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上海市市三女中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.記復(fù)數(shù)的虛部為,已知滿足,則為()A. B. C.2 D.2.直線被圓截得的劣弧與優(yōu)弧的長之比是()A. B. C. D.3.已知兩點,,直線過點且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是()A. B.C. D.或4.定義運算:.若不等式的解集是空集,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.如圖,網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是,在其上用粗實線和粗虛線畫出了某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.6.若雙曲線的中心為原點,是雙曲線的焦點,過的直線與雙曲線相交于,兩點,且的中點為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.7.在區(qū)間上隨機選取一個數(shù),則滿足的概率為()A. B. C. D.8.為奇函數(shù),當(dāng)時,則時,A. B.C. D.9.若實數(shù)a>b,則下列結(jié)論成立的是()A.a(chǎn)2>b2 B. C.ln2a>ln2b D.a(chǎn)x2>bx210.已知全集,集合,,則()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.?dāng)?shù)列滿足:(且為常數(shù)),,當(dāng)時,則數(shù)列的前項的和為________.12.已知等差數(shù)列的前n項和為,若,則的值為______________.13.若點到直線的距離是,則實數(shù)=______.14.已知等差數(shù)列,的前項和分別為,,若,則______.15.正項等比數(shù)列中,存在兩項使得,且,則的最小值為______.16.設(shè)為,的反函數(shù),則的值域為______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)的最小正周期為,且直線是其圖象的一條對稱軸.(1)求函數(shù)的解析式;(2)在中,角、、所對的邊分別為、、,且,,若角滿足,求的取值范圍;(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,再將所得的圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作,已知常數(shù),,且函數(shù)在內(nèi)恰有個零點,求常數(shù)與的值.18.已知數(shù)列滿足:,,數(shù)列滿足.(1)若數(shù)列的前項和為,求的值;(2)求的值.19.已知數(shù)列滿足,.(1)若,求證:數(shù)列為等比數(shù)列.(2)若,求.20.求過點且與圓相切的直線方程.21.已知函數(shù)f(x)=x2(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式;(2)若直線y=ax+1與曲線y=g(x)有三個不同的交點,求a的取值范圍;(3)若直線y=ax+b與曲線y=f(x)在x∈[-2,1]內(nèi)有交點,求(a-1)2
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算求得,從而可得虛部.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解問題,關(guān)鍵是通過復(fù)數(shù)除法運算得到的形式.2、A【解析】
計算出圓心到直線的距離,根據(jù)垂徑定理,結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系,可以求出劣弧所對的圓心角的度數(shù),根據(jù)弧度制的定義,這樣就可以求出劣弧與優(yōu)弧的長之比.【詳解】圓心O到直線的距離為:,直線被圓截得的弦為AB,弦AB所對的圓心角為,弦AB的中點為C,由垂徑定理可知:,所以,劣弧與優(yōu)弧的長之比為:,故本題選A.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、點到直線距離公式、弧長公式,考查了數(shù)學(xué)運算能力.3、D【解析】
作出示意圖,再結(jié)合兩點間的斜率公式,即可求得答案.【詳解】,,又直線過點且與線段相交,作圖如下:則由圖可知,直線的斜率的取值范圍是:或.故選:D【點睛】本題借直線與線段的交點問題,考查兩點間的斜率公式,考查理解辨析能力,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)定義可得的解集是空集,即恒成立,再對分類討論可得結(jié)果.【詳解】由題意得的解集是空集,即恒成立.當(dāng)時,不等式即為,不等式恒成立;當(dāng)時,若不等式恒成立,則即解得.綜上可知:.故選:B【點睛】本題考查了二次不等式的恒成立問題,考查了分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)三視圖,還原空間結(jié)構(gòu)體,根據(jù)空間結(jié)構(gòu)體的特征及球、棱錐的體積公式求得總體積.【詳解】根據(jù)空間結(jié)構(gòu)體的三視圖,得原空間結(jié)構(gòu)體如下圖所示:該幾何體是由下面半球的和上面四棱錐的組成由三視圖的棱長及半徑關(guān)系,可得幾何體的體積為所以選A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,空間結(jié)構(gòu)體的體積求法,屬于中檔題.6、B【解析】由題可知,直線:,設(shè),,得,又,解得,所以雙曲線方程為,故選B。7、D【解析】
