第一節(jié)零件軸向拉伸或壓縮變形時(shí)的工作能力分析

第二節(jié)零件剪切與擠壓變形時(shí)的工作能力分析

第四節(jié)零件扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的工作能力分析第五節(jié)零件疲勞強(qiáng)度簡(jiǎn)介

機(jī)械零件的工作能力分析概述

第三節(jié)零件彎曲變形時(shí)的工作能力分析

失效——機(jī)械零件喪失預(yù)定的功能或達(dá)不到預(yù)期要求的性能。

常見(jiàn)的失效形式

：

斷裂或塑性變形、過(guò)量的變形、失穩(wěn)；過(guò)度磨損、過(guò)熱；打滑、聯(lián)接松動(dòng)；運(yùn)動(dòng)精度達(dá)不到要求等等。

工作能力——機(jī)械零件抵抗可能出現(xiàn)失效的能力。

包括

：

強(qiáng)度——零件在外力作用下抵抗斷裂破壞的能力。

剛度——零件在外力作用下抵抗變形的能力。

穩(wěn)定性——零件在壓力作用下維持原有形態(tài)平衡的能力。

分析對(duì)象

：

桿件——長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫截面尺寸的零件，如軸、立柱、梁等。

等直桿——軸線為直線且橫截面不變的桿件。

本章主要分析機(jī)械零件在外力作用下產(chǎn)生拉壓、剪切與擠壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)的基本變形和常見(jiàn)組合變形時(shí)的強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性問(wèn)題，建立相應(yīng)的工作能力判定條件。

一、軸向拉伸或壓縮概念

第一節(jié)零件軸向拉伸或壓縮變形時(shí)的

工作能力分析

二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析

三、材料的力學(xué)性能

四、軸向拉伸（壓縮）強(qiáng)度分析實(shí)例

五、軸向拉伸（壓縮）變形簡(jiǎn)介一、軸向拉伸或壓縮概念

軸向拉伸或壓縮

——桿件受到外部沿軸線方向的拉力或壓力作用而沿軸向伸長(zhǎng)或縮短的變形。

軸向力——軸向拉力或壓力。

簡(jiǎn)易吊車的拉桿CD產(chǎn)生拉伸變形簡(jiǎn)易吊車

螺紋夾具中的螺桿產(chǎn)生壓縮變形螺紋夾具

汽缸蓋螺栓聯(lián)接中的螺栓產(chǎn)生拉伸變形汽缸蓋的聯(lián)接螺栓

拉壓桿的受力圖和變形形式均可簡(jiǎn)化為：二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析 1．軸力和軸力圖

外力——作用在桿件上的載荷和約束反力。

內(nèi)力——由外力引起的拉桿內(nèi)部的相互作用力。

截面法——假想用平面截開(kāi)桿件確定內(nèi)力的方法。

設(shè)一拉桿受外力F1、F2的拉伸作用而平衡。

假想用一平面m-m截切桿件為兩段，所取的任一段也應(yīng)保持平衡。

在外力F1作用下，左段的截面上必然受到右段作用的內(nèi)力FN。

由左段桿的平衡方程：∑F=0，F(xiàn)N－F1=0求得FN=F1

截面上的內(nèi)力是分布力，其合力FN與軸線重合——軸力。

將上述結(jié)果推廣到左段軸上有多個(gè)軸向外力作用的情形，其結(jié)論為：

截面m-m上的軸力等于左段軸上所有軸向外力的代數(shù)和，即

FN=∑F

確定外力F的正負(fù)號(hào)：

指向離開(kāi)該截面時(shí)取正；反之取負(fù)。

規(guī)定軸力的正負(fù)號(hào)：

軸力是由外力作用產(chǎn)生的桿件各部分之間的相互作用力，即截切處左、右兩側(cè)的軸力互為作用和反作用。

為拉力者取正，即軸力方向背離截面；

為壓力者取負(fù)，即軸力方向指向截面。

因此，取左、右段計(jì)算時(shí)軸力的符號(hào)一致。

軸力圖——表示軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。

軸力圖的構(gòu)成：

橫坐標(biāo)x——平行于桿件軸線；

縱坐標(biāo)FN——垂直于桿軸線；表示橫截面的位置。正值軸力繪在x軸的上方，表示對(duì)應(yīng)截面上軸力的大小。負(fù)值軸力繪在x軸的下方。

在軸力圖上，應(yīng)標(biāo)明軸力FN的大小和單位以及軸力的正負(fù)號(hào)?！纠?-1】

一雙壓手鉚機(jī)的活塞缸示意圖。作用于活塞桿上的力分別為F=2.62kN，P1=1.3kN，P2=1.32kN。試求活塞桿上各段橫截面上的軸力，并作軸力圖。

解：（1）作活塞桿的受力圖

活塞桿分別在A、B、C三處受軸向外力作用。（2）求軸力分別在每?jī)蓚€(gè)力之間取截面1-1和2-2，并以所取截面的左段桿為分析對(duì)象，則截面上的軸力等于截面左側(cè)桿上所有軸向外力的代數(shù)和。

截面1-1：

截面2-2

：

負(fù)號(hào)表示軸力FN1、FN2為壓力，與假設(shè)方向相反。（2）求軸力分別在每?jī)蓚€(gè)力之間取截面1-1和2-2，并以所取截面的左段桿為分析對(duì)象，則截面上的軸力等于截面左側(cè)桿上所有軸向外力的代數(shù)和。

可見(jiàn)，與以截面2-2左段桿計(jì)算的結(jié)果相同。

若取截面2-2右段桿為研究對(duì)象，得

（3）畫(huà)軸力圖

熟練之后，各截面圖均可不畫(huà)，直接在受力圖下方畫(huà)軸力圖即可。

2．拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力

桿件的強(qiáng)度不僅與內(nèi)力有關(guān)，而且與截面的尺寸有關(guān)，即與內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度（簡(jiǎn)稱集度）有關(guān)。

在截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力——內(nèi)力在截面上某點(diǎn)處的分布集度。

工程上常用應(yīng)力來(lái)衡量構(gòu)件受力的強(qiáng)弱程度。

正應(yīng)力——軸力在橫截面上的分布集度。

對(duì)于材料均勻連續(xù)的等截面直桿，其橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力相等。則計(jì)算式為

式中：A——橫截面的面積。

正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)與軸力相對(duì)應(yīng)：拉應(yīng)力為正；壓應(yīng)力為負(fù)。

在國(guó)際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，用Pa（帕）表示，常用單位是MPa（兆帕）。1Pa=1N/m2，1kPa（千帕）=103Pa=1kN/m2，1Mpa=106Pa=1N/mm2，1GPa（吉帕）=109Pa。三、材料的力學(xué)性能

桿件在外力作用下發(fā)生變形，并隨著外力的增加而增加，從而使所產(chǎn)生的內(nèi)力隨之增加，內(nèi)力的增加超過(guò)材料承受的限度時(shí)，桿件將發(fā)生失效。

材料的力學(xué)性能——材料承受外力作用時(shí)，在強(qiáng)度和變形方面表現(xiàn)出的特性。

材料的力學(xué)性能是構(gòu)件承載能力分析及選取材料的依據(jù)，由試驗(yàn)來(lái)測(cè)定。

常用材料可分為兩大類：

塑性材料：以低碳鋼為代表

脆性材料：以鑄鐵為代表 1．低碳鋼的力學(xué)性能拉伸時(shí)σ-ε曲線壓縮時(shí)σ-ε曲線

低碳鋼的拉伸試驗(yàn)圖：

縱坐標(biāo)σ：應(yīng)力σ=F/A，即拉（壓）力F除以試件橫截面積A；橫坐標(biāo)ε：

應(yīng)變?chǔ)?△l/l，即試件工作段的伸長(zhǎng)（縮短）量△l除以該段原長(zhǎng)l。

應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線：

（1）彈性階段（OB段）

彈性極限σe——點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。

只產(chǎn)生彈性變形。即：材料受力后，變形隨外力的增加而增加，若卸去外力，變形完全消失。

彈性階段中的OA段為斜直線。即有σ

∝ε，令

E=tanα=σ/ε，則有

σ

=Eε

——拉、壓虎克定律

式中：E——材料的彈性模量。

（1）彈性階段（OB段）

比例極限σp——點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。

由于大部分材料的比例極限σp和彈性極限σe十分接近，常將σp和σe統(tǒng)稱為彈性極限。

應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線：

（2）屈服階段（BC′段）

材料屈服時(shí)，構(gòu)件幾乎喪失抵抗變形的能力；產(chǎn)生塑性變形，即：卸去外力后變形不能完全消失。

此階段曲線為近于水平的鋸齒形，出現(xiàn)應(yīng)力變化很小、應(yīng)變顯著增大的現(xiàn)象——材料的屈服或流動(dòng)。

屈服極限σs——點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。

應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線：

（3）強(qiáng)化階段（C′D段）

強(qiáng)度極限σb——最高點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。是材料所能承受的最大應(yīng)力，也是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。

