專題39圓錐曲線中的定點、定值問題【方法技巧與總結(jié)】1、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．3、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和沒有關(guān)系的點．【題型歸納目錄】題型一：面積定值題型二：向量數(shù)量積定值題型三：斜率和定值題型四：斜率積定值題型五：斜率比定值題型六：線段定值題型七：直線過定點題型八：動點在定直線上題型九：圓過定點題型十：角度定值【典例例題】題型一：面積定值例1．已知雙曲線的焦距為，且過點，，直線與曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線與，兩點，為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值．例2．已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與軸正半軸相交于一點，與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，證明：的面積為定值，并求出該定值．例3．已知橢圓的離心率為，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動點，，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積．變式1．已知橢圓，離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為、且橢圓上的點到、兩點的距離之和為4．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于、兩點，為坐標(biāo)原點直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．變式3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點是橢圓上一點，△的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．變式4．已知橢圓的離心率為，且過點，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，為橢圓上的點，且滿足，求證：四邊形的面積為定值．變式5．已知橢圓的焦距為，，為其左右焦點，為橢圓上一點，且，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在橢圓上，為坐標(biāo)原點，求證：平行四邊形的面積為定值．變式6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，，橢圓的離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），是橢圓上與點不重合的任意兩點，若的重心是坐標(biāo)原點，試證明：的面積為定值，并求出該定值．題型二：向量數(shù)量積定值例4．己知橢圓的左、右焦點分別為，左頂點為，離心率為．(1)求的方程；(2)若直線與交于點，線段的中點分別為．設(shè)過點且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：為定值．例5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點的動直線交橢圓于另一點，設(shè)，過橢圓中心作直線的垂線交于點，求證：為定值．例6．已知，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，△是面積為4的直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．題型三：斜率和定值例7．已知橢圓的兩個焦點，點在此橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，設(shè)點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值．例8．已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點，，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值．例9．已知橢圓的左?右焦點為，，且左焦點坐標(biāo)為，為橢圓上的一個動點，的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.題型四：斜率積定值例10．已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.例11．已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.例12．已知橢圓的焦距為2，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)點P為橢圓C上異于頂點的任意一點，點M、N分別與點P關(guān)于原點、y軸對稱．連接MN與x軸交于點E，并延長PE交橢圓C于點Q．試問：是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．變式7．已知橢圓的左?右焦點分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點，過點P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.變式8．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，為坐標(biāo)原點，，的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上兩點，且，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值．題型五：斜率比定值例13．已知橢圓的一個焦點為，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點.(1)若線段中點的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；(2)設(shè)直線與直線交于點，點滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.例14．設(shè)為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于，兩點．（1）若點為橢圓的上頂點，求直線的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．例15．已知動點到點，的距離比它到直線的距離小2．（Ⅰ）求動點的軌跡方程；（Ⅱ）記點的軌跡為，過點斜率為的直線交于，兩點，，延長，與交于，兩點，設(shè)的斜率為，證明：為定值．