不符合題意；D、由題意，令框住的四個(gè)數(shù)的和為158，則有：8n+6＝158，解得n＝19．滿足整數(shù)的條件．故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．變式1．（2024·廣東江門·七年級(jí)期中）我國古代的“九宮格”是由3×3的方格構(gòu)成的，每個(gè)方格內(nèi)均有不同的數(shù)，每一行每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等．如圖，給出了“九宮格”的一部分，則陰影部分的數(shù)值是______．【答案】9【分析】根據(jù)題意，利用左下角的數(shù)在最左邊列，也在最下面的一行，即可列出關(guān)于x的方程，從而可以得到x的值，從而可得答案．【詳解】解：由題意可得：解得：所以這三個(gè)數(shù)的和為：所以陰影部分的數(shù)值為：故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．變式2．（2024·陜西·七年級(jí)期中）如圖，在2022年元月份的月歷表中，任意框出表中豎列上相鄰的四個(gè)數(shù)，則這四個(gè)數(shù)的和可能是（

）A．42 B．60 C．78 D．86【答案】C【分析】由于表中豎列上相鄰兩列的數(shù)相差7，所以可設(shè)這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為x，則其余的三個(gè)數(shù)為x+7，x+14，x+21，然后根據(jù)這四個(gè)數(shù)的和分別等于四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列出方程，求出方程的解，然后根據(jù)實(shí)際意義取值即可．【詳解】解：設(shè)這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為x，則其余的三個(gè)數(shù)為x+7，x+14，x+21，那么，這四個(gè)數(shù)的和為x+x+7+x+14+x+21=4x+42．A、如果4x+42=42，那么x=0，故A不符合題意；B、如果4x+42=60，那么x=4.5，故B不符合題意；C、如果4x+42=78，那么x=9，故C符合題意；D、如果4x+42=86，那么x=11，故D不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答．變式3．（2024·北京模擬預(yù)測(cè)）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法，最早在15世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計(jì)算，將乘數(shù)46寫在方格上邊，乘數(shù)71寫在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則______．【答案】6【分析】根據(jù)“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．【詳解】解：根據(jù)題意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k解得k=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“格子乘法”分析圖示，列出方程是關(guān)鍵．題型7、牛吃草問題【解題技巧】解題關(guān)鍵在于理解草的生長(zhǎng)和消耗之間的平衡關(guān)系，通過設(shè)定和計(jì)算，找出不變的量（如原有的草量和每天新長(zhǎng)的草量），進(jìn)而解決問題。這類問題不僅考驗(yàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力，也鍛煉了邏輯思維和問題解決能力。例1．（2022·河南鄭州·小升初真題）某火車站的檢票口在檢票開始前已經(jīng)有人在排隊(duì)，檢票開始后平均每分鐘有10人來排隊(duì)等候檢票。一個(gè)檢票口每分鐘平均能讓25人檢票進(jìn)站。如果只開一個(gè)檢票口，那么檢票開始8分鐘后就可以無人排隊(duì)；如果開兩個(gè)檢票口，那么開始檢票分鐘后就暫時(shí)無人排隊(duì)了?！敬鸢浮?【分析】據(jù)已知條件，一個(gè)窗口8分鐘一共放走了25×8＝200（人），8分鐘內(nèi)共來了10×8＝80（人），所以原來有200－80＝120（人）；開兩個(gè)窗口則每分鐘可放25×2＝50（人），則可設(shè)x分鐘后就暫時(shí)無人排隊(duì)了，x分鐘共來人10x人，可得方程：50x－10x＝120，解此方程即可?！驹斀狻吭瓉碛校?5×8－10×8＝200－80＝120（人）設(shè)開兩個(gè)窗口后x分鐘后就暫時(shí)無人排隊(duì)了，則得方程：（25×2）x－10x＝120解：50x－10x＝12040x＝120x＝120÷40x＝3所以開始檢票3分鐘后就暫時(shí)無人排隊(duì)了。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是要先求出原來等著的有多少人，再找出題中數(shù)量間的相等關(guān)系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結(jié)果。例2．（2024六年級(jí)下·浙江·培優(yōu)）甲、乙兩個(gè)水池同時(shí)以相同的速度向外排水（勻速），甲池3小時(shí)可以排完，乙池2小時(shí)可以排完。開始排水小時(shí)后，甲池的水量是乙池的8倍?！