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一元二次不等式恒成立問題[解析](1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,顯然-1<0;若m≠0,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,,Δ=m2+4m<0))?-4<m<0.所以m的取值范圍為(-4,0].(2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,只需mx2-mx+m<6恒成立(x∈[1,3]),又因?yàn)閤2-x+1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))2+eq\f(3,4)>0,所以m<eq\f(6,x2-x+1).令y=eq\f(6,x2-x+1)=eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))2+\f(3,4)).因?yàn)閠=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))2+eq\f(3,4)在[1,3]上是增函數(shù),所以y=eq\f(6,x2-x+1)在[1,3]上是減函數(shù).因此函數(shù)的最小值ymin=eq\f(6,7).所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(6,7))).(3)將不等式f(x)<0整理成關(guān)于m的不等式為(x2-x)m-1<0.令g(m)=(x2-x)m-1,m∈[-1,1].則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g-1<0,,g1<0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2+x-1<0,,x2-x-1<0,))解得eq\f(1-\r(5),2)<x<eq\f(1+\r(5),2),即x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1-\r(5),2),\f(1+\r(5),2))).名師點(diǎn)撥:一元二次不等式恒成立問題1.在R上恒成立(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(或≥0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,Δ=b2-4ac<0或≤0.))(2)一元二次不等式ax2+bx+c<0(或≤0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,,Δ=b2-4ac<0或≤0.))2.在給定某區(qū)間上恒成立(1)當(dāng)x∈[m,n],f(x)=ax2+bx+c≥0恒成立,結(jié)合圖象,只需f(x)min≥0即可.(2)當(dāng)x∈[m,n],f(x)=ax2+bx+c≤0恒成立,只需f(x)max≤0即可.3.解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數(shù).一般地,知道誰的范圍,誰就是自變量,求誰的范圍,誰就是參數(shù).4.“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的參數(shù)m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的參數(shù)m取值集合”的補(bǔ)集;“f(x)>0的解集為?”即“f(x)≤0恒成立.”注意:ax2+bx+c>0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=b=0,,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,Δ=b2-4ac<0;))ax2+bx+c<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=b=0,,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,,Δ=b2-4ac<0.))【變式訓(xùn)練】1.若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-4<0對(duì)一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a取值的集合為(D)A.(-∞,3) B.(-1,3)C.[-1,3] D.(-1,3][解析]當(dāng)a=3時(shí),-4<0恒成立;當(dāng)a≠3時(shí),eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3,,Δ=4a-32+16a-3<0,))解得-1<a<3.所以-1<a≤3.故選D.2.(2024·山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2-4x≥m對(duì)任意的x∈(0,1]恒成立,則有(A)A.m≤-3 B.m≥-3C.-3≤m<0 D.m≥-4[解析]令f(x)=x2-4x,x∈(0,1],∵f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值-3,∴m≤-3,故選A.3.已知對(duì)于任意的a∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于0,則x的取值范圍是(B)A.{x|1<x<3} B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<2} D.{x|x<1或x>2}[解析]記g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,a∈[-1,1],依題意,只需eq\b\
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