題型六：線段定值例16．如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為，右準(zhǔn)線l的方程為：．(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個不同點，使，證明：為定值，并求此定值．例17．已知橢圓的右頂點坐標(biāo)為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點M和N．(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過點A，求直線l的方程；(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點F1、F2到直線l的距離之積為定值．例18．已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點，且圓E在內(nèi)的弧長為．(1)求的值；(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．變式9．已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的兩條切線交于點M（4，t），其中，切點分別是A、B，試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓上的點處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點；(3)試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請說明理由．變式10．已知橢圓過點．，分別為左右焦點，為第一象限內(nèi)橢圓上的動點，直線，與直線分別交于，兩點，記和的面積分別為，．(1)試確定實數(shù)的值，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值，并求出的值；(2)在（1）的條件下，若，求的值．變式11．已知橢圓過點且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、，左焦點為，過的直線與交于、兩點和均不在坐標(biāo)軸上），直線、分別與軸交于點、，直線、分別與軸交于點、，求證：為定值，并求出該定值．變式12．已知橢圓的離心率為，點在上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點作直線交橢圓于另外一點，交軸于點，為橢圓上一點，且，求證：為定值．變式13．已知橢圓，其上頂點與左、右焦點、圍成的是面積為的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點的直線的斜率存在）交橢圓于，兩點，弦的垂直平分線交軸于點，問：是否是定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．題型七：直線過定點例19．已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.例20．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．例21．已知，是橢圓上的兩點．(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的上頂點A和右焦點F的直線與橢圓E交于另一個點B，P為直線上的動點，直線，分別與橢圓E交于C（異于點A），D（異于點B）兩點，證明：直線經(jīng)過點F．變式14．已知橢圓過點．右焦點為，縱坐標(biāo)為的點在上，且．(1)求的方程：(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點為上一動點，過作直線的垂線交于點，證明：直線過定點．變式15．已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關(guān)于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．題型八：動點在定直線上例22．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當(dāng)點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.例23．已知直線l經(jīng)過橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點（1，0），交橢圓C于點A，B，點F為橢圓C的左焦點，△ABF的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點M，N，，求證：直線m與直線l的交點P在定直線上．例24．已知橢圓C:的上下頂點分別為，過點P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點，直線與交于點.(1)設(shè)的斜率分別為，求的值;(2)求證：點在定直線上.變式16．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，求證：當(dāng)點變化時，點恒在一條定直線上.變式17．已知橢圓：（）過點，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程．變式18．如圖，已知橢圓，的左、右焦點為、，其上頂點為．已知△是邊長為2的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過點任作一動直線交橢圓于，兩點，記，若在線段上取一點使得，試判斷當(dāng)直線運動時，點是否在某一定直線上運動？若在請求出該定直線，若不在請說明理由．變式19．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點滿足．（1）求橢圓以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，過橢圓的左焦點作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，并求出定直線的方程．變式20．如圖所示，橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、，右焦點為，，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點作不與軸重合的直線與橢圓交于點、，直線與直線交于點，試探討點的縱坐標(biāo)是否為定值，若是求出此定值；若不是，請說明理由．變式21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)為橢圓的上頂點，過點作兩條直線，，分別與橢圓相交于，兩點，且直線垂直于軸．①設(shè)直線，的斜率分別是，，求的值；②過作直線，過作直線，與相交于點．