敬鸢浮?【分析】假設(shè)甲、乙兩水池的排水速度都為1，設(shè)開始排水x小時(shí)后，甲池的水量是乙池的8倍，甲水池現(xiàn)在的水量＝乙水池現(xiàn)在的水量×8，甲水池原來的水量－甲排出的水量＝甲水池現(xiàn)在的水量，乙水池原來的水量－乙排出的水量＝乙水池現(xiàn)在的水量，據(jù)此列方程為1×3－1×x＝（1×2－1×x）×8，然后解出方程即可。【詳解】假設(shè)甲、乙兩水池的排水速度都為1，解：設(shè)開始排水x小時(shí)后，甲池的水量是乙池的8倍。1×3－1×x＝（1×2－1×x）×83－x＝（2－x）×83－x＝16－8x3－x＋8x＝16－8x＋8x3＋7x＝163＋7x－3＝16－37x＝137x÷7＝13÷7x＝開始排水小時(shí)后，甲池的水量是乙池的8倍?！军c(diǎn)睛】本題可用假設(shè)法和列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。變式1．（2024六年級(jí)·重慶·培優(yōu)）自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走35級(jí)臺(tái)階，女孩每分鐘走22級(jí)臺(tái)階。男孩用了3分鐘到達(dá)樓上，女孩用了4分鐘到達(dá)樓上。這個(gè)自動(dòng)扶梯共有級(jí)臺(tái)階露在外面。【答案】156【分析】根據(jù)題意可知，扶梯的臺(tái)階數(shù)＝扶梯每分鐘走的臺(tái)階數(shù)×行駛時(shí)間＋每人每分鐘走的臺(tái)階數(shù)×行駛時(shí)間，因?yàn)榉鎏莸呐_(tái)階數(shù)不變，可設(shè)扶梯每分鐘走x個(gè)臺(tái)階，據(jù)此列方程為3x＋3×35＝4x＋4×22，然后解出方程，進(jìn)而求出扶梯的臺(tái)階數(shù)?！驹斀狻拷猓涸O(shè)扶梯每分鐘走x個(gè)臺(tái)階。3x＋3×35＝4x＋4×223x＋105＝4x＋883x＋105－3x＝4x＋88－3x105＝x＋88105－88＝x＋88－8817＝xx＝173×17＋3×35＝51＋105＝156（級(jí)）這個(gè)自動(dòng)扶梯共有156級(jí)臺(tái)階露在外面?！军c(diǎn)睛】本題考查了牛吃草問題，可用列方程解決問題，也可算式解答，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。變式2．（2024六年級(jí)·山東·培優(yōu)）有一個(gè)水池，池底不斷有泉水涌出，且每小時(shí)涌出的水量相同?，F(xiàn)要把水池里的水抽干，若用5臺(tái)抽水機(jī)40小時(shí)可以抽完，若用10臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)可以抽完。現(xiàn)在用14臺(tái)抽水機(jī)，多少小時(shí)可以把水抽完（

）。A．10小時(shí) B．9小時(shí) C．8小時(shí) D．7小時(shí)【答案】A【分析】可假設(shè)1臺(tái)抽水機(jī)1小時(shí)抽水量為“1”，抽水機(jī)在一定時(shí)間內(nèi)抽水量包含兩類：池中原有量；池中一定時(shí)間內(nèi)新涌出的量?？上惹蟪?臺(tái)抽水機(jī)40小時(shí)的抽水量及10臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)的抽水量，并利用抽水量之差除以時(shí)間之差，求出泉水每小時(shí)新涌出的量；再計(jì)算出池中原有水量；最后設(shè)14臺(tái)抽水機(jī)x小時(shí)把水抽完，結(jié)合數(shù)量關(guān)系式：14臺(tái)抽水機(jī)x小時(shí)抽水量＝池中原有水量＋x小時(shí)泉水新涌出的量，列方程，解答即可。【詳解】由分析得：假設(shè)1臺(tái)抽水機(jī)1小時(shí)抽水量為“1”，5臺(tái)抽水機(jī)40小時(shí)抽水量＝5×40×1＝20010臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)＝10×15×1＝150泉水每小時(shí)新涌出的量：（200－150）÷（40－15）＝50÷25＝2池中原有水量：200－40×2＝200－80＝120解：設(shè)14臺(tái)抽水機(jī)x小時(shí)可以把水抽完。14x＝120＋2x12x＝120x＝10故答案為：A。【點(diǎn)睛】這屬于“牛吃草問題”，題意較為復(fù)雜，需經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)及總結(jié)方能掌握，解決這類問題的思維模式及數(shù)量關(guān)系?？蛇\(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中某種場(chǎng)合下所發(fā)生的問題中去。例如合理開放火車站檢票口問題，合理調(diào)度運(yùn)輸車輛運(yùn)送倉庫貨物問題。題型8、銷售問題【解題技巧】此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關(guān)系來列寫等式方程。實(shí)際售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率利潤＝售價(jià)－成本(或進(jìn)價(jià))＝成本×利潤率標(biāo)價(jià)＝成本(或進(jìn)價(jià))×(1＋利潤率)注意：“商品利潤＝售價(jià)－成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時(shí)，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售．