核心素養(yǎng)提升練三十五基本不等式(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是 ()A.a+b≥2 B.+>C.+≥2 D.a2+b2>2ab【解析】選C.因為ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.2.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是 ()A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]【解析】選D.因為1=2x+2y≥2=2,所以≤,所以2x+y≤,得x+y≤-2.3.(2019·深圳模擬)已知f(x)=(x∈N*),則f(x)在定義域上的最小值為()A. B. C. D.2【解析】選B.f(x)==x+,因為x∈N*,所以x+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時取等號.但x∈N*,故x=5或x=6時,f(x)取最小值,當(dāng)x=5時,f(x)=,當(dāng)x=6時,f(x)=,故f(x)在定義域上的最小值為.4.已知f(x)=x+-2(x<0),則f(x)有 ()A.最大值為0 B.最小值為0C.最大值為-4 D.最小值為-4【解析】選C.因為x<0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時,取等號.5.若a≥0,b≥0,且a(a+2b)=4,則a+b的最小值為 ()A. B.4 C.2 D.2【解析】選C.因為a≥0,b≥0,所以a+2b≥0,又因為a(a+2b)=4,所以4=a(a+2b)≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=a+2b=2時等號成立.所以(a+b)2≥4,所以a+b≥2.6.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為 ()A. B.2 C. D.2【解析】選D.因為x>0,y>0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,即(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2.7.(2018·衡水模擬)若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),則a+b的最小值為()A.8 B.6 C.4 D.2【解析】選C.由a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,則有+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立,所以a+b的最小值為4.二、填空題(每小題5分,共15分)8.設(shè)P(x,y)是函數(shù)y=(x>0)圖象上的點,則x+y的最小值為________.

【解析】因為x>0,所以y>0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.答案:29.已知x,y為正實數(shù),則+的最小值為________.

【解析】因為x,y為正實數(shù),則+=++1=++1,令t=,則t>0,所以+=+t+1=+t++≥2+=,當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號.所以+的最小值為.答案:10.某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60°(如圖),考慮到防洪堤的堅固性及水泥用料等因素,要求設(shè)計其橫斷面的面積為9平方米,且高度不低于米,記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長(梯形的上底與兩腰長的和)為y米,若要使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小),則防洪堤的腰長x=________.

【解析】設(shè)橫斷面的高為h,由題意得AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x<6,所以y=BC+2x=+(2≤x<6),從而y=+≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)=(2≤x<6),即x=2時等號成立.答案:2(20分鐘40分)1.(5分)當(dāng)0<m<時,若+≥k2-2k恒成立,則實數(shù)k的取值范圍為()A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]C.[-4,2] D.[-2,4]【解析】選D.因為0<m<,所以×2m×(1-2m)≤×=,當(dāng)且僅當(dāng)2m=1-2m,即m=時取等號,所以+=≥8,又+≥k2-2k恒成立,所以k2-2k-8≤0,所以-2≤k≤4.所以實數(shù)k的取值范圍是[-2,4].2.(5分)(2018·石家莊模擬)若a,b是正數(shù),直線2ax+by-2=0被圓x2+y2=4截得的弦長為2,則t=a取得最大值時a的值為 ()A. B. C. D.【解析】選D.因為圓心到直線的距離d=,則直線被圓截得的弦長L=2=2=2,所以4a2+b2=4,則t=a=·(2a)·≤××[(2a)2+()2]=·[8a2+1+2(4-4a2)]=,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,此時a=.3.(5分)(2019·邯鄲模擬)設(shè)x>0,y>0,且=,則當(dāng)x+取最小值時,x2+=________.

【解析】因為x>0,y>0,所以當(dāng)x+取最小值時,取得最小值,因為=x2++,又=,所以x2+=+,所以=+≥2=16,所以x+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時取等號,所以當(dāng)x+取最小值時,x=2y,x2++=16,所以x2++=16,所以x2+=16-4=12.答案:124.(12分)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y. (1)求+的最小值.(2)是否存在x,y滿足(x+1)(y+1)=5?并說明理由.【解析】(1)因為+==≥=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時,等號成立,所以+的最小值為2.(2)不存在.理由如下:因為x2+y2≥2xy,所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.從而有(x+1)(y+1)≤≤4,因此不存在x,y滿足(x+1)(y+1)=5.5.(13分)某廠家擬在2018年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x=3-(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動,那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金). (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù).(2)該廠家2018年的促銷費用投入多少萬元時,廠家利潤最大?【解析】(1)由題意知,當(dāng)m=0時,x=1(萬件),所以1=3-k?k=2,所以x=3-,每件產(chǎn)品的銷售價格為1.