§2.1.1典例剖析題型一橢圓的定義應(yīng)用例1：評析：點(diǎn)在橢圓上這個(gè)條件的轉(zhuǎn)化常有兩種方法：一是點(diǎn)橢圓的定義，二是點(diǎn)滿足橢圓的方程，應(yīng)該認(rèn)真領(lǐng)會(huì)橢圓定義題型二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法例2：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為〔-2，0〕，〔2,0〕且過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解法1因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義可知：又所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為解法2，所以可設(shè)所求的方程為，將點(diǎn)代人解得：所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為評析求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程總結(jié)有兩種方法：其一是由定義求出長軸與短軸長，根據(jù)條件寫出方程；其二是先確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，并將其用有關(guān)參數(shù)表示出來然后結(jié)合條件建立所滿足的等式，求得的值，再代人方程例3：設(shè)點(diǎn)P是圓上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔8，0〕，假設(shè)點(diǎn)M滿足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，得，即，．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以．即，即，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．評析此題中的點(diǎn)M與點(diǎn)P相關(guān)，我們得到，是關(guān)鍵，利用點(diǎn)P在上的條件，進(jìn)而便求得點(diǎn)M的軌跡方程，此法稱為代人法．點(diǎn)擊雙基1、．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在橫軸上，長軸長為4，短軸長為２，那么橢圓方程是〔C〕A.B.C.D.2假設(shè)橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是〔3，0〕，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔B〕ABCD３.與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為4的橢圓方程是(B)A4、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，那么________15、橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，那么橢圓的方程為解：焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓方程為；點(diǎn)在橢圓上，，所以橢圓方程為課外作業(yè)一、選擇題1．橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，那么到另一焦點(diǎn)距離為〔D〕A B C D2．假設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為〔－2，0〕和〔2，0〕，且橢圓過點(diǎn)，那么橢圓方程是 〔D〕A． B． C． D．3．假設(shè)方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為 〔D〕A．〔0，+∞〕 B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕4．假設(shè)橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為，焦距為，那么橢圓的方程為〔C〕A．B．C．或D．以上都不對5．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(－1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2A＋＝1B＋＝1C＋＝1D＋＝16、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔C〕A、B、C、D、7．△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，那么△ABC的周長是(C)〔A〕2EQ\r(,3)〔B〕6〔C〕4EQ\r(,3)〔D〕128．設(shè)定點(diǎn)F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，那么點(diǎn)P的軌跡是〔A〕A．橢圓 B．線段C．不存在 D．橢圓或線段二、填空題9方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_______10．與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦點(diǎn),且過點(diǎn)(－3，２)的橢圓方程為________．11、如果M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，那么M的軌跡方程是三、解答題12．將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線．答案：二、填空題10．橢圓的離心率為，那么的值為___________．解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，11．設(shè)是橢圓的不垂直于對稱軸的弦，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么____．解：設(shè)，那么中點(diǎn)，得，得即題型一直線與橢圓例1橢圓C的焦點(diǎn)F1〔－，0〕和F2〔，0〕，長軸長6，設(shè)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．解:由條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其中c=,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是:.聯(lián)立方程組,消去y得,.設(shè)A(),B(),AB線段的中點(diǎn)為M()那么:,=所以=+2=.也就是說線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).評析直線與橢圓的公共點(diǎn)、弦長、弦的中點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程聯(lián)立的方程組的解得問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題．題型二求橢圓弦長、中點(diǎn)、垂直、最值等問題例2評析“點(diǎn)差法”的要點(diǎn)是巧代斜率，與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題有三類：平行弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦的所在的直線方程13．直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)A和B，且〔其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕，求k的值．解：將代入，得．由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，得即．設(shè)，那么.由，得．而．于是．解得．故k的值為．思悟小結(jié)1、在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，要注意弦長問題，垂直問題、中點(diǎn)弦問題等，解決的一般思路是聯(lián)立直線與橢圓的方程組，消去一個(gè)未知量，通過題意找到根與系數(shù)的關(guān)系，利用韋達(dá)定理列式求解。2、把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去，整理成形如的形式，對此一元二次方程