2023-2024高二第二學(xué)期第一次月考試卷

數(shù)學(xué)試題

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：湘教版選擇性必修第二冊第一章?第二章2.3.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在空間四邊形OABC中，0A+AB+8C等于（）

AOAB.ABC.OCD.AC

2.設(shè)/(%)=以3+X,若/'(—1)=4,貝()

A.1B.-2C.3D.-1

3.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（l,2,3）關(guān)于工。平面的對稱點(diǎn)是（）

A.(-1,-2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,2,3)

4.已知函數(shù)〃%）在x=%處的導(dǎo)數(shù)為3,則lim()

-2Ax

32

A.3B.—C.6D.—

23

31

5.。為空間任意一點(diǎn)，若OP=—OA+—Q3+/OC,若A、B、C、尸四點(diǎn)共面，貝曠=

48

A.1D.

4

6.函數(shù)圖象連續(xù)的函數(shù)y=/（x）在區(qū)間句上（）

A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值

小

7.已知a=（2,3,l）,6=（1，-2,-2）,則。在6上的投影向量為（）

22

A.2bB.-2bC.—bD.

8.已知函數(shù)/（%）=工+3,8（%）=只0%+口，若X/玉w[Le],使得/（xj=g（±），則實(shí)數(shù)

〃的取值范圍是（）

17~|

A.5-e,-^B.[5—0,3]

C（5—e,3）D.^5—e,—

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（工）=12-5%+7）1,則函數(shù)/（%）在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）

A.（-oo,l）B.（1,2）C.（2,+oo）D.（l,+oo）

10.已知空間向量a=（—3,—1,2）1=（3,3,1）,則下列說法正確的是（）

A.（3a+2。）〃a

B.a_L（5a+7b）

C.q與〃夾角的余弦值為—封1皈

133

D.若i=（3,7,7）,則a,Z?,c共面

Y

11.已知函數(shù)〃x）=-則下列說法正確的是（）

A./（%）極值點(diǎn)為

B.7（%）的最小值為

C.八%）有兩個(gè)零點(diǎn)

D.直線y=之是曲線y=/（x）的一條切線

ee

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知在一次降雨過程中，某地降雨量y（單位：mm）與時(shí)間，（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可近似表

示為y=?,則在f=4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為mm/min.

13已知,卜33=（l,2,-2）,a-/?=2,貝!||2a-b|=.

14.己知函數(shù)/（x）=e"—0―%,若/（/+。+/（3，）＜0成立，則實(shí)數(shù),的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.如圖，在邊長為4的正方體ABC。—中，E，F(xiàn),G分別是42，DD-的中點(diǎn).以

A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

（1）寫出g,G，E,F,G五點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求GG，（4E+5F）.

16.已知函數(shù)/（"=三+加+陵+。在點(diǎn)P（0,—2）處的切線斜率為一1,且在％=1處取得極值.

（D求函數(shù)八％）的解析式；

（2）當(dāng)1,2］時(shí)，求函數(shù)了（%）的最值.

17.如圖，在半徑為4m的四分之一圓（。為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料0ABC,其中點(diǎn)8在圓弧

上，點(diǎn)A,C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮O42C卷成一個(gè)以A8為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁

和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長AB=xm,圓柱的體積為Vm3.

(1)求出體積V關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；

(2)當(dāng)尤為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？

18.已知函數(shù)〃x)=a(e*-1)-3片0).

(1)若0=1,證明：〃x)20：

⑵若V%e(O,+8),X2G(O,+8)(%WX2)，都有求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.己知函數(shù)/(x)=gx2

+a(lnx-x)(aeR).

(1)若/(X)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)若/(%)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為百,馬,證明:/(%)+/伍)<81112—12.

2023?2024第二學(xué)期第一次月考試卷

局一數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：湘教版選擇性必修第二冊第一章~第二章2.3.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在空間四邊形OABC中，O4+A5+8C等于()

A.OAB.ABC.OCD.AC

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】OA+AB+BC^OB+BC=OC

故選：C

2.設(shè)/(尤)=砥3+%,若則a=()

A.1B.-2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值直接構(gòu)造方程求解即可.