試問：點是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．變式22．已知橢圓的長軸長為，，是的左、右焦點，為直線上一點，△是底角為的等腰三角形，直線與軸交于點，過點作直線交于點，．（1）求的方程；（2）設(shè)，是直線上關(guān)于軸對稱的兩點，問：直線與的交點是否在一條定直線上？若在，求出這條定直線的方程；若不在，請說明理由．變式23．已知橢圓的左、右頂點分別為和，離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點作一條斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，連接、，直線與交于點，探求點是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由．題型九：圓過定點例25．已知橢圓的上頂點為，右焦點為，△為等腰直角三角形為坐標(biāo)原點），拋物線的焦點恰好是該橢圓的右頂點．（1）求橢圓的方程；（2）若點，分別是橢圓的下頂點和上頂點，點是橢圓上異與，的點，求證：直線和直線的斜率之積為定值．（3）已知圓的切線與橢圓相交于，兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．例26．已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知圓的切線與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點，如果是，求出定點的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由．例27．已知定點，曲線上任意一點，到定點的距離比它到軸的距離大2．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）過點任作一直線與曲線交于，兩點，直線，與直線別交于點，為坐標(biāo)原點）．試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過點？請說明理由．變式24．已知橢圓和拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從它們每條曲線上至少取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：540（Ⅰ）求和的方程；（Ⅱ）過點且斜率為的動直線交橢圓于、兩點，在軸上是否存在定點，使以線段為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．變式25．拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點為拋物線上一點，，垂足為，若直線的斜率為，且．（1）求拋物線的方程；（2）若過的直線與曲線交于，兩點，直線，與直線分別交于，兩點，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．變式26．已知橢圓離心率，短軸長為2．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線過橢圓的右焦點，并與橢圓相交于，兩點，截得的弦長為，求直線的方程；（Ⅲ）如圖，橢圓左頂點為，過原點的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點．試問：以為直徑的圓是否經(jīng)過定點（與直線的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．題型十：角度定值例28．已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.(1)求圓O和橢圓C的方程；(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.例29．已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，，動點在上且位于第一象限，.當(dāng)時，直線的斜率為.(1)求的方程；(2)設(shè)，，證明：.例30．已知點是橢圓的左焦點，過且垂直軸的直線交于，，且.(1)求橢圓的方程(2)四邊形(A，D在軸上方的四個頂點都在橢圓上，對角線，恰好交于點，若直線，分別與直線交于，，且為坐標(biāo)原點，求證：．專題39圓錐曲線中的定點、定值問題【方法技巧與總結(jié)】1、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．3、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和沒有關(guān)系的點．【題型歸納目錄】題型一：面積定值題型二：向量數(shù)量積定值題型三：斜率和定值題型四：斜率積定值題型五：斜率比定值題型六：線段定值題型七：直線過定點題型八：動點在定直線上題型九：圓過定點題型十：角度定值【典例例題】題型一：面積定值例1．已知雙曲線的焦距為，且過點，，直線與曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線與，兩點，為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值．【解析】解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可得：，解得：，，所以雙曲線的方程為：；（2）證明：設(shè)直線的方程：，直線與曲線的右支相切（切點不為右頂點）則，整理可得：，△，可得，①設(shè)直線與軸交于一點，則，，雙曲線的漸近線的方程為，聯(lián)立，可得，，同理可得，，則，由①及直線與曲線右支相切，與異號，則．例2．已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與軸正半軸相交于一點，與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，證明：的面積為定值，并求出該定值．【解析】（1）解：由雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，得，解得，則雙曲線的方程為．（2）證明：由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點）則直線的斜率在不為0．設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去，得，．由直線與雙曲線右支相切得，△，即．由于直線與軸正半軸交于一點，令，代入直線方程得，即．所以，雙曲線兩條漸近線方程為，聯(lián)立，所以，聯(lián)立，所以，，故的面積為定值．例3．已知橢圓的離心率為，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動點，，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積．