高中數(shù)學(xué)常用二級(jí)結(jié)論

一、基礎(chǔ)常用結(jié)論

1.立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2)；

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).

2.任意的簡(jiǎn)單〃面體內(nèi)切球半徑為比(%是簡(jiǎn)單〃面

S表

體的體積，S表是簡(jiǎn)單〃面體的表面積).

3.在中，。為直角，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊

分別是a,b,c,則的內(nèi)切圓半徑為"he

2

4.斜二測(cè)畫法直觀圖面積為原圖形面積的三倍.

4

5.平行四邊形對(duì)角線平方之和等于四條邊平方之和.

6.函數(shù)人燈具有對(duì)稱軸x=a,x=b(a豐b),則<x)

為周期函數(shù)且一個(gè)正周期為21a-b\.

7.導(dǎo)數(shù)題常用放縮e'Nx+1,_l<^z!<]nx<x_i,

xx

ex>ex(x>1).

8.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線/x+為+C=0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)

(24(如+協(xié)+C)28(及+欣+C)]

9.已知三角形三邊x,y,z,求面積可用下述方法(一些

情況下比海倫公式更實(shí)用，如質(zhì),V28,V29)：

A+B=x2,

YAB+B，C+C?A

'B+C=S=

~2~

C+A=z2,

二、圓錐曲線相關(guān)結(jié)論

10.若圓的直徑端點(diǎn)）（占，乂），n（x29y2）,則圓的方

程為（工一曰）（*一*2）+（=一必）（二一%）=。?

11.橢磔I三十樂=1（。>o,Z>>0）的面積S為S=7uab.

12.過橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，兩切點(diǎn)連線

所在直線必經(jīng)過橢網(wǎng)相成的焦點(diǎn).

13.圓錐曲線的切線方程求法：降函數(shù)求導(dǎo).

推論：

①過阿（x-a）2+（y_6）2=r2上任意一點(diǎn)?（X。Jo）

2

的切線方程為（X。_a）（x—a）+（y?！猙）（y—b）=rs

②過橢網(wǎng)二■+J=1(。>0,b>0)上任意一點(diǎn)P(xo,yo)

ab

的切線方程為筌+卷6

X2y2

③過雙曲線一7----r=1(。>0,b>0)上任意一點(diǎn)/Xx,y)

aboo

的切線方程為答一答=1.

14.任意滿足ax"+""="的二元方程，過曲線上一點(diǎn)

（X1，乂）的切線方程為ax產(chǎn)”|=r.

15.切點(diǎn)弦方程：平面內(nèi)?點(diǎn)引I由線的兩條切線，兩

切點(diǎn)所在直線的方程叫做曲線的切點(diǎn)弦方程.

①過圓x?++Dx+Ey+廣=0夕|—?點(diǎn)戶（?,yo）的

切點(diǎn)弦方程為XoX+H）y+D+總產(chǎn)E+尸=0；

②過橢圓三十占=l（a>O,Z?>O）夕|—?點(diǎn)/（X。，yo）

a"b~

的切點(diǎn)弦方程為誓+誓=1;

ah

x2y2

③過雙曲線r—J=l（a>°1>°）夕卜一點(diǎn)〃（X。，乂））

ab

的切點(diǎn)弦方程為苦一與在=I:

ah

④過拋物線y2=2〃x（〃>0）夕I—■點(diǎn)Oo，%）的切點(diǎn)

弦方程為yoy=/?（xo+x）：

⑤二次曲線Ax2+小p+。2+6+矽+廠=o夕卜一

點(diǎn)/\xo>yo)的切點(diǎn)弦方程為

,oxQy+yox?,、/+x尸％+y廠門

Axox+B020——i-CyQy+D—---FE士工？上+下=0.

x~v~

16.①橢圓—4-^-=l(a>0,Z>>0)與立線Ax+By+C=O

ah~

(A?B工0)相切的條件是A2a2+B2b2=C2：

②雙曲線三一4"=1(。>0,6>0)與直線4￥+坊+。=0

a~h

(ABK0)和切的條件是A2a2一/32b2=C2.

23.過橢圓上一點(diǎn)做斜率互為相反數(shù)的兩條直線交橢圓

于2、8兩點(diǎn)，則直線49的斜率為定值.

24.過原點(diǎn)的直線與橢圓交于/,B兩點(diǎn)、,橢圓上不與

左右頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)與點(diǎn)A,B構(gòu)成的直線的斜率

I?

乘積為定值——7（a>b>0）.

b~

推論：橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)與左右頂點(diǎn)構(gòu)

a2

成的直線斜率乘積為定值一->b>0）.

b~

25.拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)，在準(zhǔn)線上的射影與焦點(diǎn)F的

連線垂直于該焦點(diǎn)弦.

26.雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為定值

a（長(zhǎng)半軸長(zhǎng)）.

27.對(duì)任意圓錐曲線，過其上任意一點(diǎn)作兩直線，若兩

直線斜率之積為定值，兩直線交曲線于4,3兩點(diǎn)，

則直線力呂恒過定點(diǎn).

x2y2

28.y=kx+m與橢圓r+J=l(a>6>0)相交于兩

a~b~

2mb2

點(diǎn),則縱坐標(biāo)之和為

a2k2+b2

29.圓錐曲線的第二定義：

橢圓的第二定義：平面上到定點(diǎn)廠距離與到定直線間距

離之比為常數(shù)e（即橢圓的偏心率，e=-）的點(diǎn)的集

a

合（定點(diǎn)廠不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）.

雙曲線第二定義：平面內(nèi)，到給定一點(diǎn)及一直線的距離

之比大于1且為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.

