2022~2023學(xué)年下學(xué)期大理州普通高中質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷（全卷四個(gè)大題，共22個(gè)小題，共4頁；滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)等在答題卡上填寫清楚，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的相關(guān)信息，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無效.無效.3.非選擇題用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答4，考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合，利用交集的定義得出結(jié)果.【詳解】∵，，∴，即.故選：A.2.已知是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離是（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，分別得到兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由于復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，因此由兩點(diǎn)間的距離公式，得這兩點(diǎn)間的距離為.故選：D.3.已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?，即，即，即，所以，?故選：C.4.某種應(yīng)用于合成孔徑成像設(shè)備中的多光束合成器件如圖所示，利用該方法制作的光束合成器具有加工周期短，成本低等優(yōu)勢(shì).其外形可近似為一個(gè)正六棱臺(tái)，已知其上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將上下底面的正六邊形看作六個(gè)正三角形可求面積，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】如圖上下底面的正六邊形看作六個(gè)正三角形組合，故上底面面積為，下底面面積為.由棱臺(tái)體積公式可得體積為.故選：C5.從甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)中選2人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，則甲被選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)中選2人的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、?。?、戊），（乙、丙），（乙、?。?，（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10種，甲被選中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4種，所以甲被選中的概率為，故選：B.6.已知函數(shù)，其中，若，對(duì)任意的都有，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得①，，得②，聯(lián)立①②結(jié)合已知條件求出，即可判斷各選項(xiàng).【詳解】若，則，∴①，∵對(duì)任意的都有，∴，∴，得②，②－①得，即，∵，∴取，∴，故A正確；將代入②得，即，∵，取，∴，故B正確；∴，∴，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：D.7.在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，可求得，從而得三棱錐外接球的球心為，半徑，代入球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴三棱錐外接球的球心為，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：B．8若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解，可以構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性與正負(fù)判斷.【詳解】設(shè)，，則在上為增函數(shù)，故，即.又在上為增函數(shù)，且，則有，即，故.設(shè)，則，故為減函數(shù)，，即，故，即.綜合可得：．故選：A二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（）A. B.C D.【答案】BC【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．∵，∴，且，解得：，，∴，．故選：BC．10.某市舉辦了普法知識(shí)競(jìng)賽，從參賽者中隨機(jī)抽取1000人，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.直方圖中的值為0.030B.估計(jì)該市普法知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為85分C.估計(jì)該市普法知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為90分D.估計(jì)該市普法知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為95分【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直方圖面積為1可判斷A，再根據(jù)直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的求法判斷BCD.【詳解】對(duì)A，，故，解得，故A正確；對(duì)B，該市普法知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由表可得小于90分的人數(shù)頻率，故競(jìng)賽成績(jī)中位數(shù)不為90，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由表可得估計(jì)該市普法知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為分，故D正確；故選：AD11.過拋物線上一點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，與的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為，則（）A.的準(zhǔn)線方程是B.過的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2C.直線過定點(diǎn)D.若直線過點(diǎn)，則的面積為24【答案】AC【解析】【分析】由題可得拋物線為，進(jìn)而判斷A；利用焦點(diǎn)弦的方程結(jié)合拋物線的定義結(jié)合條件可判斷B；設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得m、n的數(shù)量關(guān)系，可判斷C；由直線過點(diǎn)可得直線為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)到直線的距離和弦長(zhǎng)公式求解，進(jìn)而判斷D.【詳解】將代入中得，即，則拋物線為，所以的準(zhǔn)線方程是，故A正確；拋物線的焦點(diǎn)為，可設(shè)過的焦點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，可得，設(shè)交點(diǎn)為，則，，所以，即過C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為4，故B不正確；設(shè)，，直線為，聯(lián)立，可得：，所以，，又，所以，因?yàn)?，，即，所以，化?jiǎn)整理得，即，得，所以直線為，所以直線過定點(diǎn)，故C正確；若直線過點(diǎn)，則，即，，所以，，直線為，即，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故D不正確.故選：AC12.設(shè)定義在上的函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，且為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.2為函數(shù)的周期 D.為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】由為偶函數(shù)，得，即可判斷A；由求導(dǎo)轉(zhuǎn)化可得即可判斷B；由，所以，（為常數(shù)），再根據(jù)所給條件推出，即可得到，結(jié)合，推出的周期性即可判斷C；由B轉(zhuǎn)化即可判斷D.