福建省龍巖市武平一中、長汀一中、漳平一中等六校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是（）A． B．0 C．1 D．22．在中，所對的邊分別為，若，，，則（）A． B． C．1 D．33．已知數(shù)列滿足，且是函數(shù)的兩個零點，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．644．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，則下列命題正確的是A．若，，則B．若，且，則C．若，，則D．若，且，則5．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作．其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．問：得幾何？”意思是：“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作多少個？”現(xiàn)有這樣的一個正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為()A． B． C． D．6．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．7．已知圓與圓有3條公切線，則（）A． B．或 C． D．或8．用數(shù)學(xué)歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A． B．C． D．9．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則在方向上的投影為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項和為，若，則______.12．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，則的取值范圍是________.13．已知中，的對邊分別為，若，則的周長的取值范圍是__________．14．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____15．設(shè)數(shù)列的前項和，若，，則的通項公式為_____．16．下圖是2016年在巴西舉行的奧運會上，七位評委為某體操運動員的單項比賽打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長為2的菱形，，且.（1）求證：；（2）若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.18．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的值.19．已知等比數(shù)列的前項和為，，，且.（1）求的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.20．經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度(千米/小時)之間有函數(shù)關(guān)系：．（1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度為多少時車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.01)（2）為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？21．如圖是某設(shè)計師設(shè)計的型飾品的平面圖，其中支架，，兩兩成，，，且．現(xiàn)設(shè)計師在支架上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為，且與長成正比，比例系數(shù)為（為正常數(shù)）；在區(qū)域（陰影區(qū)域）內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為，且與的面積成正比，比例系數(shù)為．設(shè)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

畫出不等式組的可行域,再根據(jù)線性規(guī)劃的方法,結(jié)合的圖像與的關(guān)系判定最小值即可.【詳解】畫出可行域,又求最小值時,故的圖形與可行域有交點,且往上方平移到最高點處.易得此時在處取得最值.故選：A【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃與絕對值函數(shù)的綜合運用,需要根據(jù)題意畫圖,根據(jù)函數(shù)的圖形性質(zhì)分析.屬于中檔題.2、A【解析】

利用三角形內(nèi)角和為，得到，利用正弦定理求得.【詳解】因為，，所以，在中，，所以，故選A.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和及正弦定理的應(yīng)用，考查基本運算求解能力.3、D【解析】試題分析：依題意可知，，，，所以.即，故，，，.，所以，又可知.,故.考點：函數(shù)的零點、數(shù)列的遞推公式4、D【解析】

利用面面、線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，直接判定．【詳解】解：對于A，若n∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，故錯；對于B，若α∩β＝l，且m⊥l，則m與β不一定垂直，故錯；對于C，若m∥n，m∥β，則α與β位置關(guān)系不定，故錯；對于D，∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，∵m∥l，則m∥β，故正確．故選D．【點睛】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間相互關(guān)系的合理運用．5、C【解析】

有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，由此能求出從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率．【詳解】有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，∴從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率：p．故選C．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.6、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由兩圓有3條公切線，可知兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和，求解即可.【詳解】由題意，圓與圓外切，所以，即，解得或.【點睛】本題考查了兩圓外切的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

分別求出n＝k時左端的表達式，和n＝k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式．【詳解】當n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C．【點睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達式和n＝k+1時左端的表達式，是解題的關(guān)鍵．9、D【解析】

由已知遞推關(guān)系式可以推出數(shù)列的特征，即數(shù)列和均是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由已知可得，當時，由得，所以數(shù)列和均是公比為2的等比數(shù)列，首項分別為2和1，由等比數(shù)列知識可求得，,故選：D．【點睛】本題主要考查遞推關(guān)系式，及等比數(shù)列的相關(guān)知識，屬于中檔題．10、A【解析】

根據(jù)正弦定理，將已知條件進行轉(zhuǎn)化化簡，結(jié)合兩角和差的正弦公式可求，根據(jù)在方向上的投影為，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】因為，所以，即，即，因為，所以，所以，所以在方向上的投影為：．故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理和平面向量投影的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用和的關(guān)系計算得到答案.【詳解】當時，滿足通項公式故答案為【點睛】本題考查了和的關(guān)系，忽略的情況是容易發(fā)生的錯誤.12、【解析】

作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，作出函數(shù)的圖像，由圖可知故答案為：【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化簡可得．∵，∴，解得（當且僅當時，取等號）．故．再由任意兩邊之和大于第三邊可得，故有，故的周長的取值范圍是，故答案為．點睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得，由此求得△ABC的周長的取值范圍．14、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點到直線的距離為，可知點在球上的運動軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點在以為圓心，為半徑的小圓上運動，當面面時，四面體的體積達到最大，.【點睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點的運動軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.15、【解析】

已知求，通常分進行求解即可。【詳解】時，，化為：．時，，解得．不滿足上式．∴數(shù)列在時成等比數(shù)列．∴時，．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了數(shù)列通項式的求法:求數(shù)列通項式常用的方法有累加法、定義法、配湊法、累乘法等。16、【解析】由平均數(shù)公式可得，故所求數(shù)據(jù)的方差是，應(yīng)填答案。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，推導(dǎo)出，又，從而面，進而，推導(dǎo)出，由此能得到結(jié)論；（2）由題意，可證得是二面角的平面角，進而得，進而計算得，進而利用棱錐的體積公式計算即可.【詳解】（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，因為側(cè)面是菱形，所以，又因為，，所以面而平面，所以，因為，所以，而，所以，故.（2）因為，為的中點，則，由（1）可知，因為，所以面，作，連結(jié)，由（1）知，所以且所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設(shè)，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點睛】本題考查兩個角相等的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）由向量垂直的坐標運算可得，再求解即可；（2）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可得原式，再構(gòu)造齊次式求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以，因為，，所以，即，故.（2）.【點睛】本題考查了向量垂直的坐標運算，重點考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及構(gòu)造齊次式求值，屬中檔題.19、（1）；（2）存在，【解析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【詳解】（1）因為，所以或，又，則，所以；（2）因為，則，當為偶數(shù)時有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項及其前項和的應(yīng)用，難度一般.對于公比為負數(shù)的等比數(shù)列，分析前項和所滿足的不等式時，注意分類討論，因此的奇偶會影響的正負.20、（1）v＝40千米/小時，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時（2）汽車的平均速度應(yīng)控制在25≤v≤64這個范圍內(nèi)【解析】

（1）將已知函數(shù)化簡，利用基本不等式求車流量y最大值；

（2）要使該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時，即使，解之即可得汽車的平均速度的控制范圍．【詳解】解:(1)＝≤＝≈11.08，當v＝，即v＝40千米/小時，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時．(2)據(jù)題意有：，化簡得，即，所以，所以汽車的平均速度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)．【點睛】本題以已知函數(shù)關(guān)系式為載體，考查基本不等式的使用，考查解不等式，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）（）；（2），的最大值是.【解析】試題分析：（1）運用題設(shè)和實際建立函數(shù)關(guān)系并確定定義域；（2）運用基本不等式求函數(shù)的最值和取得最值的條件.試題解析：（1）因為，，，由余弦定理，，解得，由，得．又，得，解得，所以的取值范圍是．（2），，則，設(shè)，則．當且僅當即取等號，此時取等號，所以當時，的最大值是．考點：閱讀理