【解析】解：（1）因為離心率為，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1，所以，解得，，所以橢圓的方程為．（2）因為橢圓的方程為，所以，，設(shè)，，，則，即，則直線的方程為，令，得，同理，直線的方程為，令，得，所以，所以四邊形的面積為定值2．變式1．已知橢圓，離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形，，，，故橢圓方程為．（2）由直線與橢圓交于，兩點，聯(lián)立，得，設(shè)，，，，則△，，，所以，，，原點到的距離，為定值．變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為、且橢圓上的點到、兩點的距離之和為4．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于、兩點，為坐標(biāo)原點直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）由已知，，又點在橢圓上，，，故橢圓方程為（Ⅱ）設(shè)，，，，由得：△且，直線，的斜率之積等于，，即：又到直線的距離為，，所以（定值）．變式3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點是橢圓上一點，△的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．【解析】解：（1）由題意可知且，解得，，，所以橢圓方程為；（2）證明：設(shè)，，，，，，直線設(shè)為，聯(lián)立方程，得，，，，四邊形為平行四邊形，，得，將點坐標(biāo)代入橢圓方程得，點到直線的距離為，，所以平行四邊形的面積為：．變式4．已知橢圓的離心率為，且過點，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，為橢圓上的點，且滿足，求證：四邊形的面積為定值．【解析】解：（1）因為橢圓的離心率為,且過點,,所以,解得,,所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè),,,,聯(lián)立,得,所以,,,因為,所以,,即,,因為點在橢圓上，所以,化簡得,所以,所以原點到直線的距離,所以．變式5．已知橢圓的焦距為，，為其左右焦點，為橢圓上一點，且，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在橢圓上，為坐標(biāo)原點，求證：平行四邊形的面積為定值．【解析】解：（1）由題意可知，，即，設(shè)，，在△中，，（2分）解得：，（4分）橢圓方程為．（5分）（2）證明：由直線與橢圓相交于、兩點，設(shè)，，，，聯(lián)立，消可得，（6分）△，則，則，（8分），而，（9分）點在橢圓上，代入橢圓方程：，整理可得：，滿足△，（10分）又（11分）設(shè)到直線的距離為，則，（12分），平行四邊形的面積為定值．（13分）變式6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，，橢圓的離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），是橢圓上與點不重合的任意兩點，若的重心是坐標(biāo)原點，試證明：的面積為定值，并求出該定值．【解析】解：（1），，，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）最多只有1條邊所在直線與軸垂直，不妨設(shè)所在直線與軸不垂直，其方程為的重心是，不在直線上，由得，設(shè)，、，，則△，且，，從而，設(shè)，，的重心是坐標(biāo)原點，，，，點，在橢圓上，即，且符合△，點，到直線的距離為：，的面積，由即，得為常數(shù)．題型二：向量數(shù)量積定值例4．己知橢圓的左、右焦點分別為，左頂點為，離心率為．(1)求的方程；(2)若直線與交于點，線段的中點分別為．設(shè)過點且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：為定值．【解析】（1）橢圓左頂點為，，又離心率，，，的方程為：.（2）設(shè)，，則，，由得：，則，，；直線方程為：，，；同理可得：，又，，，，為定值.例5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點的動直線交橢圓于另一點，設(shè)，過橢圓中心作直線的垂線交于點，求證：為定值．【解析】解：（Ⅰ）橢圓：橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．，，．，．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，．代入，整理可得．解得，于是，直線的斜率為．，直線的方程為．由，解得（定值）．例6．已知，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，△是面積為4的直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．【解析】解：（1）由為橢圓的上頂點，△是面積為4的直角三角形．可得：，且，解得：，所以，所以橢圓的方程為：；（2）當(dāng)切線的斜率不存在時，其方程，將代入橢圓的方程：得，設(shè)，，，，又，，所以，同理可得，也有，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)方程為：，設(shè)，，，，直線與圓相切，所以，即，聯(lián)立，整理可得：，，，又，因為，所以，所以是直角三角形，所以．綜上所述：．題型三：斜率和定值例7．已知橢圓的兩個焦點，點在此橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，設(shè)點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值．【解析】解：（Ⅰ）依題意知：，橢圓方程為；（Ⅱ）直線過點，設(shè)直線的方程為，再設(shè)，，，，由，消得：，，，，為定值．例8．已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點，，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值．【解析】解：（Ⅰ）由題意可知橢圓的，橢圓過點，則，則，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立，消去，整理得，△，整理得：．則，，，，直線，的斜率分別為，，，，為定值2．例9．已知橢圓的左?右焦點為，，且左焦點坐標(biāo)為，為橢圓上的一個動點，的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.【解析】（1）因為左焦點坐標(biāo)為，所以，當(dāng)點在上?下頂點時，最大，又的最大值為.