在區(qū)間上,且滿足所得區(qū)間為,利用區(qū)間的長度比,即可求解.【詳解】由題意,在區(qū)間上,且滿足所得區(qū)間為,由長度比的幾何概型,可得概率為,故選D.【點睛】本題主要考查了長度比的幾何概型的概率的計算,其中解答中認(rèn)真審題,合理利用長度比求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
利用奇函數(shù)的定義,結(jié)合反三角函數(shù),即可得出結(jié)論.【詳解】又,時,,故選:C.【點睛】本題考查奇函數(shù)的定義、反三角函數(shù),考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.9、C【解析】
特值法排除A,B,D,單調(diào)性判斷C【詳解】由題意,可知:對于A:當(dāng)a、b都是負(fù)數(shù)時,很明顯a2<b2,故選項A不正確;對于B:當(dāng)a為正數(shù),b為負(fù)數(shù)時,則有,故選項B不正確;對于C:∵a>b,∴2a>2b>0,∴l(xiāng)n2a>ln2b,故選項C正確;對于D:當(dāng)x=0時,結(jié)果不成立,故選項D不正確;故選:C.【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)應(yīng)用,特殊值技巧的應(yīng)用,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)值大小的比較.本題屬中檔題.10、A【解析】
本題根據(jù)交集、補集的定義可得.容易題,注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.【詳解】,則【點睛】易于理解集補集的概念、交集概念有誤.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
直接利用分組法和分類討論思想求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足:(且為常數(shù)),,當(dāng)時,則,所以(常數(shù)),故,所以數(shù)列的前項為首項為,公差為的等差數(shù)列.從項開始,由于,所以奇數(shù)項為、偶數(shù)項為,所以,故答案為:【點睛】本題考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,同時也考查了分類討論的思想,屬于中檔題.12、1【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a9+a11=3a9,而S17=17a9,故本題可解.【詳解】∵a1+a17=2a9,∴S1717a9=170,∴a9=10,∴a7+a9+a11=3a9=1;故答案為:1.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式與等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.13、或1【解析】
由點到直線的距離公式進(jìn)行解答,即可求出實數(shù)a的值.【詳解】點(1,a)到直線x﹣y+1=0的距離是,∴;即|a﹣2|=3,解得a=﹣1,或a=1,∴實數(shù)a的值為﹣1或1.故答案為:﹣1或1.【點睛】本題考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)熟記點到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列奇數(shù)項之和與中間項的關(guān)系進(jìn)行化簡求解.【詳解】因為是等差數(shù)列,所以,又因為為等差數(shù)列,所以,故.【點睛】(1)在等差數(shù)列中,若,則有;(2)在等差數(shù)列.15、【解析】
先由已知求出公比,然后由求出滿足的關(guān)系,最后求出的所有可能值得最小值.【詳解】設(shè)數(shù)列公比為,由得,∴,解得(舍去),由得,,∵,所以只能取,依次代入,分別為2,,2,,,最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查求最小值問題.解題關(guān)鍵是由等比數(shù)列性質(zhì)求出滿足的關(guān)系.接著求最小值,容易想到用基本不等式求解,但本題實質(zhì)上由于,因此對應(yīng)的只有5個,可以直接代入求值,然后比較大小即可.16、【解析】
求出原函數(shù)的值域可得出其反函數(shù)的定義域,取交集可得出函數(shù)的定義域,再由函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù),則函數(shù)的值域為,所以,函數(shù)的定義域為.函數(shù)的定義域為,由于函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性相同,可知,函數(shù)在上為增函數(shù).當(dāng)時,函數(shù)取得最小值;當(dāng)時,函數(shù)取得最大值.因此,函數(shù)的值域為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域的求解,考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,明確兩個互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3),.【解析】