30.反比例函數(shù)歹=七（左>0）為雙曲線，其焦點(diǎn)為

X

（瘍，瘍）和（一歷,—瘍），k<0.

三、與角相關(guān)結(jié)論

31.到角公式：若把直線人依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與/，第

二^重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角是則tand=%

\+kxk2

分別為小4的斜率）.

32.面積射影定理：如圖，設(shè)平面a外的在平面

a內(nèi)的射影為△280,分別記△Z3C的面積和的

面積為S和V,記△48。所在平面和平面a所成的二

面角為仇則cos。=S':S.

33.角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分其對(duì)邊所

成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例

角平分線定理逆定理：如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)分這

條邊所成的兩條線段與這條邊的對(duì)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比

例，那么該點(diǎn)與對(duì)角頂點(diǎn)的連線是三角形的一條角平分

線.

四、數(shù)列相關(guān)結(jié)論

34.｛凡｝是公差為d的等差數(shù)列，｛4｝是公比為夕的等

比數(shù)列，若數(shù)列匕,｝滿足則數(shù)列｛c“｝的前

2

“項(xiàng)和S”為S"=C"+：夕:;,+G.

(1-1)一

35.數(shù)列不動(dòng)點(diǎn)：

定義：方程/(x)=x的根稱為函數(shù)/(X)的不動(dòng)點(diǎn).

利用遞推數(shù)列/(X)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系

a”=/(a“T)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通

項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

定理1：若f(x)=ax+b(a^O,a^1),p是f(x)的不

動(dòng)點(diǎn)，明滿足遞推關(guān)系%，則

a?-p=a｛a?_x-p),EP｛an-p]是公比為。的等比

數(shù)列.

定理2：設(shè)〃x)="+Qad-bc#0),｛an｝

cx+a

滿足遞推關(guān)系a”=/(%_)〃>1,初值條件

%。/(?.).

(1)若/(x)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)P,夕，則

an-P_1,an-\-Pa-PC

%-qa“t一qa-qc

(2)若/(x)只有唯一不動(dòng)點(diǎn)p,則

---=-------+k(這里k=—―).

a?-Pan_x-pa+d

c,、ax2+bx+c/八八、

定理3：設(shè)函數(shù)〃x)=-------y—(aH0,eW0)有兩

ex+f

個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)看,*2,且由〃”+]=/(〃”)確定著數(shù)列

｛〃”｝，那么當(dāng)且僅當(dāng)b=0,e=2a時(shí)，

〃用一/=(乙一/)2

“"if乙一々'

五、三角形與三角函數(shù)相關(guān)結(jié)論

36.在銳角三角形中，

sinA4-sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

37.在任意△Z3C內(nèi)，都有

tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC.

推論：在△力8c內(nèi)，若tan^+taru?+tanCvO,pllj/\ABC

為鈍角三角形.

38.正弦平方差公式：

sin2?—sin2/?=sin(cc—/?)sin(ex4-7?).

39.(1)

-4sin%nB.nC

sin---sin----,〃=4k

222

nAnBnC

4cos---cos---cos----,n=4k+1

222

sin(〃Z)+sin(〃6)+sin(//C)="

4.nAnB.nC

4sin---sin---sin----,n=4k+2

222

.nAnBnC

—4cos---cos---cos-,-n-=44+3

L222

(kGN")

(2)若4+8+C=7T,貝k

sin2A+sin2B+sin2c_.A.B.

①----：---------：---------；-------=8sinc

—sm—sin2；

sinA+sinB+sinC22

A.B.C

②cosA+cosB+cosC==1-4-4sin—sin—sm

222

.B.c

③sin2-4-sin2-4-sin2—=l-2sin—sin一sin—；

222222

/5T\AB.C.4.7T—A.7V—BTV-C.

9sm---Fsin---Fsin—=1+4sni------sm—----sin，,

222444

?sinA+sinB+sinC=4sin-sin—-sin—；

222

ABCABc

⑥cot----1-cot---1-cotcot—cot——cot—；

222.222

…ABBCCA

⑦tan—tan—+tan——tan----Ftan—tan—=1:

2222--------22

⑧sin(8+C-A)+sin(C+A-B)+sin(Z+B-C)

=4sinAsinZ?sinC.

(3)在任意AZ6c中，有:

….A.B.C1

①sin-----sin------sin—<—

2228，

ABC3^/3

cos—cos—cos——<--------

2228

.A.B.C3

③sin-----Fsin-----Fsin—<—；

2222

?ABC3V3

(4)COS——+COS------1-COS——<-----------

2222

3^/3

⑤sinA-sinB-sinC<------；

8

⑥cosA-cosB-cosC<—；

8

3V3

⑦sinA-f-sinB+sinC<------

2

3

⑧cosA+cosB+cosC<—；

2

2A.,B.2C3

(9)sin—+sm--——FsinI-——n-；

2224

,A7B0

⑩tan24-tan-----Ftan-三1：

222

ABc

?tan+tan——+tan>,x/3；

~22~2

ABCV3

?tan—?tan-----tan—<

2229

ABC

?cot4-COt——4-COt>373:

2T

(4)在任意銳角中，有：

①tanA-tanB-tanC>3A/3；

V3

②cotA-cotB-cotC<----；

9

(3)tan~A+tan2B+tan2C>9；

④cot2A+cot2B+cot2C>1.

六、三角形與向量

42.A.B、。三點(diǎn)共線oOb=mOA+nOC,

'.1.

OB=-----OD（同時(shí)除以利+〃）.

m+n

43.在△Z6C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,

----a2+b2—c2

則4gze=巴士