經(jīng)過(guò)屈服階段后，材料抵抗變形的能力又有恢復(fù)，出現(xiàn)應(yīng)變隨應(yīng)力的增大而增加的現(xiàn)象——材料的強(qiáng)化。

應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線：

（4）頸縮階段（DE段）

強(qiáng)度極限σb——最高點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。是材料所能承受的最大應(yīng)力，也是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。

經(jīng)過(guò)點(diǎn)D后，在試件的某一局部區(qū)域，出現(xiàn)橫截面急劇縮小的現(xiàn)象——頸縮現(xiàn)象。

應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線：

低碳鋼壓縮時(shí)的σ-ε曲線：

屈服極限以后，產(chǎn)生明顯的塑性變形，并隨著壓力的增加，越壓越扁，測(cè)不出其抗壓強(qiáng)度。

材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能只有在屈服極限內(nèi)與拉伸時(shí)重合。

可見(jiàn)，低碳鋼拉伸和壓縮時(shí)的E值和σs值基本相同。2．鑄鐵的力學(xué)性能

是一段微彎曲線。

整個(gè)曲線沒(méi)有直線部分，沒(méi)有屈服和頸縮現(xiàn)象，斷裂時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變都很小。

抗拉強(qiáng)度極限σb——鑄鐵拉斷時(shí)的最大應(yīng)力。是衡量鑄鐵抗拉強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。拉伸時(shí)σ-ε曲線鑄鐵的力學(xué)性能

鑄鐵壓縮時(shí)的σ-ε曲線：

與其拉伸時(shí)的σ-ε曲線（虛線）相似。整個(gè)曲線沒(méi)有直線段，無(wú)屈服極限，只有強(qiáng)度極限。

鑄鐵抗壓強(qiáng)度極限高于其抗拉強(qiáng)度極限約2～4倍。故鑄鐵宜用作受壓構(gòu)件。壓縮時(shí)σ-ε曲線

鑄鐵的力學(xué)性能

塑性材料和脆性材料的力學(xué)性能主要區(qū)別如下：

①塑性材料破壞時(shí)有較大的塑性變形，斷裂前有些有明顯的屈服現(xiàn)象；而脆性材料在變形很小時(shí)突然斷裂，無(wú)屈服現(xiàn)象。

②由于塑性材料拉伸時(shí)的比例極限、屈服極限和彈性模量與壓縮時(shí)相同，而塑性材料一般不允許達(dá)到屈服極限，因此，塑性材料抗拉和抗壓的能力相同。而脆性材料抗壓能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于抗拉能力。

工程上用于衡量材料塑性的指標(biāo)有伸長(zhǎng)率（δ）和斷面伸縮率（ψ）。

伸長(zhǎng)率

式中：l1——試件拉斷后工作段的長(zhǎng)度；

l0——原工作段長(zhǎng)度。

斷面收縮率

式中：A0——試件原橫截面面積；

A1——試件斷裂處的橫截面面積。

δ和ψ的數(shù)值越高，材料的塑性越大。

塑性材料——δ＞5%的材料。

如合金鋼、鋁合金、碳素鋼和青銅等；

脆性材料

——δ＜5%的材料。

如灰鑄鐵、玻璃、陶瓷、混凝土和石料等。

幾種材料的力學(xué)性能如教材表4－1所列。

3．許用應(yīng)力和安全因素

由材料的力學(xué)性能可知：

塑性材料達(dá)到屈服極限σs時(shí)，發(fā)生塑性變形；

危險(xiǎn)應(yīng)力或極限應(yīng)力σ°——材料喪失正常工作能力的應(yīng)力。

脆性材料達(dá)到強(qiáng)度極限σb時(shí)，發(fā)生斷裂。

對(duì)于塑性材料，σ°=σs；

對(duì)于脆性材料，σ°=σb。 3．許用應(yīng)力和安全因素

工作應(yīng)力——構(gòu)件工作時(shí)由載荷引起的應(yīng)力即

考慮材料、加工、載荷及工作條件等實(shí)際情況，構(gòu)件的最大工作應(yīng)力限制應(yīng)在極限應(yīng)力σ°以內(nèi)，以保證構(gòu)件具有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲(chǔ)備。 3．許用應(yīng)力和安全因素

材料的許用應(yīng)力[σ]——考慮了強(qiáng)度儲(chǔ)備的極限應(yīng)力

塑性材料的許用應(yīng)力

脆性材料的許用應(yīng)力

式中：ns——屈服極限的安全因數(shù)；

nb——強(qiáng)度極限的安全因數(shù)。3．許用應(yīng)力和安全因素

安全因數(shù)的大小反映了強(qiáng)度儲(chǔ)備的多少。

過(guò)大的安全因數(shù)，使許用應(yīng)力過(guò)小，即強(qiáng)度儲(chǔ)備過(guò)多，材料的利用率太低；

過(guò)小的安全因數(shù)，材料接近極限應(yīng)力，構(gòu)件工作的安全性差。

對(duì)于一般機(jī)械，

ns＝1.5~2.5；

nb＝2.0~3.5（或更大）。四、軸向拉伸（壓縮）強(qiáng)度分析實(shí)例

為保證桿件安全工作，桿件應(yīng)滿足的拉、壓強(qiáng)度條件是：

式中：FN和A——產(chǎn)生最大應(yīng)力危險(xiǎn)截面上的軸力和面積。

根據(jù)拉、壓強(qiáng)度條件，可以解決拉、壓桿三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題：

（1）強(qiáng)度校核。

若已知桿件的尺寸、所受的載荷及材料的許用應(yīng)力，驗(yàn)算桿件是否滿足拉、壓強(qiáng)度條件。

（2）確定截面尺寸。若已知桿件所受的載荷和材料的許用應(yīng)力，則

可確定拉、壓桿的截面尺寸。

（3）確定許可載荷。

若已知桿件的截面尺寸和許用應(yīng)力，則FNmax

≤A[σ]

可求得桿件所能承受的最大軸力。再根據(jù)靜力平衡條件進(jìn)一步確定桿件所能承受的許可載荷。

在強(qiáng)度計(jì)算中，當(dāng)工作應(yīng)力略大于材料許用應(yīng)力時(shí)，若其超過(guò)部分不超出許用應(yīng)力值的5％，仍可認(rèn)為構(gòu)件滿足強(qiáng)度要求?！纠?-2】

某拉緊鋼絲繩的張緊器所受的拉力為F=30kN；拉桿和套筒的材料均為Q235鋼，屈服極限σs=235Mpa；拉桿螺紋M20其內(nèi)徑d1=17.29mm，其它尺寸如圖所示。若不考慮螺紋旋合段軸力的變化，試校核張緊器的強(qiáng)度。解：（1）分析外力

取拉桿為分析對(duì)象，畫(huà)出受力圖。

取套筒為分析對(duì)象，畫(huà)出受力圖。

①暫不考慮拉桿端部A處的強(qiáng)度；

②螺紋副中的作用力用合力Q（或Q'、或Q"）代替，并分別作用于拉桿和套筒的B處和C處。

（2）分析內(nèi)力

采用截面法求得拉桿和套筒上各橫截面間的軸力FN=F=30kN。

畫(huà)軸力圖。

（3）分析危險(xiǎn)截面

由軸力圖可知，拉桿和套筒上各橫截面間的軸力處處相等，此時(shí)，橫截面積A越小，工作應(yīng)力σ將越大。面積最小的橫截面是危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)截面上有最大工作應(yīng)力σmax。