所以，由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，直線與橢圓沒有交點，與條件矛盾，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得，，化簡可得，所以，由已知方程的判別式，又直線過點，所以，所以，所以，設(shè)，則，，因為所以，所以方法二：設(shè)直線的方程為，由橢圓的方程，得.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，得，即，，所以.因為直線過定點，所以，代入，得.題型四：斜率積定值例10．已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）由橢圓：的離心率為，短軸長為2，可知，則，故的方程為；（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得，，則，所以，又，所以，解得，從而，故，即為定值.例11．已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【解析】（1）因為，故可設(shè)，因為，故，即，解得.又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.（2）因為橢圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時或重合，不滿足題意，故可設(shè)：.聯(lián)立可得，設(shè)，則.故故定值為例12．已知橢圓的焦距為2，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)點P為橢圓C上異于頂點的任意一點，點M、N分別與點P關(guān)于原點、y軸對稱．連接MN與x軸交于點E，并延長PE交橢圓C于點Q．試問：是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）由已知，，所以，解得，橢圓方程為；（2）設(shè)，，則，，所以，,直線方程為，代入橢圓方程得，顯然是此方程的一個解，另一解為，而，即為點的橫縱坐標(biāo)，,所以．所以為定值．變式7．已知橢圓的左?右焦點分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點，過點P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)正方形的一個頂點為，由，得，所以，整理得.①又，②由①②解得，，故所求橢圓方程為.（2）由已知及（1）可得，設(shè)點，則.設(shè)過點P與相切的直線l的方程為，與聯(lián)立消去y整理可得，令，整理可得，③根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實根，所以，即為定值.變式8．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，為坐標(biāo)原點，，的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上兩點，且，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值．【解析】解：（1）由題意可得，，所以，且，解得，，所以橢圓的方程為；（2）證明：由（1）可得，，所以，設(shè)，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得，則△，即，且，，所以，所以，所以為定值．題型五：斜率比定值例13．已知橢圓的一個焦點為，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點.(1)若線段中點的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；(2)設(shè)直線與直線交于點，點滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.【解析】（1）若直線的斜率不存在時，線段中點的橫坐標(biāo)為，與已知矛盾；設(shè)，，則，，，所以，記線段中點為，設(shè)的縱坐標(biāo)為，由已知可得點的坐標(biāo)為，所以，，所以，因為直線過點，，所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，因為直線：與的交點坐標(biāo)為，點在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，滿足條件，當(dāng)時，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，因為直線：與的交點坐標(biāo)為，點在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，滿足條件，所以直線的方程為或；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，所以，方程的判別式，所以或，設(shè)，，則，，聯(lián)立，化簡可得，所以點的坐標(biāo)為，因為軸，軸，所以點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，直線的斜率，所以，又，所以，例14．設(shè)為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于，兩點．（1）若點為橢圓的上頂點，求直線的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．【解析】解：（1）若為橢圓的上頂點，則，又過點，故直線，代入橢圓，可得，解得，，即點，，從而直線；（2）證明：設(shè)，，，，直線，代入橢圓方程可得：，△，所以，，故，又，均不為0，故，即為定值．例15．已知動點到點，的距離比它到直線的距離小2．（Ⅰ）求動點的軌跡方程；（Ⅱ）記點的軌跡為，過點斜率為的直線交于，兩點，，延長，與交于，兩點，設(shè)的斜率為，證明：為定值．【解析】（Ⅰ）解：動點到點，的距離比它到直線的距離小2，動點到點，的距離與它到直線的距離相等，動點的軌跡是以點，為焦點的拋物線，動點的軌跡方程為；（Ⅱ）證明：設(shè)，，，，，，，，則直線的方程為，代入拋物線方程中，得，，直線，過點，同理可得，，，，．題型六：線段定值例16．如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為，右準(zhǔn)線l的方程為：．(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個不同點，使，證明：為定值，并求此定值．【解析】（1）設(shè)橢圓方程為．因焦點為，故半焦距，又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此，，故所求橢圓方程為；（2）記橢圓的右頂點為A，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，．又設(shè)點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