【詳解】f(x)=3ax2+l,.-./,(-l)=3a+l=4,解得：a=l.

故選：A.

3.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P。,2,3)關(guān)于工。平面的對稱點(diǎn)是()

A.(-1,-2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求解.

【詳解】點(diǎn)P(l,2,3)關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)是(1,-2,3),

故選：B

4.已知函數(shù)/'(%)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)為3,則軻，宙+笠^=()

32

A.3B.—C.6D.—

23

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在l=%0導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“力在X=玉)處的導(dǎo)數(shù)為3,

所以/'5)=lim/5+3-/5)=§,

V7AxfOAx

所以lim—--------———―=-,lim---------———―=—x3=-?

-02Ax2-oAx22

故選：B.

3-1

5.。為空間任意一點(diǎn)，若。。=—。4+—O3+/OC,若A、B、C、P四點(diǎn)共面，則/=()

48

,111

A.1B.—C.—D.一

284

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出/的值.

【詳解】空間向量共面基本定理的推論：OP=xOA+yOB+zOC,且A、B、C不共線,

若A、B、C、尸四點(diǎn)共面，貝ijx+y+z=l,

31

因。為空間任意一點(diǎn)，若OP=—。4+—O3+/OC,且A、B、C、P四點(diǎn)共面，

48

311

所以，—?---\-t=1,解得t=—.

488

故選：C.

6.函數(shù)圖象連續(xù)的函數(shù)y=/(x)在區(qū)間可上()

A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值小

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)最值和極值的定義即可得解.

【詳解】由函數(shù)的最值與極值的概念可知y=/(%)在[a,b]上一定存在最大值.

故選：C.

7.已知a=(2,3,l),Z;=(l,-2,-2),則。在6上的投影向量為()

2.2

A.2bB.-2bC.—bD.一個(gè)b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.

2)_2_6_2_2

[詳解]]^=12+(-2)2+(-2)2=-9-=~3'

ya-byb2

故a在匕上的投影向量為?；=T.

W3

故選：D

8.已知函數(shù)/(%)=工+3,8(%)=如女+a，若X/玉上2使得/(石)=8(%)，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

二17~|

A.5-e,-^B.[5—e,3]

C(5-e,3)D.[5—e])

【答案】B

【解析】

【分析】由題意“X)的值域包含于g(x)的值域，再分別求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而根據(jù)值域區(qū)

間端點(diǎn)滿足的不等式列式求解即可.

【詳解】r(x)=l—3=^^,xe[l,4],4/，(x)>0,解得2Vx<4,

JCJC

令/'(x)<0,解得l<x<2,所以/(x)。,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增，

17

又/⑴=5,7?⑵=3"(4)=]，所以“力的值域?yàn)閇3,5].

當(dāng)xe[l,e]時(shí)，g,(x)=lnx+l>0,所以g(x)在[l,e]上單調(diào)遞增，

又g(l)=a,g(e)=e+a,所以g(x)的值域?yàn)閇a,e+a],

又V%卻e[l,e],使得/(%)=g(42)，所以解得5-e<a<3,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是[5-e,3].

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)5x+7)e*,則函數(shù)〃九)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有()

A.B,(1,2)C.(2,+c?)D.(l,4^o)

【答案】AC

【解析】

【分析】由導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)遞增區(qū)間，得到答案.

【詳解】因?yàn)?(%)的定義域?yàn)镽，

/'(%)=(X?-5x+7+2尤一5)e*=(左？-3x+2)e*=(尤一l)(x-2)e”,

令力。得：*>2或%<1,

所以"工)在區(qū)間(—8,1),(2,+8)上單調(diào)遞增.

故選：AC.

10.已知空間向量a=(—3,-1,2)1=(3,3,1),則下列說法正確的是()

A.+2b]//a

B.a_L(5〃+7b)

c.。與〃夾角的余弦值為—三叵

133

D.若。=(3,7,7),則仇右共面

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可判斷ABD；根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可判斷C.