對(duì)于拉桿，螺紋牙根處的截面面積最小，其面積為

對(duì)于套筒，內(nèi)徑為ф30mm處的截面面積最小，其面積為

由于A1<A2，所以拉桿螺紋牙根處的橫截面為危險(xiǎn)截面。

（4）確定許用應(yīng)力

因Q235鋼為塑性材料，其安全因數(shù)ns＝1.5~2.5，考慮鋼絲繩的張緊器屬較重要裝置，取安全因數(shù)ns＝1.8，得

（5）校核強(qiáng)度

由教材式(4-3)得

所以張緊器滿足強(qiáng)度要求?！纠?-3】

一鋼木結(jié)構(gòu)的起吊架示意圖，AB為木桿，其橫截面面積A1=104mm2，許用應(yīng)力[σ]1=7MPa；BC為鋼桿，其橫截面面積A2=600mm2，許用應(yīng)力[σ]2=160MPa。試求最大允許載荷W。

解：（1）受力分析

取鉸鏈B為分析對(duì)象，畫(huà)受力圖。圖中：

FN1——木桿AB的軸；

FN2——鋼桿BC的軸力。鉸鏈B上各力構(gòu)成平面匯交力系。

（2）求軸力

由鉸鏈B的平衡條件可求得AB、BC兩桿的軸力FN1、FN2與載荷W的關(guān)系，即由解得

由解得

（3）求最大允許載荷[W]由強(qiáng)度條件可得木桿的許可軸力為即

解得由強(qiáng)度條件可得鋼桿的許可軸力為即

解得

為保證結(jié)構(gòu)安全，鉸鏈B處可吊起的最大允許載荷應(yīng)取40.4kN和48kN中的較小值，即五、軸向拉伸（壓縮）變形簡(jiǎn)介 1．變形與應(yīng)變

對(duì)于軸向載荷作用下桿件，由試驗(yàn)表明：

桿件拉伸時(shí)，軸向尺寸增加，橫向尺寸略有減??；

桿件壓縮時(shí)，軸向尺寸減少，橫向尺寸略有加大。等直桿的原長(zhǎng)為l，橫向尺寸為b。

在軸向拉力F作用下，縱向長(zhǎng)度變?yōu)閘1，橫向尺寸變?yōu)閎1。則

絕對(duì)變形不能表示其變形程度。常以單位原長(zhǎng)的變形來(lái)度量桿的變形程度。

線應(yīng)變——單位原長(zhǎng)的變形。

即

可見(jiàn)：

①

線應(yīng)變表示桿件的相對(duì)變形，無(wú)量綱。

②

拉伸時(shí)，△l＞0，△b＜0，因此ε＞0，ε′＜0；壓縮時(shí)，反之。

2．泊松比

試驗(yàn)表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，橫向線應(yīng)變?chǔ)拧浜涂v向線應(yīng)變?chǔ)胖g存在比例關(guān)系，而且符號(hào)相反，即式中：泊松比μ——比例常數(shù)。

泊松比無(wú)量綱，其值與材料有關(guān)，一般不超過(guò)0.5，即縱向線應(yīng)變?chǔ)趴偙葯M向線應(yīng)變?chǔ)拧浯蟆?．虎克定律

試驗(yàn)表明，當(dāng)桿的正應(yīng)力σ不超過(guò)比例限度時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，材料服從虎克定律，即

即：桿的絕對(duì)變形△l與軸力FN及桿長(zhǎng)l成正比，而與橫截面面積A成反比。則上式可寫(xiě)成由于

同一種材料的E值為常數(shù)，其量綱與應(yīng)力相同，常用單位是GPa，即109Pa；

常數(shù)E——材料的拉壓彈性模量。

分母EA——桿的抗拉（壓）剛度。

表示桿件抵抗拉伸（壓縮）變形能力的大小。在其它條件一樣的情況下，EA越大，桿變形越小；反之，桿變形越大。

彈性模量E和泊松比μ都是材料的彈性常數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，幾種常用材料的E和μ值見(jiàn)教材表4－2?！纠?-4】

汽缸的缸體與缸蓋用M12的螺栓聯(lián)接，在裝配時(shí)必需擰緊。已知，螺栓小徑d=10.1mm，擰緊后在計(jì)算長(zhǎng)度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長(zhǎng)為△l=0.03mm。螺栓材料的彈性模量E=210GPa。試計(jì)算螺栓桿橫截面上的拉應(yīng)力和螺栓聯(lián)接擰緊時(shí)的預(yù)緊力。

解：

（1）求縱向線應(yīng)變?chǔ)?/p>

螺栓受預(yù)緊力作用而被拉伸，其縱向線應(yīng)變?yōu)?/p>

（2）求拉應(yīng)力σ

由虎克定律可求出螺栓桿橫截面上的拉應(yīng)力為

（3）求預(yù)緊力Q0

螺栓聯(lián)接擰緊時(shí)使螺栓受拉，使被聯(lián)接件受壓，螺栓桿橫截面上產(chǎn)生與預(yù)緊力Q0等值的軸力。

解得

由六、壓桿穩(wěn)定性的概念

壓桿只要滿足壓縮強(qiáng)度條件，就能保證正常工作。這一結(jié)論僅適合于短粗壓桿。

當(dāng)細(xì)長(zhǎng)壓桿所受的軸向壓力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于壓縮強(qiáng)度的許可值時(shí)，便已失去其原有的直線狀態(tài)，突然變彎而喪失承載能力。

在細(xì)長(zhǎng)直桿兩端作用有一對(duì)等值、反向的軸向壓力F，桿件處于平衡狀態(tài)。

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：

若施加一個(gè)不大的橫向干擾力，則桿件變彎。

當(dāng)軸向壓力F＜Fcr時(shí)，若撤去橫向干擾力，壓桿將恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)。

表明：壓桿原來(lái)直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定平衡。

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)軸向壓力F=Fcr時(shí)，若撤去橫向干擾力，壓桿不能恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，仍處于微彎狀態(tài)。

表明：壓桿原來(lái)直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定平衡。

壓桿在不穩(wěn)定平衡下，只要軸向壓力F＞Fcr，立刻發(fā)生明顯的彎曲變形，直至折斷。

壓桿失穩(wěn)——壓桿不能保持其原有直線平衡狀態(tài)而突然變彎的現(xiàn)象。

臨界壓力Fcr——壓桿處于由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的軸向極限壓力。

臨界壓力Fcr的大小表示了壓桿穩(wěn)定性的強(qiáng)弱。Fcr越大，穩(wěn)定性越強(qiáng)，則壓桿不易失穩(wěn)；Fcr越小，穩(wěn)定性越弱，則壓桿易失穩(wěn)。

對(duì)于壓桿而言，短粗桿和細(xì)長(zhǎng)桿的破壞性質(zhì)是不同的。短粗桿是強(qiáng)度問(wèn)題；細(xì)長(zhǎng)桿則是穩(wěn)定性問(wèn)題。

存在穩(wěn)定性問(wèn)題的實(shí)例：

內(nèi)燃機(jī)配氣閥的頂桿千斤頂?shù)慕z杠

細(xì)長(zhǎng)壓桿的失穩(wěn)常發(fā)生在其強(qiáng)度破壞之前，而且是瞬間發(fā)生的，所以更具危險(xiǎn)性。解決壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的關(guān)鍵是提高臨界壓力Fcr。

加固端部約束；工程上提高壓桿的穩(wěn)定性的主要措施有：

減小壓桿長(zhǎng)度；

采用合理的截面形狀。七、應(yīng)力集中的概念

對(duì)軸向拉伸或壓縮的等截面直桿，其橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析表明：

在桿件截面發(fā)生突然改變的局部區(qū)域內(nèi)，如桿件上孔、槽、切口、螺紋、軸肩等處附近，應(yīng)力將急劇增加。離開(kāi)該區(qū)域，應(yīng)力迅速減小并趨于平均。

應(yīng)力集中——因截面突然改變而引起應(yīng)力局部增高的現(xiàn)象。

截面改變?cè)絼×?，?yīng)力集中越嚴(yán)重，局部區(qū)域出現(xiàn)的最大應(yīng)力就越大。

應(yīng)力集中系數(shù)α——截面突變的局部區(qū)域的最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值，即