例1．（2024·廣東·七年級(jí)期中）元旦節(jié)期間，百貨商場(chǎng)為了促銷，每件夾克按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，后因季節(jié)關(guān)系按標(biāo)價(jià)的8折出售，每件仍盈利20元，這批夾克每件的成本價(jià)是多少元？【答案】這批夾克每件的成本價(jià)是100元【分析】設(shè)成本價(jià)為x元，根據(jù)提價(jià)打折之后盈利為20元，列出方程式，求解即可．【詳解】設(shè)成本價(jià)為x元，依題意得：x（1+50%）×80%﹣x＝20，解得：x＝100，答：這批夾克每件的成本價(jià)是100元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列方程求解．例2．（2024·重慶·七年級(jí)期中）一水果店第一次購進(jìn)400kg西瓜，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上又購進(jìn)了800kg西瓜，進(jìn)貨價(jià)比第一次每千克少了0.5元．兩次進(jìn)貨共花費(fèi)4400元．（1）第一次購進(jìn)的西瓜進(jìn)價(jià)每千克多少元；（2）在銷售過程中，兩次購進(jìn)的西瓜售價(jià)相同．由于西瓜是易壞水果，從購進(jìn)到全部售完會(huì)有部分損耗．第一次購進(jìn)的西瓜有4%的損耗，第二次購進(jìn)的西瓜有6%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利2984元，則每千克西瓜的售價(jià)為多少元．【答案】（1）4元；（2）6.5元【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)的西瓜進(jìn)貨價(jià)每千克為元，則第二次進(jìn)貨價(jià)為元，根據(jù)題意列一元一次方程即可求解；（2）設(shè)售價(jià)為元，求出兩次的銷售總額，再減去成本就是獲利，列出一元一次方程，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)的西瓜進(jìn)貨價(jià)每千克為元，則第二次進(jìn)貨價(jià)為元，由題意可得：，即解得答：第一次購進(jìn)的西瓜進(jìn)價(jià)每千克4元；（2）設(shè)每千克西瓜的售價(jià)為元，則第一次的銷售額為元，第二次的銷售額為元，總成本為4400元，則，即解得答：每千克西瓜的售價(jià)為6.5元【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意弄清楚題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·福建·七年級(jí)期中）某社區(qū)超市第一次用6000元購進(jìn)一批甲乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)比乙商品件數(shù)的2倍少30件，兩件商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下圖所示：(1)超市購進(jìn)的這批貨中甲乙兩種商品各有多少件？(2)該超市第二次分別以第一次同樣的進(jìn)價(jià)購進(jìn)第二批甲乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)是第一批乙商品件數(shù)的3倍，甲商品件數(shù)不變，甲商品按照原售價(jià)銷售，乙商品在原價(jià)的基礎(chǔ)上打折銷售，第二批商品全部售出后獲得的總利潤比第一批獲得的總利潤多720元，求第二批乙商品在原價(jià)基礎(chǔ)上打幾折銷售？甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）2230售價(jià)（元/件）2940【答案】(1)甲種商品150件，乙種商品90件；(2)9折．【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)乙種商品m件，則購進(jìn)甲種商品（2m﹣30）件，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程后計(jì)算，可得兩種商品第一次購進(jìn)數(shù)量；（2）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打y折銷售，根據(jù)總利潤＝每件的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（1）解：設(shè)第一次購進(jìn)乙種商品m件，則購進(jìn)甲種商品（2m﹣30）件，依題意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000，解得：m＝90，∴2m﹣30＝150，答：超市購進(jìn)的這批貨中甲種商品150件，乙種商品90件．（2）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打y折銷售，由（1）可知，第一次兩種商品全部賣完可獲得利潤為：（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．依題意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9．答：第二次乙種商品是按原價(jià)打9折銷售．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·山西·七年級(jí)期中）把一批上衣按進(jìn)價(jià)提高50%后作為售價(jià)，因打6折促銷，售價(jià)相應(yīng)調(diào)整為90元，打折后每件上衣（