．解得．因此，而，故為定值．綜上，橢圓方程為；.例17．已知橢圓的右頂點坐標(biāo)為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點M和N．(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過點A，求直線l的方程；(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點F1、F2到直線l的距離之積為定值．【解析】（1）因為|F1F2|＝2c＝2，則c＝1，因為a＝2，，所以橢圓Γ的方程；（2）因為直線l的斜率為1，故設(shè)直線l的方程為y＝x+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，則，，因為以MN為直徑的圓經(jīng)過右頂點A，則，所以，即整理得∴整理得，解得或，因為，顯然當(dāng)或時，成立所以直線l的方程為或；（3）證明：橢圓Γ的左、右焦點分別為，①當(dāng)直線l平行于y軸時，因為直線l與橢圓Γ相切，所以直線l的方程為x＝±2，此時點F1、F2到直線l的距離分別為d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，②當(dāng)直線l不平行與y軸時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+b，聯(lián)立，消去y整理得，所以，因為直線l與橢圓Γ相切，則Δ＝0，所以，因為到直線l的距離為，到直線l的距離為，所以，所以點F1、F2到直線l的距離之積為定值，且定值為3．例18．已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點，且圓E在內(nèi)的弧長為．(1)求的值；(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，圓E在內(nèi)的弧長為，可得，即有，設(shè)在第一象限，可得，，即為，將代入橢圓方程可得，聯(lián)立解得，（2）由（1）可得橢圓的方程為，，上焦點為，①當(dāng)直線（或）與軸平行時，可得，將代入橢圓得，則，則；②當(dāng)直線（或）與軸不平行時，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，消去y并化簡得，設(shè)點，，∴，，即有，將k換為，可得，則，綜上所述，為定值．變式9．已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的兩條切線交于點M（4，t），其中，切點分別是A、B，試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓上的點處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點；(3)試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請說明理由．【解析】（1）∵橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．∴，①，②，由①②得：，，∴橢圓C的方程為．（2）證明：設(shè)切點坐標(biāo)，，則切線方程分別為，．又兩條切線交于點M（4，t），即，，即點A、B的坐標(biāo)都適合方程，令，可得故對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，故直線AB恒過橢圓的右焦點．（3）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得，即，∴，，不妨設(shè)，，，同理，∴，∴的值恒為常數(shù)．變式10．已知橢圓過點．，分別為左右焦點，為第一象限內(nèi)橢圓上的動點，直線，與直線分別交于，兩點，記和的面積分別為，．(1)試確定實數(shù)的值，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值，并求出的值；(2)在（1）的條件下，若，求的值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，所以，，則，，所以橢圓的方程為，設(shè)，（，），則，又，即，所以，因為為定值，所以，解得，所以；（2）由（1）得，直線：，又，，，則直線：，令，則，所以，同理直線：，令，則，所以，所以，所以，化簡可得或，解得或（舍），所以，，則，，，，所以.變式11．已知橢圓過點且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、，左焦點為，過的直線與交于、兩點和均不在坐標(biāo)軸上），直線、分別與軸交于點、，直線、分別與軸交于點、，求證：為定值，并求出該定值．【解析】解：（1）由題意知：，，，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）證明：由（1）得：，，，由題意顯然的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立與橢圓的方程整理得：，，，直線的方程為：令，，所以，同理可得點，所以；直線，令，，即，同理可得所以同理可得，為定值．所以為定值．變式12．已知橢圓的離心率為，點在上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點作直線交橢圓于另外一點，交軸于點，為橢圓上一點，且，求證：為定值．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，橢圓的離心率為，則，則有，即，又由點在橢圓上，則有，解可得：，所以橢圓程為．（Ⅱ）設(shè)直線，，，可得韋達(dá)定理：，則，令直線為且令，，得，可得韋達(dá)定理：，所以，則，所以定值為2．變式13．已知橢圓，其上頂點與左、右焦點、圍成的是面積為的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點的直線的斜率存在）交橢圓于，兩點，弦的垂直平分線交軸于點，問：是否是定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．【解析】解：（1）因為△為正三角所以，解得，由對稱性可得，，所以，即，所以，所以，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)其方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，且，所以弦的中點的坐標(biāo)為，，則弦的垂直平分線方程為，令，得，所以，所以，所以，當(dāng)直線的斜率為0時，，，所以，綜上所述，是定值且為4．題型七：直線過定點例19．已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.