應(yīng)力集中系數(shù)α表示了應(yīng)力集中程度，α越大，應(yīng)力集中越嚴(yán)重。

為減少應(yīng)力集中程度，在截面發(fā)生突變處，應(yīng)盡量緩和平滑。

例如，階梯軸的軸肩處采用圓角過(guò)渡。

靜載荷作用時(shí)，應(yīng)力集中對(duì)塑性材料和脆性材料的影響不同：

對(duì)于塑性材料，隨著外力的增加，截面上的應(yīng)力將隨著屈服區(qū)域的增大而逐漸趨于平均，相繼達(dá)到屈服極限σs，從而限制了局部最大應(yīng)力值σmax。

因此，對(duì)塑性材料制作的零件，可以不考慮應(yīng)力集中的影響。

對(duì)于脆性材料，因材料無(wú)屈服階段，當(dāng)外力增加時(shí)，局部最大應(yīng)力σmax將隨之不斷增大，直至到達(dá)強(qiáng)度極限σb時(shí)，孔和槽等邊緣處產(chǎn)生裂紋，并很快擴(kuò)展導(dǎo)致整個(gè)構(gòu)件破壞。

對(duì)于如灰鑄鐵這類組織不均勻的脆性材料，由于其內(nèi)部的不均勻性及缺陷，材料本身就具有很嚴(yán)重的應(yīng)力集中，而截面尺寸的改變所引起應(yīng)力集中，對(duì)零件承載能力的影響不明顯。

在交變應(yīng)力或沖擊載荷作用下的零件，無(wú)論是塑性材料或是脆性材料，應(yīng)力集中往往是零件破壞的根源，對(duì)零件的強(qiáng)度都有嚴(yán)重的影響。

對(duì)于組織均勻的脆性材料制作的零件，應(yīng)力集中會(huì)使其承載能力大為降低。返回

一、剪切與擠壓的概念第二節(jié)零件剪切與擠壓變形時(shí)的

工作能力分析

二、剪切與擠壓強(qiáng)度分析實(shí)例

一、剪切與擠壓的概念 1．剪切的概念

剪切——桿件受到一對(duì)與其軸線方向垂直并且大小相等、方向相反、作用線相距很近的外力作用，在兩外力間的截面沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的變形。剪板機(jī)剪切鋼板

剪切面——發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的截面。鉚釘聯(lián)接

螺栓聯(lián)接

單剪——只有一個(gè)剪切面的剪切；

雙剪——有兩個(gè)剪切面的剪切。

受剪桿件的分析：

螺栓所受的外力為分布力的合力。

剪力FQ——剪切面上的內(nèi)力。

是分布內(nèi)力的合力，可由截面法求得。

切應(yīng)力τ——剪切面上分布剪力的集度。2．?dāng)D壓的概念

機(jī)械中的聯(lián)接件，如螺栓、鍵、銷、鉚釘?shù)?，在受剪切作用的同時(shí)，在聯(lián)接件和被聯(lián)接件接觸面上互相壓緊，產(chǎn)生局部壓陷變形，甚至壓潰破壞的現(xiàn)象——擠壓。

擠壓面——零件上產(chǎn)生擠壓變形的表面。

擠壓力Fjy——擠壓面上的壓力。

擠壓應(yīng)力σ

jy——在擠壓面上由擠壓力引起的應(yīng)力。

只發(fā)生在構(gòu)件接觸的表面，一般分布不均勻。二、剪切與擠壓強(qiáng)度分析實(shí)例1．剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算

切應(yīng)力在剪切面上的分布和擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布均較復(fù)雜。

工程中通常采用近似的并能滿足工程實(shí)際要求的實(shí)用計(jì)算。

在這種實(shí)用計(jì)算中，假設(shè)切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力均勻分布。

切應(yīng)力

式中：FQ——剪切面上的剪力；

A——剪切面面積。

擠壓應(yīng)力

式中：Fjy——擠壓面上的擠壓力；

Ajy——擠壓面的計(jì)算面積。

Ajy的確定：

當(dāng)接觸面為平面時(shí)，Ajy是實(shí)際接觸面面積；

當(dāng)接觸面為半圓柱面時(shí)，Ajy取半圓柱面在直徑平面上投影面積，即矩形ABCD的面積：Ajy=t·d。

剪切和擠壓強(qiáng)度條件：

剪切強(qiáng)度條件

許用切應(yīng)力[τ]和許用擠壓應(yīng)力[σjy]的值可查有關(guān)手冊(cè)。

也可按經(jīng)驗(yàn)公式近似確定：

塑性材料

[τ]=(0.6～0.8)[σ]；[σjy]=(1.7～2.0)[σ]

擠壓強(qiáng)度條件

脆性材料

[τ]=(0.8～1.0)[σ]；[σjy]=(0.9～1.5)[σ]

其中：[σ]——材料的許用拉應(yīng)力

注意：

擠壓應(yīng)力是聯(lián)接件和被聯(lián)接件之間的相互作用。當(dāng)兩者材料不同時(shí)，應(yīng)選擇其中許用擠壓應(yīng)力較低的材料進(jìn)行擠壓強(qiáng)度校核。

剪切與擠壓強(qiáng)度條件解決三類問(wèn)題：

剪切與擠壓強(qiáng)度校核、確定截面尺寸、確定許可載荷。【例4-5】2．剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算實(shí)例

已知：軸的直徑d=60mm，所選鍵的尺寸b×h×l=18×11×90(mm)；傳遞的轉(zhuǎn)矩M=1kN·m；鍵的材料為45鋼，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力[σjy]=100Mpa。試校核鍵的強(qiáng)度。齒輪與軸用平鍵連接

解：（1）計(jì)算鍵所受的外力F

以鍵和軸一起作為分析對(duì)象，畫(huà)受力圖。

由對(duì)軸心O的力矩平衡方程

解得

（2）校核剪切強(qiáng)度

以鍵為分析對(duì)象，畫(huà)受力圖。

由截面法求得剪切面上的剪力為：

鍵的剪切面面積為：

剪切強(qiáng)度條件為：

故鍵的剪切強(qiáng)度足夠。

（3）校核擠壓強(qiáng)度

鍵工作表面的擠壓力為

擠壓面的面積為：

擠壓強(qiáng)度條件為：

故鍵的擠壓強(qiáng)度也足夠。

【例4-6】

沖床的最大沖剪力F=300kN，將鋼板沖出直徑d=25mm的孔，若鋼板材料的剪切強(qiáng)度極限為τb=360Mpa，試求所能沖剪鋼板的最大厚度t。沖床沖剪鋼板

解：

擠壓面的面積為：

為使鋼板沖出圓孔，鋼板在最大沖剪力作用下所產(chǎn)生的切應(yīng)力應(yīng)大于其材料的剪切強(qiáng)度極限τb，即

解得

故取所能沖剪鋼板的最大厚度為10mm。返回

一、平面彎曲的概念第三節(jié)零件彎曲變形時(shí)的工作能力分析

二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析

三、梁的彎曲強(qiáng)度分析實(shí)例

四、拉伸（壓縮）與彎曲組合時(shí)的強(qiáng)度分析實(shí)例

五、彎曲剛度簡(jiǎn)介

六、提高零件彎曲強(qiáng)度和剛度的措施

一、平面彎曲的概念

彎曲——當(dāng)桿件受到垂直于桿軸線的外力作用或受到位于軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，其軸線由直線成為曲線的變形。橋式起重機(jī)的大梁

橫向力——垂直于桿軸線的外力

梁——以承受彎曲變形為主的桿件。火車輪軸固定在車床卡盤(pán)上的工件

工程上常見(jiàn)的梁，其橫截面通常多有一縱向?qū)ΨQ軸，該對(duì)稱軸與梁的軸線x組成梁的縱向?qū)ΨQ面。

所有外力、外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁的軸線在此平面內(nèi)彎曲成一平面曲線——平面彎曲。

根據(jù)梁的支座形式的不同，工程實(shí)際中常見(jiàn)的梁分為三種：

簡(jiǎn)支梁：梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座，

外伸梁：帶有外伸端的簡(jiǎn)支梁，

懸臂梁：梁的一端為固定支座，另一端為自由端，二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析1．剪力、彎矩和彎矩圖

梁在外力作用下，橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力仍用截面法確定。

例如，橋式起重機(jī)的大梁，設(shè)起吊重物處在梁的正中位置，不考慮梁的自重，為求得梁的任一截面上的內(nèi)力，將其簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支梁。