）A．賺20元 B．賺10元 C．虧20元 D．虧10元【答案】D【分析】設(shè)上衣的進(jìn)價(jià)為x元，則提高后的價(jià)格為（1+50%）x元，打折后的價(jià)格為x（1+50%）×60%元，根據(jù)打折后的價(jià)格為90元建立方程求出其解即可．【詳解】解：設(shè)上衣的進(jìn)價(jià)為x元，由題意，得x（1+50%）×60%=90，解得：x=100．打折后每件上衣的利潤為：90100=10元．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，列一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)打折后的售價(jià)為90元建立方程求出進(jìn)價(jià)是關(guān)鍵．變式2．（2022·重慶江津·七年級(jí)期末）在六一兒童節(jié)期間，某商家推出零食大禮包，包含薯片、辣條、果凍三種零食．禮包的成本是三種零食成本之和．每個(gè)禮包中薯片、辣條、果凍成本之比為：：，其中薯片的利潤率為，果凍的利潤率為，且每個(gè)禮包的總利潤率為，則辣條的利潤率為______．【答案】【分析】設(shè)辣條的利潤率為x，每個(gè)禮包中薯片成本為7m、辣條成本為5m、果凍成本為3m，則每個(gè)禮包的成本是15m，根據(jù)每個(gè)禮包的總利潤率為34%，列方程即可解得答案．【詳解】解：設(shè)辣條的利潤率為，每個(gè)禮包中薯片成本為、辣條成本為、果凍成本為，則每個(gè)禮包的成本是，根據(jù)題意得：，解得，答：辣條的利潤率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程．變式3．（2023·遼寧·七年級(jí)期中）某水果銷售店用1000元購進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克，這兩種水果的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示：甲種乙種進(jìn)價(jià)（元/千克）59售價(jià)（元/千克）813(1)這兩種水果各購進(jìn)多少千克？(2)若該水果店按售價(jià)銷售完這批水果，獲得的利潤是多少元？【答案】(1)甲種水果購進(jìn)65千克，乙種水果購進(jìn)75千克(2)獲得的利潤是495元【分析】（1）設(shè)購進(jìn)甲種水果x千克，則購進(jìn)乙種水果（140-x）千克，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和意義列出方程并解答；（2）總利潤=甲的利潤+乙的利潤．（1）解：設(shè)購進(jìn)甲種水果x千克，則購進(jìn)乙種水果（140-x）千克，根據(jù)題意得：5x+9（140-x）=1000，解得：x=65，∴140-x=75．答：購進(jìn)甲種水果65千克，乙種水果75千克；（2）解：（8-5）×65+（13-9）×75=3×65+4×75=495（元）．答：獲得的利潤是495元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．題型9、分段計(jì)費(fèi)問題【解題技巧】此類題型，收費(fèi)往往因?yàn)椴煌姆侄?，?biāo)準(zhǔn)會(huì)不一樣。因此，在列寫此類問題的等式方程時(shí)，需要先依據(jù)題意將路程進(jìn)行合理分段，然后在按照不同分段中的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列寫等式方程。常見試題背景：水費(fèi)、電費(fèi)、氣費(fèi)、車費(fèi)、納稅、社保醫(yī)保體系等例1．（2024六年級(jí)下·廣東·專題練習(xí)）某保險(xiǎn)公司的醫(yī)療保險(xiǎn)方案針對(duì)住院治療的病人享受分段報(bào)銷，保險(xiǎn)公司制定的報(bào)銷細(xì)則如下表。某人住院治療后得到保險(xiǎn)公司報(bào)銷金額是1000元，那么此人住院的醫(yī)療費(fèi)是多少元？住院醫(yī)療費(fèi)（元）報(bào)銷率（%）不超過500元的部分0超過500不超過1000元的部分60超過1000不超過3000元的部分70……【答案】2000元【分析】因?yàn)閳?bào)銷金額是1000元，根據(jù)分段報(bào)銷，超過500～1000元的部分報(bào)銷60%，超過1000～3000元的部分報(bào)銷70%的情況，設(shè)住院醫(yī)療費(fèi)是x元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：超過500～1000元的部分報(bào)銷的錢＋超過1000～3000元的部分報(bào)銷的錢=1000元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)住院醫(yī)療費(fèi)是x元。答：此人住院的醫(yī)療費(fèi)是2000元?！军c(diǎn)睛】本題考查分段計(jì)費(fèi)，解答本題的關(guān)鍵是掌握住院報(bào)銷的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題意列出方程解答。