【詳解】A：3a+2b=3x(-3,-1,2)+2x(3,3,1)=(-3,3,8),又a=(—3,—1,2),故A錯誤;

B：5a+7Z>=5x(-3,-1,2)+7x(3,3,1)=(6,16,17),則(5a+7b)-a=0,故B正確；

C：因?yàn)閍=(-3,-1,2)1=(3,3,1),所以同=,9+1+4=舊,6=J'9+9+1=M，

/j\—9—3+25,266n-r*,

所以cos=—1=—=-------，故C正確；

'/ExM133

D：因?yàn)閐=(3,7,7)=2a+3Z>,故D正確.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=-g,則下列說法正確的是()

A.7(%)的極值點(diǎn)為g]

B."%)的最小值為一：

C.有兩個(gè)零點(diǎn)

D.直線y=—之是曲線y=/(x)的一條切線

e-e

【答案】BD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(最值)的關(guān)系可判斷AB；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的知識可判斷C；

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得了(%)在x=2處的切線方程，從而得以判斷.

【詳解】因?yàn)椤?一下，所以「(力=工；，

ee

令r(x)＜o(jì),得尤＜1；令用勾＞0,得龍〉i；

所以了(%)在(-8,1)上單調(diào)遞減；在(1,+8)上單調(diào)遞增；

所以了(%)在X=1處取得唯一極小值，也是了(九)的最小值，

所以了(%)的極值點(diǎn)為x=l,/(x)mn-/(1)=---故A錯誤，B正確；

e

因?yàn)?⑼=0"⑴=—1＜0,結(jié)合“X)在(f,l)上的單調(diào)性，可知x=0是“X)在』)上的唯

e

—^零點(diǎn)；

當(dāng)%＞1時(shí)，e，＞0恒成立，故〃司=-己＜0恒成立，所以了(%)在。,收)上沒有零點(diǎn)；

綜上：“X)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯誤；

71

因?yàn)椤?)=-/，—,

所以“可在尤=2處的切線方程為y+E=±(x—2),即y=±x—且，故D正確.

e~eee

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知在一次降雨過程中，某地降雨量y(單位：mm)與時(shí)間，(單位：min)的函數(shù)關(guān)系可近似表示

為y=〃，則在/=4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度(某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率)為mm/min.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】將函數(shù)y=JF關(guān)于，求導(dǎo)，再將r=4代入上式的導(dǎo)函數(shù)，即可求解.

1

【詳解】因?yàn)閥=/?)=〃=Q,

所以尸(。=同=/,

1.11

r⑷=—x42=—,

v724

故在，=4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度(某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率)為'mm/min.

4

故答案為：一.

4

13.已知W=3,〃=(l,2,-2),a$=2,貝”2。一。|=.

【答案】行

【解析】

【分析】根據(jù)慳―0=,4心4a/+,2結(jié)合數(shù)量積與模長的公式求解即可.

【詳解】由卜|=3,慟=jF+22+(—2y=3,

有12a—-4a-/?+|z?|=^36-8+9=A/37.

故答案為：國

14.已知函數(shù)/(x)=e、—er—x,若/欠+。+/(3。<0成立，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為

【答案】(-4,0)

【解析】

【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)八%)是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)八％)在R上單調(diào)遞增，利用函數(shù)單

調(diào)性可知/(/+?)+/(3?)<0等價(jià)于t-+t<-3t>解出不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(—￡)=—e*+x=—/(x),所以函數(shù)是奇函數(shù).

又/(耳=]+一一122，7丁7-1=1>0恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

不等式f(t2+z)+/(3z)<0等價(jià)于/(r+.)<―/(3r)=/(-3r),

所以即產(chǎn)+由<0,解得-4<0.

所以實(shí)數(shù)f的取值范圍為(-4,0).

故答案為：(T,。)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.如圖，在邊長為4的正方體ABC?！狝4c12中，E,F,G分別是4D，DD「CD的中點(diǎn).以

A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

z,、

____E_____D

I,一

(1)寫出耳，G，E,F,G五點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求qG.(B]E+B/).