【解析】（1）因的周長為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，依題意，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，，因此，解得，所以直線的方程為或.（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線與交點為，則，，而，，則，，兩式相加得：，而，則，因此，兩式相減得：，而，則，即，所以直線與交于定點.例20．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．例21．已知，是橢圓上的兩點．(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的上頂點A和右焦點F的直線與橢圓E交于另一個點B，P為直線上的動點，直線，分別與橢圓E交于C（異于點A），D（異于點B）兩點，證明：直線經(jīng)過點F．【解析】（1）由題意可得,解得，故橢圓E的方程為．（2）證明：由（1）可知，，則直線的方程為聯(lián)立方程組,整理得，解得或，則，設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，聯(lián)立方程組，整理得，則，從而．因為，，即,所以直線經(jīng)過點F．變式14．已知橢圓過點．右焦點為，縱坐標(biāo)為的點在上，且．(1)求的方程：(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點為上一動點，過作直線的垂線交于點，證明：直線過定點．【解析】（1）設(shè)點，其中，則，因為橢圓過點，則，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由對稱性可知，若直線過定點，則點必在軸上，設(shè)點，設(shè)點，則，所以，直線的垂線的斜率為，故直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，所以，直線的方程為，因為點在直線上，所以，，即，①又因為，所以，，②將②代入①可得，即，，則，所以，直線過定點.變式15．已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關(guān)于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【解析】（1）由右頂點是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因為點，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過點（1，0）．（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因為點，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時直線AD恒過點（1,0），當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝0，也過點（1，0）．綜上，直線AD恒過點（1，0）．題型八：動點在定直線上例22．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當(dāng)點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.【解析】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，所以，故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），且，所以，所以的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立方程得：，則，，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯(lián)立方程，解得，把代入上式得：，所以當(dāng)點運動時，點恒在定直線上例23．已知直線l經(jīng)過橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點（1，0），交橢圓C于點A，B，點F為橢圓C的左焦點，△ABF的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點M，N，，求證：直線m與直線l的交點P在定直線上．【解析】（1）由已知，得，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，∴直線的斜率存在,又因為兩直線傾斜角互補(bǔ)，所以直線斜率不為0.設(shè)，，，，，．將直線的方程代入橢圓方程聯(lián)立得，，，，．同理，．由得化簡得，即，，，此時，，∴直線，聯(lián)立直線方程解得，即點在定直線上．例24．已知橢圓C:的上下頂點分別為，過點P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點，直線與交于點.(1)設(shè)的斜率分別為，求的值;(2)求證：點在定直線上.【解析】（1）設(shè)，，，，所以.（2）設(shè)，得到，，，直線，直線，聯(lián)立得:，法一：，解得.法二：由韋達(dá)定理得，.解得，所以點在定直線上.變式16．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，求證：當(dāng)點變化時，點恒在一條定直線上.【解析】(1)因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，所以,故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），且，所以，所以的軌跡的方程為；(2)設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立方程得：，則，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯(lián)立方程得：，把代入上式得：，所以當(dāng)點運動時，點恒在定直線上變式17．已知橢圓：（）過點，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程．【解析】(1)由橢圓過點，且離心率為，所以，解得故所求的橢圓方程為．(2)由題意得，，直線的方程，設(shè)，聯(lián)立，整理得，∴，．由求根公式可知，不妨設(shè)，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得代入，得，解得，即直線與的交點在定直線上．變式18．如圖，已知橢圓，的左、右焦點為、，其上頂點為．已知△是邊長為2的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過點任作一動直線交橢圓于，兩點，記，若在線段上取一點使得，試判斷當(dāng)直線運動時，點是否在某一定直線上運動？