例2．（2022·遼寧鐵嶺·七年級(jí)期末）甲、乙兩家超市以相同的價(jià)格出售相同的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計(jì)購買商品超出200元之后，超出部分按8折優(yōu)惠；在乙超市累計(jì)購買商品超出100元之后，超出部分按9折優(yōu)惠．設(shè)顧客預(yù)計(jì)購買x元（）的商品．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示顧客在甲、乙兩家超市購物應(yīng)付的費(fèi)用；(2)小明準(zhǔn)備購買500元的商品，你認(rèn)為他應(yīng)該去哪家超市？請(qǐng)說明理由；(3)小明購買多少元的商品時(shí)，到兩家超市購物所付的費(fèi)用一樣？【答案】(1)甲超市元，乙超市元(2)甲超市，理由見解析(3)元【分析】（1）分別按照甲乙超市的優(yōu)惠方法：甲：200+超過200元的部分×0.8，乙：100+超過100元的部分×0.9；列代數(shù)式即可；（2）把代入（1）中的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，再比較即可；（3）利用兩家超市的費(fèi)用相等構(gòu)建方程，再解方程即可．(1)解：顧客在甲超市購物應(yīng)付的費(fèi)用為元；在乙超市購物應(yīng)付的費(fèi)用為元；(2)他應(yīng)該去甲超市．理由如下：當(dāng)時(shí)，甲：，乙：．∵，∴他應(yīng)該去甲超市；(3)根據(jù)題意，得，解這個(gè)方程，得答：小明購買元的商品時(shí)，到兩家超市購物所付的費(fèi)用一樣．【點(diǎn)睛】本題考查的是分段計(jì)費(fèi)的問題，列代數(shù)式，求解代數(shù)式的值，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確的列出代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．變式1．（23-24六年級(jí)下·浙江·期中）《中華人民共和國個(gè)人所得稅》規(guī)定，公民月工資、薪金所得不超過5000元的部分不納稅，超過5000元的部分為全月納稅所得稅，此項(xiàng)稅款按小表分段累計(jì)計(jì)算：若某人1月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為115元，則他的當(dāng)月工資、薪金為多少？全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過500元的部分5%超過500元至2000元的部分10%超過2000元至5000元的部分15%超過5000元至20000元的部分20%……【答案】6400元【分析】他首先繳納了500元的5%即25元稅款，假設(shè)此人工資超500元至2000元的那部分全部納稅，則應(yīng)為（2000－500）×10%＝150元，納稅總額175元大于實(shí)際的納稅額115元，因此能確定此人個(gè)稅繳納就在10%這一檔，據(jù)此解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)當(dāng)月工資薪金為x元，根據(jù)題意得500×5%＋（x－5000－500）×10%＝115500×0.05＋（x－5500）×0.1＝11525＋0.1x－550＝11525＋0.1x－550－25＋550＝115－25＋5500.1x＝6400.1x÷0.1＝640÷0.1x＝6400答：當(dāng)月工資薪金為6400元。【點(diǎn)睛】考查百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用稅率問題，個(gè)稅繳納問題為分檔累加比較復(fù)雜，解答關(guān)鍵是要先判斷出工資應(yīng)納稅的檔次。變式2．（2024·山東·七年級(jí)期中）濰坊出租車采用階梯式的計(jì)價(jià)收費(fèi)辦法如下表：行駛里程計(jì)費(fèi)方法不超過3公里起步價(jià)8元超過3公里且不超過7公里的部分每公里按標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)收費(fèi)超過7公里且不超過25公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的50%超過25公里且不超過100公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的75%超過100公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的100%說明：行駛里程不足1公里，按1公里計(jì)算；行駛里程超過3公里時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)為1.8元/公里．若某人一次乘車費(fèi)用為26元，那么行駛里程為（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【分析】設(shè)行駛里程為x公里，乘車費(fèi)用為26元．根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設(shè)行駛里程為x公里，乘車費(fèi)用為26元．若，根據(jù)題意得，不成立．若，根據(jù)題意得．解得（舍）．若，根據(jù)題意得．解得．若，根據(jù)題意得．解得（舍）．若時(shí)，根據(jù)題意得．解得（舍）．∴若某人一次乘車費(fèi)用為26元，那么行駛里程為11公里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．A組（能力提升）1．（2024·河南·七年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：令有人合伙買羊，每人出5錢，會(huì)差45錢，每人出7錢，會(huì)差3錢，問合伙人數(shù)：羊價(jià)各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x，所列方程正確的是（