因梁在載荷F及支座反力FA、FB作用下保持平衡，可求得支座反力FA=FB=F/2。

取截面m-m左段時(shí)，左段仍保持平衡。左段上除了外力F、FA的作用外，左段的截面m-m上必受到右段的作用力，包括與截面相切的內(nèi)力FQ和作用于縱向?qū)ΨQ面上的內(nèi)力偶M，它們與外力F、FA平衡。

剪力FQ——與截面相切的內(nèi)力。彎矩——作用于縱向?qū)ΨQ面上的內(nèi)力偶M。由左段梁的平衡方程解得

推廣到一般情形，其結(jié)論是：

截面上的剪力FQ等于該截面一側(cè)梁上所有外力的代數(shù)和；

截面上的彎矩M等于該截面一側(cè)梁上所有外力和外力偶對(duì)截面形心C的力矩代數(shù)和，

彎矩方程——表示彎矩隨所取截面的位置x的變化而變化的方程。

一般情況下，梁的橫截面上產(chǎn)生剪力FQ和彎矩M兩種內(nèi)力。但通常梁的跨度較大，剪力對(duì)梁的強(qiáng)度和剛度影響很小，可忽略不計(jì)，只需考慮彎矩對(duì)梁的作用。

當(dāng)取截面左、右兩段梁來(lái)計(jì)算彎矩M時(shí)，其值相等，但方向相反。通常使這兩種計(jì)算所得彎矩M的符號(hào)一致。M的符號(hào)規(guī)定：

使梁在截面m-m處彎曲變形凹向上時(shí)，則該截面上的彎矩M為正值；

使梁在截面m-m處彎曲變形凹向下時(shí)，則該截面上的彎矩M為負(fù)值。

同樣地，可用上述方法來(lái)確定外力和外力偶的代數(shù)符號(hào)。

彎矩圖——表示彎矩隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。以便確定彎矩的最大值及其產(chǎn)生的位置，彎矩圖的構(gòu)成：

橫坐標(biāo)x——沿梁軸線方向。表示橫截面的位置。

縱坐標(biāo)M——垂直于梁軸線方向。表示對(duì)應(yīng)截面上彎矩的大小。

正彎矩繪在x軸的上方，負(fù)彎矩繪在x軸的下方。并標(biāo)明彎矩的大小、單位、正負(fù)號(hào)?！纠?-7】

橋式起重機(jī)橫梁長(zhǎng)l，起吊重物處在圖示位置，其重量為W，不計(jì)梁的自重。試畫(huà)出圖示位置橫梁的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置；當(dāng)小車移至梁的何處時(shí)，最大彎矩有最大值。橋式起重機(jī)橫梁（不計(jì)自重）解：（1）繪計(jì)算簡(jiǎn)圖

橫梁簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，該梁在C處有起吊重力W，在兩端A、B處有支座反力FA、FB，均為集中力。（2）求支座反力根據(jù)靜力平衡方程求得（3）建立彎矩方程

梁上受力狀況不同的AC段和BC段，其彎矩M隨x變化的規(guī)律將不一樣，應(yīng)分別建立這兩段的彎矩方程。設(shè)x1、x2分別表示AC段、BC段上任一截面位置。對(duì)截面左側(cè)梁段建立彎矩方程，即AC段BC段（4）畫(huà)彎矩圖由彎矩方程可知，彎矩圖為兩條斜直線，其中：據(jù)此可畫(huà)出橫梁的彎矩圖。

（5）確定彎矩的最大值

由彎矩圖可見(jiàn)，集中力W作用的C點(diǎn)處截面有最大彎矩；當(dāng)集中力W作用在梁的中點(diǎn)時(shí)，最大彎矩有最大值，即

扳手長(zhǎng)為l，擰緊螺栓時(shí)，受力F作用。試畫(huà)出扳手的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置。【例4-8】

扳手

解：（1）繪計(jì)算簡(jiǎn)圖

螺栓擰緊后，扳手B端可簡(jiǎn)化為固定端，因而扳手可簡(jiǎn)化為懸臂梁。（2）建立彎矩方程設(shè)x表示扳手上任一截面位置。對(duì)截面左側(cè)段建立彎矩方程，即（3）畫(huà)彎矩圖由彎矩方程可知，彎矩圖為斜直線，其中：據(jù)此可畫(huà)出橫梁的彎矩圖。由彎矩圖可見(jiàn)，固定端B處的截面有最大彎矩，即

橋式起重機(jī)橫梁的自重對(duì)其強(qiáng)度和剛度的影響往往不可忽略。若僅考慮橫梁的自重，則橫梁簡(jiǎn)化為受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁，其載荷集度為q，試畫(huà)出橫梁的彎矩圖，并確定彎矩的最大值?！纠?-9】

橋式起重機(jī)橫梁（空載時(shí)）解：（1）求支座反力

根據(jù)靜力平衡條件，并由載荷和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可的支座反力為（2）建立彎矩方程設(shè)x表示橫梁上任一截面位置。對(duì)截面左側(cè)梁段建立彎矩方程，即（3）畫(huà)彎矩圖

由彎矩方程可知，彎矩圖為二次拋物線，通?？赏ㄟ^(guò)三個(gè)x值來(lái)大致確定其形狀，即據(jù)此可畫(huà)出橫梁的彎矩圖。

由彎矩圖可知，橫梁在中點(diǎn)處的截面有最大彎矩。其值為

某變速機(jī)構(gòu)的滑移齒輪，受撥叉的推力F作用，如不計(jì)摩擦及滑移齒輪的自重，滑移齒輪對(duì)軸的作用可視為一個(gè)集中力偶Me。軸在Me作用下可簡(jiǎn)化為受集中力偶作用的簡(jiǎn)支梁，試畫(huà)出軸的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置。【例4-10】

滑移齒輪軸解：（1）求支座反力

根據(jù)力偶的性質(zhì)，支座反力FA、FB必形成一力偶與集中力偶Me平衡，并由力偶平衡方程求得FA、FB，即（2）建立彎矩方程因C點(diǎn)處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。AC段BC段（3）畫(huà)彎矩圖因C點(diǎn)處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。

由彎矩方程可知，截面C左右段軸的彎矩圖均為斜直線，其中BC段AC段

據(jù)此可畫(huà)出橫梁的彎矩圖。

由彎矩圖可知，如b>a，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處右側(cè)橫截面上，即彎矩圖變化規(guī)律歸納如下：

①一般情況下，梁的彎矩方程是x的連續(xù)函數(shù)，而且是分段的連續(xù)函數(shù)，即彎矩圖上有轉(zhuǎn)折點(diǎn)；轉(zhuǎn)折點(diǎn)在集中力作用點(diǎn)、集中力偶處和均布載荷的始末端。

應(yīng)根據(jù)外載荷的作用位置分段建立梁的彎矩方程，并畫(huà)出彎矩圖。彎矩圖變化規(guī)律歸納如下：

②梁段上無(wú)均布載荷時(shí)，彎矩圖一般為斜直線。梁段上有均布載荷時(shí)，彎矩圖為二次拋物線，且載荷集度q向下時(shí)，彎矩圖曲線凹向下；反之凹向上。③集中力作用處彎矩圖出現(xiàn)尖點(diǎn)，發(fā)生轉(zhuǎn)折。④集中力偶處彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值與集中力偶矩相同，集中力偶順時(shí)針?lè)较驎r(shí)，彎矩圖向上突變；反之向下突變。

利用上述結(jié)論，可簡(jiǎn)便快捷地繪制出梁的彎矩圖。2．純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

純彎曲——橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的作用。即純彎曲時(shí)梁的橫截面上只有正應(yīng)力，而不會(huì)有切應(yīng)力。

由前所述，確定梁的強(qiáng)度和剛度時(shí)通?？珊雎约袅?duì)梁的作用，也就是將梁視作純彎曲。梁的純彎曲變形實(shí)驗(yàn)表明：

梁彎曲變形后，縱向纖維有伸長(zhǎng)層，也有縮短層，說(shuō)明橫截面上有拉應(yīng)力，也有壓應(yīng)力。

中性層——在伸長(zhǎng)層和縮短層之間有一層纖維彎曲而長(zhǎng)度不變，這一層縱向纖維為中性層。

中性軸——中性層與橫截面的交線。它通過(guò)截面形心C，所有橫截面仍保持平面，只是繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

