三角形全等綜合問題（最新名校期末真題）（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（2022秋·山東威?！て吣昙壭？茧A段練習）如圖，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角與內角的關系求出結論．【詳解】，，．在和中，，，．．．故選：B．【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質的運用，三角形的外角與內角的關系的運用，解答時證明三角形的全等是關鍵．2．（2022秋·山東泰安·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在和中，，，，，，與相交于點P，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】易證，得到，進而得到，根據，，求出的度數，利用字型圖，得到，進而求出即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，設交于點，則：，∵，∴，∴；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理．解題的關鍵是證明三角形全等．3．（2022春·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學?？计谀┬∶髟趯W習了全等三角形的相關知識后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的A處，然后轉過身，保持和刷才完全一樣的姿勢，這時視線落在水平地面的B處（A，O，B三點在同一水平直線上），小明通過測量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據垂直的定義和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】解：∵，∴，在與中，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．4．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第六十九中學校考階段練習）如圖，已知，，是上兩點且，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證，得，再證，得，然后由三角形的外角性質即可得出結論．【詳解】解：在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及三角形的外角性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．5．（2022春·廣東佛山·七年級校考階段練習）如圖，∠EOF內有一定點P，過點P的一條直線分別交射線OE于A，射線OF于B．當滿足下列哪個條件時，△AOB的面積一定最?。ǎ〢．OA=OB B．OP為△AOB的角平分線C．OP為△AOB的高 D．OP為△AOB的中線【答案】D【詳解】解：當點P是AB的中點時S△AOB最?。蝗鐖D，過點P的另一條直線CD交OE、OF于點C、D，設PD＜PC，過點A作AG∥OF交CD于G，在△APG和△BPD中，，∴△APG≌△BPD（ASA），S四邊形AODG=S△AOB．∵S四邊形AODG＜S△COD，∴S△AOB＜S△COD，∴當點P是AB的中點時S△AOB最小.故選D.6．（2022秋·山東泰安·七年級東平縣實驗中學?？茧A段練習）如圖，，，，點D、E為BC邊上的兩點，且，連接EF、BF則下列結論：≌；≌；；，其中正確的有()個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS證明△AED≌△AEF，判定①正確；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC,利用SAS證明≌,判定②正確；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS證明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根據三角形兩邊之和大于第三邊可得BE+BF＞EF，等量代換后判定③正確；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，進而得出∠EBF=90°，判定④正確．【詳解】?解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED與△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正確；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD與△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正確；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正確．故答案為D．【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質，等腰直角直角三角形的性質，三角形三邊關系定理，相似三角形的判定，此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析，有一定難度．7．（2022春·江蘇宿遷·七年級校考階段練習）如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據三角形全等的判定和性質以及三角形內角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個三角形全等．8．（2022春·陜西·七年級陜西師大附中?？迹┤鐖D1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數是（

）A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）【答案】C【分析】根據條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對三角形全等；圖3中有6對三角形全等，根據數據可分析出第n個圖形中全等三角形的對數．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對三角形全等；同理：圖3中有6對三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個圖形中全等三角形的對數是．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關鍵是根據條件證出圖形中有幾對三角形全等，然后尋找規(guī)律．9．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考）“經過已知角一邊上的一點作“個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點C．求作：一個角等于∠AOB，使它的頂點為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點D（OD＜OC），以點O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點E；（2）以點C為圓心，OD長為半徑畫弧，交CA于點F，以點F為圓心，DE長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據中不含有（）A．三邊分別相等的兩個三角形全等 B．全等三角形的對應角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點確定一條直線【答案】C【分析】根據題意知，作圖依據有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性質和兩點確定一條直線，直接判斷即可．【詳解】解：由題意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正確；結合該全等三角形的性質對應角相等，故B正確；作射線CG，利用兩點確定一條直線，故D正確；故選：C．【點睛】本題考查作一個角等于已知角和三角形全等的判定與性質，解題關鍵是明確作圖原理，準確進行判斷．10．（2022秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交下點F，連接并延長CF交AB于點G，∠AEB的平分線交CG的延長線于點H，連接AH．則下列結論：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正確的有（