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；∵，∴，∴，∴，∴的圖象關(guān)于對(duì)稱，又所以即又，所以所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；由可得可得為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，（為常?shù)），則，又因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以，所以，，，因?yàn)椋?，所以，所?為函數(shù)的周期，故C正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性，周期性總結(jié)如下：（1）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為．第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某校高中三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2800名．已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)學(xué)生的可能性是0.32．該校高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高二年級(jí)學(xué)生多112人，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校共抽取75名學(xué)生，則應(yīng)在高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為__________.【答案】27【解析】【分析】先求出高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的方法計(jì)算，可得答案．【詳解】高二年級(jí)學(xué)生有人，則高三年級(jí)學(xué)生有人，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的方法可知，高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為．故答案為：27．14.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】先求出圓心坐標(biāo)和半徑，再求出圓心到直線的距離，由可得答案.【詳解】圓化為，則圓心為，圓心到直線的距離為，所以.故答案為：.15.若二次函數(shù)的圖象與曲線的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意，得，令，由題意，直線與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】由題意，得，即，令，由題意，直線與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，作出的大致圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知橢圓，點(diǎn)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則橢圓的離心率為__________.【答案】##0.2【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)，由已知條件得出，從而三點(diǎn)共線，且，則，再利用，即可求出離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的內(nèi)切圓的半徑為，橢圓焦距為,取線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，∴，即，∴三點(diǎn)共線，且，∴，∵，∴，,，∴，∴橢圓的離心率，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓離心率的三種求法：（1）若給定橢圓的方程，則根據(jù)焦點(diǎn)位置確定，求出的值，利用公式直接求解．（2）求橢圓的離心率時(shí)，若不能直接求得的值，通常由已知尋求的關(guān)系式，再與組成方程組，消去得只含的方程，再化成關(guān)于的方程求解．（3）求離心率時(shí)要充分利用題設(shè)條件中的幾何特征構(gòu)建方程求解，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和可求解.【小問1詳解】由可得,即，所以是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】.18.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)為，結(jié)合余弦定理即可求解；（2）根據(jù)兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由，整理得，所以，又，則.【小問2詳解】，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范圍為.19.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪，否則被淘汰.已知甲選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，乙選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，且兩位選手各輪問題能否正確回答互不影響.（1）求甲選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；（2）求至少有一名選手通過全部考核的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)事件表示“甲選手能正確回答第輪問題”，設(shè)事件表示“甲選手進(jìn)入第三輪才被淘汰”，由獨(dú)立事件概率的乘法公式，計(jì)算可得答案；（2）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出甲選手通過全部考核的概率與乙選手通過全部考核的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式求解．【小問1詳解】設(shè)事件表示“甲選手能正確回答第輪問題”，由已知，設(shè)事件表示“甲選手進(jìn)入第三輪才被淘汰”，即甲選手第一、二輪的問題回答正確，而第三輪的問題回答錯(cuò)誤，則；【小問2詳解】設(shè)表示“甲選手通過全部考核”，則．設(shè)事件表示“乙選手能正確回答第輪問題”，由已知，設(shè)表示“乙選手通過全部考核”，則．則至少有一名選手通過全部考核的概率為.20.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，.（1）證明：；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三棱柱中的垂直關(guān)系以及角度，可通過證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）可證得平面，則直線與平面所成角為，根據(jù)題中條件求出的最值，即可得出答案.【小問1詳解】由題意可知，，又，所以，連接，如圖所示：由，可知，是正三角形，又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，又，，平面，所以平面，則直線與平面所成角為.在正中，，所以，在中，，當(dāng)與重合時(shí)，取最大值1；當(dāng)與重合時(shí)，取最小值，所以，的取值范圍是.21.設(shè)分別是雙曲線的左?右兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，曲線的虛軸的端點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可得，解方程組即可求解；（2）由（1）知，，，進(jìn)而得到，，，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而得出直線的斜率為，進(jìn)而求解.【小問1詳解】由題意可得，，解得，，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，則，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，由，，則，在中，由余弦定理得，所以，則，即直線的斜率為，所以，即，即直線的方程為.22.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論即可；（2）不妨設(shè)，根據(jù)已知條件結(jié)合的單調(diào)性去絕對(duì)值得，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)單調(diào)遞增時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，從而得在上恒成立，求解即可.【小問1詳解】由已知，（）定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，在區(qū)間上