橫截面上中性軸的一側(cè)受拉、另一側(cè)受壓，正應(yīng)力分布規(guī)律是：

橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比；

中性軸上的正應(yīng)力等于零；

離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)即上下邊緣的正應(yīng)力最大。梁的橫截面上最大正應(yīng)力σmax的計(jì)算公式為:式中：

M——橫截面上的彎矩，N·mm；

ymax——橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)到中性軸的距離，mm；

Iz——橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩，mm4。是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。為便于計(jì)算，令則式中：

Wz——梁的抗彎截面系數(shù)，mm3。 也是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。

可見(jiàn)，當(dāng)彎矩M不變時(shí)，Wz越大，σmax越小。所以Wz是反映橫截面抵抗彎曲破壞能力的一個(gè)幾何量。常用截面的Iz、Wz計(jì)算公式見(jiàn)教材表4-3。

常用型鋼的Iz（Iy）、Wz（Wy）值可從有關(guān)手冊(cè)中查得?！纠?-11】

圖示為一矩形截面簡(jiǎn)支梁。已知：F=5kN，a=180mm，b=30mm，h=60mm；試問(wèn)當(dāng)截面豎放或橫放時(shí)哪種抗彎能力較強(qiáng)。解：（1）求支座反力（2）畫(huà)彎矩圖（3）求最大正應(yīng)力

豎放時(shí)的最大正應(yīng)力σmax1為橫放時(shí)的最大正應(yīng)力σmax2為計(jì)算結(jié)果表明：

豎放時(shí)的σmax1小于橫放時(shí)的σmax2，可見(jiàn)，截面豎放比橫放的抗彎能力強(qiáng)。三、梁的彎曲強(qiáng)度分析實(shí)例

對(duì)于等截面梁，最大正應(yīng)力產(chǎn)生在最大彎矩作用的截面上，此截面即為危險(xiǎn)截面。

危險(xiǎn)點(diǎn)——危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處，即截面對(duì)應(yīng)邊緣處。梁的彎曲強(qiáng)度條件為：式中：

[σ]——許用彎曲正應(yīng)力。許用彎曲正應(yīng)力[σ]的確定：

對(duì)于抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相等的材料，[σ]采用材料的許用拉（壓）應(yīng)力；當(dāng)材料的抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度不相同，或橫截面相對(duì)中性軸不對(duì)稱時(shí)，應(yīng)分別計(jì)算抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度。彎曲強(qiáng)度計(jì)算解決三類問(wèn)題：彎曲強(qiáng)度校核、確定截面尺寸、確定許可載荷。【例4-12】

圖示為一工字鋼簡(jiǎn)支梁。已知：跨距l(xiāng)=6m；載荷F1=15kN，F(xiàn)2=21kN；鋼材的許用彎曲應(yīng)力[σ]=170MPa。試選擇工字鋼的型號(hào)。解：（1）求支座反力（2）畫(huà)彎矩圖由彎矩圖可見(jiàn)，橫截面C為危險(xiǎn)截面。（3）計(jì)算所需的抗彎截面系數(shù)為（4）選擇工字鋼型號(hào)由機(jī)械工程手冊(cè)，查熱軋工字鋼(GB/T706—1988)表得型號(hào)為20a的工字鋼Wz=237cm3，略大于計(jì)算值，故采用型號(hào)為20a的工字鋼。【例4-13】

已知：板長(zhǎng)3a＝150mm，壓板材料的許用彎曲應(yīng)力[σ]＝140MPa。當(dāng)工件受到最大壓力F＝2.5kN時(shí)，試校核壓板的強(qiáng)度。

螺旋壓板夾緊裝置分析：壓板可簡(jiǎn)化為圖示的外伸梁。

由梁的外伸部分BC可以直接求得截面B的彎矩，因此無(wú)需計(jì)算支座反力即可畫(huà)出彎矩圖。解：（1）畫(huà)彎矩圖可見(jiàn)，橫截面B為危險(xiǎn)截面。（2）校核壓板的強(qiáng)度

根據(jù)教材表4-3所列矩形截面抗彎截面系數(shù)Wz的公式，可求得截面B的Wz為由彎曲強(qiáng)度條件可得：因?yàn)樗詩(shī)A板滿足強(qiáng)度要求。

四、拉伸（壓縮）與彎曲組合時(shí)的強(qiáng)度分析實(shí)例拉伸（壓縮）與彎曲組合變形在工程上是常見(jiàn)的。受載特點(diǎn)：①桿件同時(shí)受橫向力和軸向力。輪齒受載特點(diǎn)：②載荷與桿件軸線平行，但不通過(guò)桿件截面形心。

立柱分析方法：

分解為兩種基本變形：拉伸（壓縮）和彎曲；

分別求出各自產(chǎn)生的正應(yīng)力；

各自的正應(yīng)力進(jìn)行代數(shù)疊加，即得到危險(xiǎn)截面的總應(yīng)力?！纠?-14】

已知：立柱截面面積A=15×103mm2

，對(duì)中性軸z的慣性矩Iz=53×106mm4；工作壓力F=50kN，材料的許用拉應(yīng)力[σ]l=40MPa，許用壓應(yīng)力[σ]y=120Mpa。試校核該壓力機(jī)立柱的強(qiáng)度。解：（1）外力分析

壓力機(jī)的工作壓力F與立柱的軸線平行，但偏離立柱的截面形心，立柱受偏心拉伸，偏心距為壓力機(jī)的鑄鐵機(jī)身（2）內(nèi)力分析

取m-m截面上部為分析對(duì)象，截面m-m上的內(nèi)力有：

軸力FN和彎矩M

根據(jù)平衡條件可求得：軸力FN、彎矩M方向如圖所示。（3）應(yīng)力分析

與軸力FN對(duì)應(yīng)的拉應(yīng)力σN均勻分布。（3）應(yīng)力分析

與彎矩M對(duì)應(yīng)的彎曲應(yīng)力呈線性分布：中性軸z的左邊為拉應(yīng)力σwl，右邊為壓應(yīng)力σwy。（3）應(yīng)力分析危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力疊加：截面左側(cè)邊緣點(diǎn)的拉應(yīng)力σN和彎曲拉應(yīng)力σwl疊加后仍為拉應(yīng)力；

右側(cè)邊緣點(diǎn)的拉應(yīng)力σN和彎曲壓應(yīng)力σwy疊加的結(jié)果是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，由兩者數(shù)值的大小所決定。

但對(duì)于鑄鐵類脆性材料，由于受壓能力遠(yuǎn)高于受拉能力，故通常使拉、壓兩種應(yīng)力疊加后是壓應(yīng)力。（4）校核強(qiáng)度應(yīng)使危險(xiǎn)點(diǎn)的總應(yīng)力不超過(guò)許用應(yīng)力。左側(cè)邊緣點(diǎn)的應(yīng)力為：右側(cè)邊緣點(diǎn)的應(yīng)力為：計(jì)算結(jié)果表明，立柱的強(qiáng)度足夠。五、彎曲剛度簡(jiǎn)介

工程上有一些梁，雖有足夠的強(qiáng)度，但因變形過(guò)大而影響其正常工作。例如：

橋式起重機(jī)大梁，在移動(dòng)被吊物體時(shí)，過(guò)大的彎曲變形會(huì)使電葫蘆爬坡困難。

車床主軸，若產(chǎn)生過(guò)大的彎曲變形，將降低加工精度，影響齒輪嚙合和軸承配合。車床主軸

許多情況下，必須將梁的彎曲變形限制在一定范圍內(nèi)，即梁應(yīng)滿足剛度條件。

懸臂梁AB受載后軸線由直線彎曲成一條光滑連續(xù)的平面曲線AB′。

在軸線上任取一截面形心C，彎曲變形后移到C′。

撓度y——截面形心C在垂直于原軸線方向的位移，mm。

轉(zhuǎn)角θ——橫截面相對(duì)于原來(lái)位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度，rad（弧度）。

梁的變形可用撓度y和轉(zhuǎn)角θ

來(lái)度量。

在圖示的坐標(biāo)系中，向上的撓度y為正，反之為負(fù)；逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角θ為正，反之為負(fù)。