）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．【答案】B【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價(jià)錢不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】設(shè)合伙人數(shù)為人，依題意，得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（23-24六年級(jí)上·陜西西安·期末）亮亮從家步行去學(xué)校，每小時(shí)走5千米。回家時(shí)，騎自行車，每小時(shí)走13千米。騎自行車比步行的時(shí)間少4小時(shí)，亮亮家到學(xué)校的距離是()千米?！敬鸢浮?2.5【分析】根據(jù)題意得：亮亮步行和騎自行車的距離相等，即亮亮家到學(xué)校的距離。路程=速度×?xí)r間，可設(shè)距離為未知數(shù)x，則可計(jì)算出時(shí)間再相減得到相差的4小時(shí)，列出方程，進(jìn)而計(jì)算得出答案?！驹斀狻吭O(shè)亮亮家到學(xué)校的距離是x千米，則可列方程：即亮亮家到學(xué)校的距離是32.5千米。3．（2024·四川成都·小升初真題）開始時(shí)，王老師的積分券有120張，小明的積分券數(shù)量是小李的兩倍。后來，王老師給小明和小李發(fā)了相同數(shù)量的積分券，現(xiàn)在三人的積分券數(shù)量之比為?，F(xiàn)在王老師還剩積分券()張?！敬鸢浮?0【分析】設(shè)現(xiàn)在王老師有張，則小明現(xiàn)在有張，小李現(xiàn)在有張。王老師給小明和小李相同數(shù)量，則小明和小李的數(shù)量差不變，，原來小明是小李的兩倍，小李是1份，小明就是這樣的2份，相差1份，一份就是x張，則小李原有x張，小明原有（張）。三個(gè)人的總張數(shù)沒有發(fā)生改變，則數(shù)量關(guān)系式為：三人的張數(shù)－小明原有的張數(shù)－小李原有的張數(shù)＝120張。【詳解】設(shè)現(xiàn)在王老師有張，則小明現(xiàn)在有張，小李現(xiàn)在有張。則現(xiàn)在王老師還剩積分券40張。4．（22-23六年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）師徒兩人合作完成了540個(gè)零件的加工任務(wù)，其中徒弟加工了3小時(shí)，師傅加工了5小時(shí)。已知師傅每小時(shí)比徒弟多加工12個(gè)，徒弟每小時(shí)加工()個(gè)，師傅每小時(shí)加工()個(gè)?！敬鸢浮?072【分析】根據(jù)題意，可以設(shè)徒弟每小時(shí)加工x個(gè)，則師傅每小時(shí)加工（x＋12）個(gè)，根據(jù)工作量＝工作時(shí)間×工作效率這一公式，可以列出等量關(guān)系式為：5×（x＋12）＋3x＝540?！驹斀狻拷猓涸O(shè)徒弟每小時(shí)加工x個(gè)，則師傅每小時(shí)加工（x＋12）個(gè)。5×（x＋12）＋3x＝5405x＋60＋3x＝5408x＋60＝5408x＋60－60＝540－608x＝4808x÷8＝480÷8x＝60師傅：60＋12＝72（個(gè)）【點(diǎn)睛】此題考查了工作量、工作時(shí)間、工作效率三者之間的關(guān)系以及學(xué)生對(duì)列方程、解方程的熟練掌握程度，關(guān)鍵是要找到等量關(guān)系式。5．（2022·重慶·小升初真題）小蘭發(fā)現(xiàn)公路邊等距地立著一排電線桿，她用均勻的速度從第1根電線桿走到第15根電線桿用了7分鐘時(shí)間，接著她繼續(xù)往前走，又走了若干根電線桿后就往回走，當(dāng)她走回到第5根電線桿時(shí)一共用了30分鐘，那么小蘭是走到第根電線桿是開始往回走的?！敬鸢浮?3【分析】從第1根電線桿走到第15根電線桿，共經(jīng)過（15－1）即14個(gè)間隔，用7分鐘。因此1分鐘走14÷7即2個(gè)間隔；當(dāng)她走回到第5根電線桿時(shí)一共用了30分鐘，共走了30×2即60個(gè)間隔；設(shè)走到第x根電線桿時(shí)開始往回走，開始往回走的時(shí)，走了（x－1）個(gè)間隔，回來時(shí)走了（x－5）個(gè)間隔，然后列出方程進(jìn)行解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)小蘭是走到第x根電線桿是開始往回走的。（x－1）＋（x－5）＝30×2x－1＋x－5＝602x－6＝602x－6＋6＝60＋62x÷2＝66÷2x＝33小蘭是走到第33根電線桿是開始往回走的。【點(diǎn)睛】本題考查了兩端植樹問題，植樹棵數(shù)比間隔數(shù)多1，求出共走的間隔數(shù)，然后再進(jìn)一步解答即可。7．（2024·四川成都·小升初真題）某商店面包的成本是定價(jià)的80%，可樂的定價(jià)是10元，成本是8元?