）個．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】①利用三角形內角和定理即可說明其正確；②利用垂直平分線的性質即可說明其正確；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的結論結合等量代換和等式的性質即可得出結論；⑤利用③中的結論結合等量代換和等式的性質即可得出結論．【詳解】如圖所示，設EH與AD交于點M，∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，故①正確；∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，∴∠BFD＝45°，∴∠AFE＝∠BFD＝45°，∵BE⊥AC，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形，∵EM是∠AEF的平分線，∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH為AF的垂直平分線，∴AH＝HF，∴②正確；∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD，同理，BD＝DF，在△ABD和△CFD中，，∴△ABD≌△CFD（SAS）,∴③正確；∵△ABD≌△CFD，∴CF＝AB，∵CH＝CF+HF，由②知：HF＝AH，∴CH＝AB+AH，∴④正確；∵BD＝DF，CD＝AD，又∵DF＝AD﹣AF，∴BD＝CD﹣AF，∴⑤正確，綜上，正確結論的個數為5個．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，垂直平分線的判定與性質等相關知識，綜合性較強，難度較大，做題時要分清角的關系與邊的關系．二、填空題11．（2022春·河南周口·七年級?？计谀┤鐖D，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的有_______(填寫答案序號)．【答案】①③④【分析】利用AAS可證明△ABE≌△ACF，可得AC=AB，∠BAE=∠CAF，利用角的和差關系可得∠EAM=∠FAN，可得③正確，利用ASA可證明△AEM≌△AFN，可得EM=FN，AM=AN，可得①③正確；根據線段的和差關系可得CM=BN，利用AAS可證明△CDM≌△BDN，可得CD=DB，可得②錯誤；利用ASA可證明△ACN≌△ABM，可得④正確；綜上即可得答案．【詳解】在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF，∴AB=AC，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠FAN=∠EAM，故③正確，在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，AM=AN，故①正確，∴AC-AM=AB-AN，即CM=BN，在△CDM和△BDN中，，∴CD=DB，故②錯誤，在△CAN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM，故④正確，綜上所述：正確的結論有①③④，故答案為：①③④【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：SSA、AAA不能判定三角形確定，當利用SAS證明時，角必須是兩邊的夾角；熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．12．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）如圖，在中，點D，點E分別是AC和AB上的點，且滿足，，過點A的直線l平行BC，射線BD交CE于點O，交直線l于點若的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________．【答案】【分析】連接AO，根據三角形邊之間的關系得到面積之間的關系進行推理解答．【詳解】如圖，連接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴，，，∵，∴，，∵AF∥BC，∴，∴，∴，，∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴，，∴，，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，∴S四邊形AEOD．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的邊與面積之間的關系，平行線之間距離處處相等，能正確把邊之間的關系轉化為面積之間的關系是解題的關鍵．13．（2022春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點E是AC的中點，BE、AD交于點F，則四邊形DCEF的面積的最大值是______．【答案】7【分析】連接，設，利用及中點，分別表示四邊形的面積與的面積，利用的面積最大，四邊形的面積最大，從而可得答案．【詳解】解：連接，，設，則，為的中點，，，，,，，,四邊形的面積，的面積最大，四邊形的面積最大，當時，的面積最大，四邊形的面積最大，此時四邊形的面積，故答案為：7．【點睛】本題考查的三角形的中線與三角形的面積之間的關系，考查了底不等而高相同的兩個三角形的面積關系，掌握以上知識點是解題的關鍵．14．（2022春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，于點H，HA的延長線交DE于點G，現(xiàn)給出下列結論：①；②連接DC，BE，則；③；④．其中正確的是___________．（寫出所有正確結論的序號）【答案】②③④【分析】在BC上截取BF＝AG，易證△ABF≌△DAG，可得DG＝AF和∠DGA＝∠BFA，即可求證△ACF≌△EAG，可得GE＝AF，再作倍長中線，證明△ABC≌△DAN可得結論；連接DC，BE，證△ABE≌△ADC（SAS）即可．【詳解】證明：在BC上截取BF＝AG，∵∠BAD＝∠CAE＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∴∠BAH＋∠ABC＝∠BAH＋∠DAG＝∠CAH＋∠BCA＝∠CAH＋∠EAG＝90°，∴∠CBA＝∠DAG，∠BCA＝∠EAG，在△ABF和△DAG中，，∴△ABF≌△DAG（SAS），∴DG＝AF，∠DGA＝∠BFA，，∵在中，，∴，故①錯誤；∵∠DGA＝∠BFA，∴∠EGA＝∠CFA，在△ACF和△EAG中，，∴△ACF≌△EAG（AAS），∴GE＝AF＝GD，．