對(duì)于彎曲變形后會(huì)影響正常工作的梁，其剛度條件為：

式中：[y]——許用撓度；[θ]——許用轉(zhuǎn)角。它們的具體數(shù)值可查有關(guān)手冊(cè)。

梁的撓曲線方程——撓度y和轉(zhuǎn)角θ與橫截面位置x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式。由此可求得梁上任一截面的撓度y和轉(zhuǎn)角θ。

但實(shí)際計(jì)算時(shí)可由有關(guān)手冊(cè)直接查得單個(gè)載荷作用下梁某些截面的撓度y和轉(zhuǎn)角θ計(jì)算公式，如教材表4-4所列。在教材表4-4計(jì)算公式中：EI——梁的抗彎剛度。在一定外力作用下，該乘積愈大，撓度和轉(zhuǎn)角愈小，表示抵抗彎曲變形的能力愈強(qiáng)。

對(duì)于梁在多個(gè)載荷作用下的變形，可分別計(jì)算單個(gè)載荷的變形，然后采用疊加法求得所有載荷作用時(shí)的總變形。【例4-15】

橋式起重機(jī)大梁彎曲變形過(guò)大時(shí)，電葫蘆爬坡困難，故需對(duì)其進(jìn)行剛度計(jì)算。已知大梁采用型號(hào)為45a的工字鋼，跨度l=9m，最大起吊重量W=60kN（包括電葫蘆重量），彈性模量E=200GPa，許用撓度[y]=0.002l，試校核大梁的剛度。解：分析：因鋼梁重量大，應(yīng)考慮梁的自重，是均布載荷，由熱軋工字鋼(GB/T706—1988)表中查得其集度q＝80.42×9.8＝788

N/m，慣性矩Iz＝32200

cm4。當(dāng)電葫蘆移到梁的中點(diǎn)處時(shí)，其撓度最大。（1）用疊加法求撓度

梁在均布載荷q作用下的撓度yCq由教材表4-4可得：（1）用疊加法求撓度

梁在集中力F（=W）作用下的撓度yCF由教材表4-4可得：梁的實(shí)際撓度

yC=yCq+yCF=－15mm（2）校核梁的剛度計(jì)算許可撓度：所以梁的剛度足夠。則六、提高零件彎曲強(qiáng)度和剛度的措施

提高零件的承載能力，即是使受力零件用盡可能少的材料，承受盡可能大的載荷，并安全可靠。目的：

在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的前提下，節(jié)省材料，降低零件的制造成本、并使零件材料的作用得到充分發(fā)揮。

影響梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是彎曲正應(yīng)力。使最大工作應(yīng)力σmax盡可能小的途徑：

①降低最大彎矩Mmax

②增大抗彎截面系數(shù)Wz。工程上常用的措施有：1．改善零件的受力狀況（1）合理布置梁的支座

均布載荷q作用下的簡(jiǎn)支梁，畫(huà)彎矩圖。

均布載荷q作用下的外伸梁，畫(huà)彎矩圖。

最大彎矩Mmax的計(jì)算結(jié)果表明：

當(dāng)支座向內(nèi)移動(dòng)0.2l時(shí)，外伸梁的承載能力可增加4倍。工程實(shí)例：龍門(mén)吊車主梁的支座布置

龍門(mén)吊車的主梁AB，其支承點(diǎn)略向中間移動(dòng)，其目的：通過(guò)合理布置支座位置，以減小Mmax。（2）合理布置載荷

傳動(dòng)軸上的齒輪安裝在跨距中點(diǎn)，畫(huà)彎矩圖。

傳動(dòng)軸上的齒輪安裝在靠近軸承的位置，畫(huà)彎矩圖。

最大彎矩Mmax的計(jì)算結(jié)果表明：

齒輪安裝在靠近軸承的位置時(shí)，最大彎矩Mmax將小很多。2．合理選擇截面形狀（1）選擇比值Wz/A較大的截面形狀

梁可能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)Wz成正比，雖然如此，但截面面積A也將隨之增大（即用料增多），故只有比值Wz/A越大時(shí)才越有利。

可用比值Wz/A來(lái)衡量截面形狀的合理性與經(jīng)濟(jì)性。幾種常用截面的比值Wz/A見(jiàn)教材表4-5。由教材表4-5可見(jiàn)：工字鋼或槽鋼比矩形截面經(jīng)濟(jì)合理；矩形截面又比圓形截面經(jīng)濟(jì)合理。

對(duì)于一定截面面積A，可選擇抗彎截面系數(shù)Wz盡可能大從而使比值Wz/A較大的合理截面。

由于正應(yīng)力在中性軸上為零，離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大。為了充分利用材料，應(yīng)使更多的材料分布在離中性軸較遠(yuǎn)處。工程結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件常用空心截面以及工字形、槽形或箱形截面。（1）考慮不同材料的特性選擇截面形狀

對(duì)于塑性材料，宜采用圓形、矩形、工字形等中性軸對(duì)稱的截面，從而使材料得以充分利用；

對(duì)于脆塑性材料，宜采用T形等中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，從而使最大拉應(yīng)力比最大壓應(yīng)力小。3．采用變截面梁

在采用等截面梁時(shí)，只有在彎矩為最大值Mmax的截面上，最大應(yīng)力才有可能接近許用應(yīng)力，其余各截面上應(yīng)力較低，材料未得到充分利用。

工程上常采用變截面梁，使梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都接近，形成近似的等強(qiáng)度梁。

搖臂鉆床的搖臂

上述改善零件受力狀況和合理選擇截面形狀的措施，也能有效地提高梁的彎曲剛度。

階梯軸

疊板彈簧返回

一、扭轉(zhuǎn)的概念第四節(jié)零件扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的工作能力分析

二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析

三、軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度分析實(shí)例

四、彎扭組合時(shí)的強(qiáng)度分析實(shí)例

五、扭轉(zhuǎn)剛度簡(jiǎn)介一、扭轉(zhuǎn)的概念

扭轉(zhuǎn)——桿件受到垂直于桿軸線的外力偶作用而發(fā)生橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的變形。軸——以承受扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。一般為圓軸。汽車方向盤(pán)的操縱軸

攻制內(nèi)螺紋的右旋絲錐

減速器的傳動(dòng)軸

扭轉(zhuǎn)角——圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)任意兩橫截面之間產(chǎn)生的相對(duì)轉(zhuǎn)角φ。二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析1．外力偶矩的計(jì)算

工程中，作用于軸上的外力偶的力偶矩計(jì)算公式為式中：Me——外力偶矩，N·m；

P——功率，kW；

n——軸的轉(zhuǎn)速，r/min。2．扭矩和扭矩圖仍采用截面法分析軸在橫截面上的內(nèi)力。

圓軸在兩端受到一對(duì)等值、反向的外力偶Me作用產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)并保持平衡。

取截面m-m一側(cè)的左段為分析對(duì)象。

左段截面m-m上必存在一個(gè)內(nèi)力偶Mn與外力偶Me平衡。

扭矩——內(nèi)力偶Mn由左段軸的平衡方程求得推廣一般情形，其結(jié)論是：

截面上的扭矩等于該截面一側(cè)軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和，即

當(dāng)取左、右兩段來(lái)計(jì)算扭矩Mn時(shí)，其值相等，但方向相反。扭矩Mn的符號(hào)按右手螺旋法則確定，并規(guī)定：

右手四指順著扭矩的方向握住圓軸軸線，大拇指伸直時(shí)的指向與橫截面的外法線方向一致時(shí)扭矩為正值；反之為負(fù)值。

于是，取左、右兩段來(lái)計(jì)算，所得的扭矩Mn符號(hào)一致。扭矩Mn的符號(hào)按右手螺旋法則確定，并規(guī)定：

外力偶矩Me的符號(hào)按右手螺旋法則確定，其規(guī)定與扭矩Mn相反。即：

大拇指指向與橫截面的外法線方向一致為負(fù)值，反之為正值。扭矩圖的構(gòu)成：橫坐標(biāo)x——沿圓軸軸線方向。表示橫截面的位置?？v坐標(biāo)Mn——垂直于圓軸軸線方向。表示對(duì)應(yīng)截面上扭矩的大小。正值扭矩繪在x軸的上方，負(fù)值扭矩繪在x軸的下方?！纠?-16】