(1)由函數(shù)的周期公式可求出的值,求出函數(shù)的對稱軸方程,結(jié)合直線為一條對稱軸結(jié)合的范圍可得出的值,于此得出函數(shù)的解析式;(2)由得出,再由結(jié)合銳角三角函數(shù)得出,利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出,由條件得出,于此可計算出的取值范圍;(3)令,得,換元得出,得出方程,設(shè)該方程的兩根為、,由韋達(dá)定理得出,分(ii)、;(ii),;(iii),三種情況討論,計算出關(guān)于的方程在一個周期區(qū)間上的實根個數(shù),結(jié)合已知條件得出與的值.【詳解】(1)由三角函數(shù)的周期公式可得,,令,得,由于直線為函數(shù)的一條對稱軸,所以,,得,由于,,則,因此,;(2),由三角形的內(nèi)角和定理得,.,且,,.,由,得,由銳角三角函數(shù)的定義得,,由正弦定理得,,,,且,,,.,因此,的取值范圍是;(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù),再將所得的圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為,,令,可得,令,得,,則關(guān)于的二次方程必有兩不等實根、,則,則、異號,(i)當(dāng)且時,則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個根,從而方程在也有偶數(shù)個根,不合乎題意;(ii)當(dāng),則,當(dāng)時,只有一根,有兩根,所以,關(guān)于的方程在上有三個根,由于,則方程在上有個根,由于方程在區(qū)間上只有一個根,在區(qū)間上無實解,方程在區(qū)間上無實數(shù)解,在區(qū)間上有兩個根,因此,關(guān)于的方程在區(qū)間上有個根,在區(qū)間上有個根,不合乎題意;(iii)當(dāng)時,則,當(dāng)時,只有一根,有兩根,所以,關(guān)于的方程在上有三個根,由于,則方程在上有個根,由于方程在區(qū)間上無實數(shù)根,在區(qū)間上只有一個實數(shù)根,方程在區(qū)間上有兩個實數(shù)解,在區(qū)間上無實數(shù)解,因此,關(guān)于的方程在區(qū)間上有個根,在區(qū)間上有個根,此時,,得.綜上所述:,.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式,以及三角形中的取值范圍問題,以及三角函數(shù)零點個數(shù)問題,同時也涉及了復(fù)合函數(shù)方程解的個數(shù)問題,考查分類討論思想的應(yīng)用,綜合性較強,屬于難題.18、(1);(2).【解析】
(1)構(gòu)造數(shù)列等差數(shù)列求得的通項公式,再進(jìn)行求和,再利用裂項相消求得;
(2)由題出現(xiàn),故考慮用分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行計算.【詳解】(1)由得,即,所以是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故,故.所以,故.
(2)當(dāng)為偶數(shù)時,,當(dāng)為奇數(shù)時,為偶數(shù),
綜上所述,當(dāng)為偶數(shù)時,,當(dāng)為奇數(shù)時,即.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列定義的應(yīng)用,考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式與裂項求和及奇偶并項求和的方法,考查了分析問題的能力及邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析(2)答案見解析【解析】
(1)證明即可;(2)化簡,討論,和即可求解【詳解】因為,所以,所以.又所以數(shù)列是以3為首項,9為公比的等比數(shù)列.(2)因為,所以,所以:當(dāng)時,當(dāng)時,.當(dāng)時,.【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明,極限的運算,注意分類討論的應(yīng)用,是中檔題20、直線方程為或【解析】
當(dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為,滿足題意,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)出直線的方程,由圓心到直線的距離等于半徑,可解出的值,從而求出方程?!驹斀狻慨?dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為,經(jīng)檢驗,滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線方程為,即,圓心到直線的距離等于半徑,即,可解得.即直線為.綜上,所求直線方程為或.【點睛】本題考查了圓的切線的求法,考查了直線的方程,考查了點到直線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題。21、(1)g(x)=0,-x2【解析】
(1)先分類討論求出|f(x)|的解析式,即得函數(shù)g(x)的解析式;(2)當(dāng)a=0時,直線y=1與曲線y=g(x)只有2個交點,不符題意.當(dāng)a≠0時,由題意得,直線y=ax+1與曲線y=g(x)在x?-2或x?1內(nèi)必有一個交點,且在-2<x<1的范圍內(nèi)有兩個交點.由y=ax+1,y=-x2-x+2,-2<x<1,消去y得x2+(a+1)x-1=0.令φ(x)=x2+(a+1)x-1,寫出a應(yīng)滿足條件解得;(3)由方程組y=ax+b,y=x2+x-2,消去y得x2+(1-a)x-2-b=0.由題意知方程在[-2,1]內(nèi)至少有一個實根,設(shè)兩根為x【詳解】(1)當(dāng)f(x)=x2+x-2≥0,得x≥1或x≤-2當(dāng)f(x)=x2+x-2<0,得∴g(x)=(2)當(dāng)a=0時,直線y=1與曲線y=g(x)
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