∴，故③正確；延長AG使AG＝GN，如圖所示：∵GD＝GE，AG＝GN，∴四邊形ADNE是平行四邊形，∴DN＝AE＝AC，∠NDA＋∠DAE＝180°，△ADN的面積＝平行四邊形ADNE的面積＝△ADE的面積，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠NDA＝∠BAC，在△ABC和△DAN中，，∴△ABC≌△DAN（SAS），∴BC＝AN＝2AG，∴．∴，故④正確；連接DC，BE，∵，∴，即，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）∴，故②正確，故答案為：②③④【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中正確作出輔助線，求證△ABF≌△DAG和△ACF≌△EAG，△ABC≌△DAN以及△ABE≌△ADC（SAS）是解題的關鍵．15．（2022春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點C在直線l上．點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點A運動．點P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過P和Q作于點E，于點F，則點P的運動時間等于_____秒時，與全等．【答案】2或或12【分析】根據全等三角形的性質可得CP=CO，然后分不同情況求解關于t的方程即可．【詳解】解：∵△PEC≌△CFQ∴PC=CQ分以下五種情況：①如圖1，P在AC上，Q在BC上，∵PE⊥l，QF⊥1，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠OCF，要使△PEC≌△CFQ，則需PC=CQ，∵PC=6-t,CQ=8-2t，∴6-t=8-2t，解得：t=2；②如圖2，P在BC上，Q在AC上，∵PC=t-6,CQ=2t-8，∴t-6=2t-8，解得：t=2；③如圖3:當P、Q都在AC上時，∵CP=6-t,CQ=2t-8，∴6-t=2t-8，解得：t=；④當Q到A點停止，P在BC上時，PC=AC=6，QC=t-6∴6=t-6，解得：t=12；⑤P和Q都在BC上的情況不存在∵P的速度是每秒1個單位每秒，Q的速度是2個單位每秒，∴P和Q都在BC上的情況不存在．故答案為:2或或12．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，靈活運用全等三角形的判定定理以及分類討論思想成為解答本題的關鍵．三、解答題16．（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考階段練習）綜合與探究：如圖1所示的是由兩塊三角板組成的圖形，其中在中，，，在中，，，點B，E，D在同一條直線上，AC與BD交于點F，連接CD并延長，交BA的延長線于點G．(1)當時，試用含的代數式表示∠BAE的度數．(2)當時，試探究BC與BG的數量關系，并說明理由．(3)過點C作，交BD的延長線于點H，如圖2所示，在滿足（2）的情況下，求∠DCH的度數，并直接寫出與∠DCH相等的角（除∠G外，寫兩個即可）．【答案】(1)45°-α(2)BC=BG，理由見解析(3)∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE【分析】（1）證明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性質可得出∠ACD=∠ABE，由三角形外角的性質可得出結論；（2）證明△CBD≌△GBD（ASA），由全等三角形的性質可得出BC=BG；（3）由平行線的性質及直角三角形的性質可得出結論．【詳解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠BAE=∠DAC，∵AD=AE，AC=AB，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ACD=∠ABE，∵∠AED=45°，∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α；（2）BC=BG，理由如下：∵∠ACD=∠CBD，∠ACD=∠ABE，∴∠CBD=∠ABE，∵∠DFC=∠AFB，∠ACD=∠FBA，∴∠FAB=∠CDF=90°，∴∠CDB=∠GDB=90°，∵DB=DB，∴△CBD≌△GBD（ASA），∴BC=BG；（3）∵BC=BG，∠CBD=∠GBD，∴CD=GD，∵∠GAC=90°，∴CD=AD=GD，∴∠G=∠DAG，∠ACD=∠DAC，∵CH∥BG，∴∠DCH=∠G=∠DAG，∵∠DCH+∠DCF=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∴∠DCH=∠DFC，又∵∠DFC=∠AFE，∴∠DCH=∠AFE，∵∠ACD=∠DAC，∴∠FAE=∠DFC，∴∠DCH=∠FAE．故與∠DCH相等的角有∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．17．（2022春·遼寧阜新·七年級阜新實驗中學校考期末）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數量關系．(1)小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；（直接寫結論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數量關系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．證明見解析；(3)結論EF=BE+FD不成立，結論是：EF=BE-FD．證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質解決問題即可；（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質得出結論．【詳解】（1）解：EF=BE+FD．延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結論EF=BE+FD不成立，結論：EF=BE-FD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構造全等三角形解決問題．18．（2022春·四川達州·七年級統(tǒng)考期末）和是兩個等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，．(1)如圖1，判斷CD與BE的數量關系和位置關系，并說明理由；(2)如圖1，若AB=4，AC=3．則四邊形DBCE面積的最大值是______；(3)如圖2，過點A作于點P，延長PA交DE于點Q．試說明點Q為DE的中點．【答案】(1)CD與BE的關系是相等且垂直，理由見解析(2)24.5(3)證明見解析【分析】（1）設CD與BE的交點為點F，設AD與BE的交點為點O，由可證明，從而可利用“SAS”證明，得出BE=CD，．再根據，即可得出，即證明CD與BE的關系是相等且垂直；（2）由（1）可知可知BE=CD，．由，可推出，即可知當CD最大時，四邊形DBCE面積最大．因為，即當時，四邊形DBCE面積最大，最后代入求值即可；（3）作于點M，于點N．分別證明(AAS)，(AAS)，即得出DM=EN．從而可證明(AAS)，即得出，即點Q為DE中點．【詳解】（1）解：CD與BE的關系是相等且垂直．理由：設CD與BE的交點為點F，設AD與BE的交點為點O，如圖，∵，∴，即，即在和中，，∴(SAS)，∴BE=CD，．又∵，∴，∴．∴CD與BE的關系是相等且垂直；（2）解：由（1）可知BE=CD，．∴，∴當CD最大時，四邊形DBCE面積最大．由三邊關系可知，，即當時，四邊形DBCE面積最大，∴四邊形DBCE面積最大值，故答案為：24.5；（3）證明：作于點M，于點N，如圖．∵