已知轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪A輸入功率PA=50kW，從動(dòng)輪B和C的輸出功率PB=20kW，PC=30kW（不計(jì)摩擦損失）。試畫(huà)該齒輪軸的扭矩圖。若將主動(dòng)輪A安裝在軸的左端，試比較兩種安裝方式那一種合理。

齒輪軸

解：（1）計(jì)算外力偶矩Me

主動(dòng)力偶MeA的方向與軸的轉(zhuǎn)向一致；從動(dòng)力偶MeB、MeC的方向與主動(dòng)力偶MeA的方向相反。（2）計(jì)算各段的扭矩

根據(jù)外力偶矩的作用位置，將軸分為AB、AC兩段，分別取截面1-1和截面2-2。軸的任一截面上的扭矩應(yīng)等于該截面一側(cè)軸段上所有外力偶的代數(shù)和，則AB段內(nèi)的扭矩

Mn1=MeB=636.67N·mAC段內(nèi)的扭矩

Mn2=MeB－MeA=(636.67－1591.67)N·m=－955N·m

（3）畫(huà)扭矩圖

由扭矩圖可知，該齒輪軸的危險(xiǎn)截面在AC段，其最大扭矩為：

|Mnmax|=|Mn2|=955N·m

（4）比較合理性

若將主動(dòng)輪A安置在軸的左端。

由扭矩圖可知，軸上最大扭矩在AB段，其大小為：|Mnmax|=|Mn1|=|MeA

|

=|－1591.67

|=1591.67N·m計(jì)算結(jié)果表明：

傳動(dòng)軸上主動(dòng)輪和從動(dòng)輪安置不同，軸所受的最大扭矩也就不同。顯然，將主動(dòng)輪A安裝在兩從動(dòng)輪之間較合理。3．扭矩時(shí)的切應(yīng)力實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析表明：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上只有切應(yīng)力。切應(yīng)力的分布規(guī)律是：

各點(diǎn)的切應(yīng)力與橫截面半徑方向垂直，其大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，圓心處的切應(yīng)力等于零，圓周上的切應(yīng)力最大，圓軸橫截面上最大切應(yīng)力的計(jì)算公式為：式中：τmax——截面上最大切應(yīng)力，MPa；

Mn——截面上的扭矩，N·mm；

R——圓軸半徑，mm；

Ip——橫截面的極慣性矩，mm4。是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。為便于計(jì)算，令則式中：

Wn——軸的抗扭截面系數(shù)，mm3。也是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。

抗扭截面系數(shù)Wn反映橫截面抵抗扭轉(zhuǎn)破壞能力。當(dāng)扭矩Mn不變時(shí)，Wn越大，τmax越小。常用截面的Ip、Wn計(jì)算公式見(jiàn)教材表4-6。三、軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度分析實(shí)例

圓軸受扭時(shí)最大切應(yīng)力τmax產(chǎn)生在危險(xiǎn)截面的邊緣各點(diǎn)處。式中：[τ]——許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，MPa。其值可查有關(guān)手冊(cè)。圓軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件為：一般情況下，[τ]可按下列經(jīng)驗(yàn)公式近似確定：塑性材料[τ]=(0.5～0.6)[σ]脆性材料[τ]=(0.8～1.0)[σ]式中：[σ]——材料的許用拉應(yīng)力，MPa。扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算可以解決三類問(wèn)題：扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度校核確定截面尺寸確定許可載荷【例4-17】

一汽車的傳動(dòng)軸AB由45號(hào)無(wú)縫鋼管制成，大徑D=90mm，小徑d=85mm，傳遞的最大轉(zhuǎn)矩Memax=1500N·m，材料的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa。試求：（1）強(qiáng)度是否足夠？（2）在強(qiáng)度不變時(shí)改用相同材料的實(shí)心軸，軸徑應(yīng)多大？（3）空心軸和實(shí)心軸重量比為多少？汽車的傳動(dòng)軸

解：（1）計(jì)算空心軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度AB傳動(dòng)軸各截面的扭矩Mn相同，其大小為Mn=Memax=1500N·m

由教材表4-6中所列計(jì)算公式可求得抗扭截面系數(shù)Wn為：由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件可得：所以AB傳動(dòng)軸的強(qiáng)度足夠。（2）計(jì)算實(shí)心軸的直徑

改用實(shí)心軸時(shí)，材料和扭矩相同，若要求強(qiáng)度不變，抗扭截面系數(shù)必定相等，即實(shí)心軸的直徑為

Wn=29469mm3

（3）求空心軸和實(shí)心軸重量之比

當(dāng)它們的材料和長(zhǎng)度都相同時(shí)，重量之比即是它們的橫截面面積之比，設(shè)空心軸橫截面面積為A，實(shí)心軸橫截面面積為A1，則可得即：空心軸的重量?jī)H為實(shí)心軸重量的31%。

可見(jiàn)，在條件相同的情況下，采用空心軸可以節(jié)省材料，減輕重量，提高承載能力，所以在汽車、航空和船舶工業(yè)中采用較多。四、彎扭組合時(shí)的強(qiáng)度分析實(shí)例

彎扭組合變形——同時(shí)產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形。機(jī)械中大多的轉(zhuǎn)軸在載荷作用下產(chǎn)生彎扭組合變形。分析：帶輪軸AB

作用在帶輪軸上的外力：

電動(dòng)機(jī)輸入的外力偶為Me；

帶輪兩邊的拉力分別為FT1、FT2，若將FT1、FT2平移至帶輪輪心C，可得：合力FT=FT1+FT2和一個(gè)附加力偶MF。

帶輪軸產(chǎn)生彎扭組合變形：彎曲變形——由橫向力FT產(chǎn)生；扭轉(zhuǎn)變形——由力偶Me和MF產(chǎn)生。畫(huà)出軸的彎矩圖。畫(huà)出軸的扭矩圖。由彎矩圖和扭矩圖可見(jiàn)：危險(xiǎn)截面——內(nèi)力最大的中間截面C處。

截面C上正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ分布：σ垂直于橫截面；τ沿著橫截面。

因此，不能通過(guò)兩者代數(shù)疊加來(lái)求危險(xiǎn)截面的總應(yīng)力。

運(yùn)用有關(guān)強(qiáng)度理論可推導(dǎo)出圓軸的彎扭組合強(qiáng)度條件為：式中：

σd——當(dāng)量應(yīng)力。圓軸在當(dāng)量應(yīng)力σd作用下的強(qiáng)度相當(dāng)于正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ聯(lián)合作用下的強(qiáng)度；

M和Mn——分別為圓軸危險(xiǎn)截面上的彎矩和扭矩；

Wz——圓軸危險(xiǎn)截面上的抗彎截面系數(shù)；

[σ]——圓軸材料的許用應(yīng)力。如果軸上的橫向力構(gòu)成空間力系，則彎扭組合強(qiáng)度的計(jì)算步驟為：①

將每一個(gè)橫向力分別向水平面和鉛垂面分解，分別畫(huà)出水平面內(nèi)的彎矩圖（MH圖）和鉛垂面內(nèi)的彎矩圖（MV圖）；②

求合成彎矩M。合成彎矩M的計(jì)算公式為式中：MH、MV——水平面內(nèi)、鉛垂面內(nèi)的彎矩值。③

將合成彎矩的最大值代入彎扭組合強(qiáng)度計(jì)算式即可求解?！纠?-18】

傳動(dòng)軸傳遞的功率P=7.5kW，軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，軸的直徑d=60mm，各軸段長(zhǎng)l=400mm。軸上裝有C、D兩個(gè)帶輪，C輪上帶的緊邊和松邊拉力分別為F1'和F1"（F1'＞F1"），其和F1=4.2kN，方向與水平面（xz平面）的z軸平行；D輪上帶的緊邊和松邊拉力分別為F2'和F2"，其和F2=5.4kN，方向與垂直面（xy平面）的y軸平行。軸的材料許用應(yīng)力[σ]=85MPa，輪軸自重不計(jì)，試校核軸的強(qiáng)度。

傳動(dòng)軸解：（1）分析軸的外力帶輪傳遞的轉(zhuǎn)矩為：

在C、D兩處分別有等值反向的外力偶MeC、MeD，兩外力偶矩為MeC=MeD=Me=0.7kN·m

在C處有水平面的橫向力F1；在D處