，F(xiàn)在商店把2個(gè)面包與1杯可樂配套出售，并且按它們的定價(jià)之和的90%出售。這樣每套可獲得利潤3元。面包的成本是多少元？【答案】8元【分析】利潤＝售價(jià)－成本。利潤的3元＝2個(gè)面包和1杯可樂的售價(jià)－2個(gè)面包和1杯可樂的成本。以它們的定價(jià)之和的90%出售則售價(jià)＝（2×面包的定價(jià)＋1杯可樂的定價(jià)）×90%。則數(shù)量關(guān)系式：（2×面包的定價(jià)＋1杯可樂的定價(jià)）×90%－（2×面包的成本＋1杯可樂的成本）?！驹斀狻拷猓涸O(shè)面包的定價(jià)是x元，成本80%x元。10×80%＝8（元）答：面包的成本是8元。8．（2024·四川成都·小升初真題）某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，求此人此時(shí)摩托車的速度應(yīng)該是多少？【答案】每小時(shí)27千米【分析】家到火車站的距離是不變的，設(shè)從家出發(fā)正點(diǎn)到達(dá)火車站的時(shí)間是小時(shí)，根據(jù)時(shí)速30千米和18千米兩種情況下路程相等列方程，解出正點(diǎn)到達(dá)火車站的時(shí)間，從而計(jì)算出家到火車站的距離，再用距離除以提前10分鐘時(shí)所需要的時(shí)間就是摩托車應(yīng)該行駛的速度?！驹斀狻拷猓涸O(shè)從家出發(fā)正點(diǎn)到達(dá)火車站的時(shí)間是小時(shí)，（千米）答：此時(shí)摩托車的速度應(yīng)該是每小時(shí)27千米。【點(diǎn)睛】本題考查路程問題的基本公式“路程＝速度×?xí)r間”，解題思路是應(yīng)用路程不變列方程求解。9．（23-24六年級(jí)上·廣西柳州·期中）為解決交通擁堵情況，對(duì)長(zhǎng)1000米江峰路進(jìn)行路面拓寬工程。以下是主要信息：A．原來路面寬是12米，現(xiàn)在路面比原來寬。B．該工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做需要20天，如果由乙隊(duì)單獨(dú)做需要30天，現(xiàn)在兩隊(duì)合作完成。C．工程實(shí)際用款84萬元，實(shí)際用款比計(jì)劃用款多用。根據(jù)以上信息，請(qǐng)選擇一條信息，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并解答。（1）選擇的信息：（

）（2）提出問題：________________________________________？（3）列式解答：【答案】（1）A；（2）現(xiàn)在路面寬有多少米？（3）（米）；15米（本題答案不唯一）【分析】已知江峰路長(zhǎng)1000米，要對(duì)其進(jìn)行路面拓寬工程：（1）對(duì)于信息A：又知原來路面寬是12米，現(xiàn)在路面比原來寬；如果把原來路面寬度看作單位“1”，則單位“1”是已知的，可以提出分?jǐn)?shù)乘法問題，比如現(xiàn)在路面寬有多少米？然后根據(jù)單位“1”的量×對(duì)應(yīng)分率＝對(duì)應(yīng)數(shù)量，列式：，可求得現(xiàn)在路面有多寬；（2）對(duì)于信息B：又知這項(xiàng)工程甲隊(duì)、乙隊(duì)單獨(dú)完成，分別需要20天、30天，如果把這項(xiàng)工程看作單位“1”，同時(shí)可知甲隊(duì)、乙隊(duì)的工作效率分別是1÷20＝，1÷30＝，工效，工作總量均已知，可以提出需要多少時(shí)間能完成任務(wù)的問題，比如：幾天可以完成任務(wù)？列式：，可求得完成任務(wù)需要幾天；（3）對(duì)于信息C：又知工程實(shí)際用款84萬元，實(shí)際用款比計(jì)劃用款多用，如果把計(jì)劃用款看作單位“1”，則單位“1”是未知的，可以提出分?jǐn)?shù)除法的問題，例如：計(jì)劃用款多少萬元？如果用方程解答，可設(shè)計(jì)劃用款萬元，列方程：，解這個(gè)方程，可求得計(jì)劃用款是多少萬元。【詳解】（1）A：現(xiàn)在路面寬有多少米？＝12×＝15（米）答：現(xiàn)在路面寬有15米。（2）B：幾天可以完成任務(wù)？＝1÷＝1×12＝12（天）答：12天可以完成任務(wù)。（3）C：計(jì)劃用款多少萬元？解：設(shè)計(jì)劃用款萬元。

＝＝＝80（萬元）答：計(jì)劃用款80萬元?！军c(diǎn)睛】解答本題需要明確：?jiǎn)挝弧?”已知，用乘法計(jì)算；單位“1”未知用除法計(jì)算，同時(shí)把數(shù)量、分率對(duì)應(yīng)好，再著手解答。10．（2022·湖南長(zhǎng)沙·小升初真題）如今網(wǎng)絡(luò)團(tuán)購已經(jīng)走進(jìn)我們的生活。聰聰一家星期天去某湘菜館就餐，這家湘菜館可以使用團(tuán)購代金券，每張代金券售價(jià)70元，可抵100元消費(fèi)。每次最多使用2張，多余部分不找零錢，不足部分用現(xiàn)金補(bǔ)齊。若不使用代金券，則直接享受八折優(yōu)惠。（1）聰聰一家在這家湘菜館消費(fèi)260元，若盡量多的使用代金券，需要支付多少元？（包括購買代金券所支付的錢）（2）如果聰聰一家在這家湘菜館消費(fèi)，不管是否使用代金券，需要支付的錢數(shù)都是同樣多（若使用代金券，應(yīng)包括購買代金券支付的錢）。聰聰一家消費(fèi)的金額可能是____________元。