【答案】(1)4(4,0,4),q(4,4,4),E(0,2,4),F(0,4,2),G(2,4,0)

(2)24

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的位置寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵先求向量gG，4E，4E的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解.

【小問1詳解】

由題可知,4(4,0,4),q(4,4,4),石(0,2,4),尸(0,4,2),G(2,4,0)

【小問2詳解】

由(1)可知，C,G=(-2,0,-4),年月=(-4,2,0),與#=(-4,4,-2)

則4石+4/=(—8,6,-2),

則。?―(丹石+男尸)=—2x(—8)+0x6+(—4)x(—2)=24.

16.己知函數(shù)/(X)=9+依2+陵+。在點(diǎn)p(O,_2)處的切線斜率為_i,且在x=l處取得極值.

(1)求函數(shù)7(%)的解析式；

(2)當(dāng)九目-1,2]時(shí)，求函數(shù)〃力的最值.

【答案】(1)/(X)=X3-X2-X-2；

(2)/(x),=-3,/(%)=0.

"\/min"\/max

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)在曲線上，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?(%)=三+or2+bx+c,

所以/,(x)=3x2+2ax+b,

由題意可知，/(O)=-2,/f(O)=-l,=

/(0)=。=-2

所以,尸(。)=6=_1，解得a=—l,b=-l,c=-2,

廣⑴=3+2a+6=0

所以函數(shù)八％)的解析式為“可=/-f-x-2,經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，

所以/'(x)=/-f-X-2；

【小問2詳解】

由(1)知/“(X)=3x?—2x—l=(3x+l)(x—1),

令/''(x)=0，則(3x+l)(x-l)=0,解得x=-；,或%=1,

當(dāng)xe-1,—；；口,2］時(shí)，制x)>0；當(dāng)時(shí)，f'(x)<0；

所以在-L-和［1,2］上單調(diào)遞增，在-上單調(diào)遞減，

當(dāng)；時(shí)，"％)取的極大值為—：+:—2=—若，

當(dāng)％=1時(shí)，/(%)取得極小值/(1)=13-12-1-2=-3,

又/(—1)=(—1)3-(—1)2—(—1)—2=-3,/⑵=23—22—2—2=0,

所以《)皿=一3,小)颯=0?

17.如圖，在半徑為41n的四分之一圓(。為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料。4BC,其中點(diǎn)B在圓弧上,

點(diǎn)A,C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OA8C卷成一個(gè)以A8為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼

接損耗)，設(shè)矩形的邊長A5=xm,圓柱的體積為Vnf.

OA

（1）求出體積V關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？

【答案】⑴V=1613,定義域?yàn)楹?<%<4｝；

（2）當(dāng)％=拽m時(shí)，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是絲叵m3

39兀

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理及圓的周長公式，結(jié)合圓柱的體積公式即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解

【小問1詳解】

在Rt..Q4B中，

因?yàn)锳3=x，所以Q4=J16—%2，

設(shè)圓柱的底面半徑為r,貝UJ16—%?=2兀3，即16-必=4712r2,

所以丫=兀八="三t,定義域?yàn)椋鹸[0<x<4｝

47r

【小問2詳解】

由（1）得丫=兀產(chǎn)％——,0<x<4,

47r

2（力=16-3江,

「471

令V'（九）=0,則16—3-=o,解得％=拽，

4兀3

當(dāng)0<x<殍時(shí)，叫％）>0,當(dāng)警<》<4時(shí)，V'（x）<0,

所以V(x)在10,拳J上單調(diào)遞增,在［卷一,4)上單調(diào)遞減.

廠64G64出

當(dāng)％=上口m時(shí)，圓柱形罐子的體積丫最大，最大體積是，［4石］—飛鼠_326皿?

33J-4TI~971

18.已知函數(shù)/'(x)=a(e"—1)—'(。w0).

(1)若a=l,證明：f(x)＞o;

⑵若才^?0,轉(zhuǎn))