若在請求出該定直線，若不在請說明理由．【解析】（本小題滿分10分）解：（1）橢圓，的左、右焦點為、，其上頂點為，△是邊長為2的正三角形，，，（1分）故橢圓的方程為．（3分）（2）由題意知直線的斜率必存在，設(shè)其直線方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，消去，得，△，，，由，得，解得，設(shè)點的坐標(biāo)為，，則由，得，解得，又，，從而，故點在定直線上．變式19．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點滿足．（1）求橢圓以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，過橢圓的左焦點作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，并求出定直線的方程．【解析】解：（1）由拋物線的方程可得焦點，，準(zhǔn)線的方程為，由題意可得，所以可得①，所以橢圓的方程為：，聯(lián)立方程組，整理可得：，解得第一象限的交點的橫坐標(biāo)為：，又因為，由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得：，解得：，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）證明：由（1）可得左焦點，聯(lián)立，整理可得：，①由直線與橢圓相切可得，且△，可得：，即，代入①可得，即，解得：，，即，，所以，由題意可得，所以直線的方程為：，聯(lián)立直線，的方程：，兩式相除可解得：，即在直線上，變式20．如圖所示，橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、，右焦點為，，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點作不與軸重合的直線與橢圓交于點、，直線與直線交于點，試探討點的縱坐標(biāo)是否為定值，若是求出此定值；若不是，請說明理由．【解析】解：（1）由題意，，離心率為．可得，，解得，，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，、，，聯(lián)立，消去并整理得，△，由韋達(dá)定理得，．易知點、，直線的斜率為，直線的方程為，直線的斜率為，直線的方程為，由，，可得，其中，，解得．因此，點的縱坐標(biāo)為定值3變式21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)為橢圓的上頂點，過點作兩條直線，，分別與橢圓相交于，兩點，且直線垂直于軸．①設(shè)直線，的斜率分別是，，求的值；②過作直線，過作直線，與相交于點．試問：點是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．【解析】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為．由題意，得解得從而．所以橢圓的方程為．（2）①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，，兩點關(guān)于軸對稱，故可設(shè)，，，，，從而．因為點在橢圓上，所以，所以，所以．②設(shè)，，依題意．因為，所以，即；因為，所以，即，故，化得．從而必有，即．即點在一條定直線上．變式22．已知橢圓的長軸長為，，是的左、右焦點，為直線上一點，△是底角為的等腰三角形，直線與軸交于點，過點作直線交于點，．（1）求的方程；（2）設(shè)，是直線上關(guān)于軸對稱的兩點，問：直線與的交點是否在一條定直線上？若在，求出這條定直線的方程；若不在，請說明理由．【解析】解：（1）因為橢圓的長軸長為，所以．又△是底角為的等腰三角形，所以，，所以．所以，即，解得．所以，所以橢圓的方程為．（2）由（1）知直線的方程為，．設(shè)，，，，，，①當(dāng)過點的直線的斜率不等于0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去并整理得，所以△，即，，，則．又由直線的方程是，直線的方程是，聯(lián)立兩直線的方程，并消去得，，，，所以，所以與的交點恒在定直線上．②當(dāng)過點的直線的斜率等于0時．，是橢圓的左、右兩個頂點，不妨設(shè)，，則直線的方程是，直線的方程是，聯(lián)立兩直線的方程，并消去得，所以此時與的交點也在定直線上．綜上所述，直線與的交點恒在定直線上．變式23．已知橢圓的左、右頂點分別為和，離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點作一條斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，連接、，直線與交于點，探求點是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由．【解析】解：（1）由題設(shè)，，，且所以，，橢圓方程為；（2）由（1）知，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，因為△，設(shè)，，，，所以，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則，即，而，，，即直線與直線的交點在直線上．題型九：圓過定點例25．已知橢圓的上頂點為，右焦點為，△為等腰直角三角形為坐標(biāo)原點），拋物線的焦點恰好是該橢圓的右頂點．（1）求橢圓的方程；（2）若點，分別是橢圓的下頂點和上頂點，點是橢圓上異與，的點，求證：直線和直線的斜率之積為定值．（3）已知圓的切線與橢圓相交于，兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．【解析】解：（1）已知，，則，則所求方程為：；（2）由已知，，設(shè)，則，；（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，因為直線與圓相切，故其中的一條切線方程為．代入橢圓方程可得，可得，，，，則以為直徑的圓的方程為．當(dāng)直線的斜率為零時，因為直線與圓相切，所以其中的一條切線方程為．代入橢圓方程可得，可得，，，，則以為直徑的圓的方程為．顯然以上兩圓都經(jīng)過點．當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程消去，得，設(shè)，，，，則，．所以．所以①，因為直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，整理，得，②將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點，綜上可知，以為直徑的圓過定點．例26．已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點．（Ⅰ）求橢圓的