【答案】（1）200（2）150或300【分析】（1）共消費(fèi)了260元，超過了200可以買2張優(yōu)惠券，不足部分用現(xiàn)金補(bǔ)齊，每張代金券的售價(jià)是70元，這樣需要支付的錢數(shù)就是2個(gè)70元加上超過200元的部分；（2）使用代金券，每100元只需要支付70元，可以節(jié)省30元，最多可以使用2張，節(jié)省60元，不使用代金券可以享受八折優(yōu)惠，也就是需要支付的錢數(shù)是原價(jià)的80%，設(shè)支付x元時(shí)兩種情況支付的錢數(shù)同樣多，分為支付1張或2張代金券進(jìn)行討論列出方程求解?！驹斀狻浚?）若盡量多的使用代金券，則最多買2張；70×2＋（260－100×2）＝140＋60＝200（元）答：若盡量多的使用代金券，需要支付200元。（2）解：設(shè)支付x元時(shí)兩種情況支付的錢數(shù)同樣多。①當(dāng)使用1張支付券時(shí)，1張支付券可以優(yōu)惠100?70＝30（元）（1?80%）x＝300.2x÷0.2＝30÷0.2x＝150②當(dāng)使用2張支付券時(shí)，2張支付券可以優(yōu)惠30×2＝60（元）（1?80%）x＝600.2x÷0.2＝60÷0.2x＝300所以聰聰一家消費(fèi)的金額可能是150或300元?！军c(diǎn)睛】解決本題注意找清楚兩種支付方式的不同含義，得出其計(jì)算所花錢數(shù)的方法，從而解決問題。11．（2022·山東·六年級(jí)期末）公園里新建了一個(gè)“花鳥樂園”。如圖，冬冬和小剛站在點(diǎn)A處，打算繞“花鳥樂園”外圍步行一圈。小剛說：“冬冬，我們背向而行，看看待會(huì)兒會(huì)在哪個(gè)地方相遇?！闭f完小剛就出發(fā)了。而冬冬觀賞了一會(huì)兒小鳥，等小剛走到B點(diǎn)，他才出發(fā)。已知小剛和冬冬的速度比是5∶6，當(dāng)他倆相遇時(shí)，小剛和冬冬所走的路程比是5∶4。這個(gè)“花鳥樂園”一周的長(zhǎng)度是多少米？（冬冬和小剛的速度不變）【答案】378米【分析】將這個(gè)樂園的周長(zhǎng)設(shè)為未知數(shù)，兩人相遇時(shí)，兩人恰好走完這個(gè)樂園的一周。同時(shí)，兩人的速度比恰好等于小剛的路程減去70米比上冬冬的路程，據(jù)此列比例解比例即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這個(gè)“花鳥樂園”一周的長(zhǎng)度是x米。5∶6＝∶x解得，x＝378答：這個(gè)“花鳥樂園”一周的長(zhǎng)度是378米。【點(diǎn)睛】本題考查了比例的應(yīng)用，相遇問題中，時(shí)間一定時(shí)，兩人的速度比就是兩人所走的路程比。B組（培優(yōu)拓展）1．（2024·湖北七年級(jí)期中）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2h，船在靜水中的速度為26km/h，水速為2km/h．設(shè)A港和B港相距xkm．根據(jù)題意，列出的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)A港和B港相距x千米，根據(jù)行船問題公式可知，順?biāo)俣容^快，所用時(shí)間較少，所以利用行程問題公式，列方程為：，變形為：，據(jù)此選擇．【詳解】解：設(shè)A港和B港相距x千米，，變形為：∴方程為：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，抓住關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．順?biāo)俣?水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．2．（2023·天津·七年級(jí)期中）某中學(xué)學(xué)生軍訓(xùn)，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進(jìn)，每小時(shí)走4.5千米．一列火車以每小時(shí)120千米的速度迎面開來，測(cè)得從火車頭與隊(duì)首學(xué)生相遇，到車尾與隊(duì)末學(xué)生相遇，共經(jīng)過12秒．如果隊(duì)伍長(zhǎng)150米，那么火車長(zhǎng)（）A．150米 B．215米 C．265米 D．310米【答案】C【分析】先將12秒化為小時(shí)，設(shè)火車長(zhǎng)x千米，然后根據(jù)學(xué)生行駛的路程+火車的路程＝火車的長(zhǎng)度+學(xué)生隊(duì)伍的長(zhǎng)度列方程求解即可，注意單位換算．【詳解】解：12秒＝小時(shí)，150米＝0.15千米，設(shè)火車長(zhǎng)x千米，根據(jù)題意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．答：火車長(zhǎng)265米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解題意，找到正確的等量關(guān)系．3．（2024六年級(jí)·江蘇·培優(yōu)）觀光扶梯勻速向上行駛，小王和小岳從扶梯上樓，小王每分鐘走45級(jí)臺(tái)階，小岳每分鐘走35級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小王上樓用了2分鐘，而小岳用了2.4分鐘，該扶梯的臺(tái)階共有級(jí)?！敬鸢浮?20【分析】根據(jù)題意可知，扶梯的臺(tái)階數(shù)＝扶梯每分鐘走的臺(tái)階數(shù)×行駛時(shí)間＋每人每分鐘走的臺(tái)階數(shù)×行駛時(shí)間，因?yàn)榉鎏莸呐_(tái)階數(shù)不變，可設(shè)扶梯每分鐘走x個(gè)臺(tái)階，據(jù)