2023-2024學年人教版九年級上冊數學期末模擬試題

一、單選題（每題3分，共24分）

1.下列關于x的方程是一元二次方程的是（）

A.5x（x-4）=0B.x2+y-3=0C.\+x=9D.%3-3x+6=O

2.下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.下列事件必然發(fā)生的是（）

A.某人買一張彩票就中了大獎B.李明同學下次數學考試滿分

C.三點確定一個圓D.兩點確定一條直線

4.已知與馬是一元二次方程V-尤-2=0的兩個根，則不+丁的值是（）

A.1B.-C.-1D.—

22

5.二次函數y=af+bx+c（a工0）與一次函數y=Q+c在同一坐標系中的圖象大致為

6.如圖，四邊形ABCD內接于E為BC延長線上一點.若NDCE=55°,則N30D

7.如圖，在JLBC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將ABC繞點A逆時針旋轉，點8

落在點。處，則8、。兩點間的距離為（）

D

A.V10B.2拒C.3D.26

8.如圖，E是。的直徑A5上一點，A5=1O,3E=2,過點E作弦。0，他才是4（?2

上一動點，連接。P,過點A作AQLP。，垂足為Q,則的最小值為（）

3行2A/5

Lr(-----

2■

二、填空題（每題3分，共24分）

9.拋物線y=3（x-2）2+9的頂點坐標為

10.不透明的袋子中裝有5個球，其中有2個紅球、3個綠球，這些球除顏色外無其他

差別.從袋子中隨機取出1個球，則它是紅球的概率為.

11.若關于x的一元二次方程f—3x+2=0的一個實數根是。，貝1」4/-12。-3的值

為.

12.如圖，在O中，直徑AB=10,8是弦，ABLCD于E,OE=3,則8=

13.拋物線＞=。12-2內-3（。*0）與了軸交于兩點，分別是（帆,0）,（〃,0）,則機+〃的值

為.

14.如圖，尸為。外一點，PA與IO相切于點A,尸。交「。于點8,BCLOP交PA

于點C,BC=3,PB=4,則。的半徑為.

15.如圖，在AOC中，Q4=3cm,將二49。繞點。順時針旋轉90。后得到BOD,則

Q4邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為cm2.

16.如圖，是半。的直徑，點C在半。上，AB=5cm,AC=4cm.。是8c上

的一個動點，連接AO,過點C作CELAD于E,連接8E.在點。移動的過程中，BE

三、解答題(共72分)

17.解方程：

(D2X2-4X+1=0(2)尤2-5x+6=0

18.如圖，在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點分別是4(3,4)、8(1,2)、C(5,3).

(1)將一ASC平移，使得點A的對應點A的坐標為(-3,4),在圖的坐標系中畫出平移后的

⑵將44瓦G繞點G逆時針旋轉90°,畫出旋轉后的并直接寫出4、層的坐標;

⑶求的面積.

19.在某次數學測驗中，一道題滿分3分，老師評分只給整數，即得分只能為0分，1

分，2分，3分，王老師為了了解學生得分情況和試題的難易情況，對初三(1)班所有

學生的試題進行了分析整理，并繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖，如圖所示.

解答下列問題：

初三1班得分情況統(tǒng)計圖

(1)根并補全條形統(tǒng)計圖;

(2)如果A、B、C、。四位同學得分恰好為0分，1分，2分，3分，王老師隨機叫兩位

同學進行學法指導，求抽中的兩位同學得分之和為3分的概率.

20.已知關于x的一元二次方程/一6元+2加-1=0有不，巧兩實數根.

(1)若a=5,求演及加的值;

(2)是否存在實數加，滿足(下-1)(%-1)=布-5加？若存在，求出實數機的值；若不存

在，請說明理由.

21.如圖，以線段A3為直徑作。，交射線AC于點C,AD平分NC4B交一。于點

過點。作直線OE人AC于點E,交AB的延長線于點R連接3。并延長交射線AC于

點、M.

(1)求證：直線OE是；。的切線；

⑵求證：AB=AM-,

(3)若ME=2,ZF=30°,求圖中陰影部分的面積.

22.某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于

80元，經市場調查，每天的銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數關系，

部分數據如下表：

售價無（元/千克）506070

銷售量y（千克）1008060

（1）求y與％之間的函數表達式，并寫出自變量取值范圍；

⑵設商品每天的總利潤為W（元），求卬與x之間的函數表達式（利潤=收入-成本），

并寫出自變量取值范圍；

（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少元時獲得

最大利潤，最大利潤是多少？

23.如圖1,等腰，ABC和等腰VADE中，AB=AC,AD=AE,將VADE繞點A旋轉,

連接B。、CE,利用上面結論或所學解決下列問題:

(1)若/54。=〃4￡=35。，求證：BD=CE；

（2）連接BE,當點。在線段BE上時.

①如圖2,若/54。=//必￡=60。，則一班。的度數為；線段與CE之間的

數量關系是;

②如圖3,若N54C=ND4E=90。，AM為VADE中OE邊上的高，求證:線段AVf、3E、

CE之間的數量關系.

Q

24.如圖1,已知二次函數y=aY+6x+c的頂點坐標為(1,其圖象與無軸交于4

圖I圖2

(1)求二次函數的解析式；

(2)若點尸為線段3C上方拋物線上的一點，當點P到線段BC的距離最大時，求點P的

坐標；

(3)如圖2,已知點M為對稱軸上一點，點N為拋物線上一點，若以點2、C、M、N為

頂點的四邊形為平行四邊形，求點N的坐標.

參考答案：

1.A

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據只含有一個未知數，未知數的次數為2的整

式方程是一元二次方程即可判斷.

【詳解】解：A.5x(x-4)=。即5/-20工=0符合一元二次方程的定義，是一元二次方程;

B./+、-3=。含有兩個未知數，不是一元二次方程；

C.二+尤=9是分式方程，不是一元二次方程；

D.三一3*+6=0未知數的最高次數為3,不是一元二次方程；

故選：A.

2.B

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形

繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心

對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.

【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故B選項符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故C選項不合題意；

D、既不是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D選項不符合題意.

故選：B.

3.D

【分析】本題考查了事件的分類，確定圓的條件；根據各選項逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：A.某人買一張彩票就中了大獎，是隨機事件，故該選項不正確，不符合題意；

B.李明同學下次數學考試滿分，是隨機事件，故該選項不正確，不符合題意；

C.三點確定一個圓，是隨機事件，故該選項不正確，不符合題意；

D.兩點確定一條直線，是必然事件，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

4.D

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數關系的應用，熟練掌握一元二次方程根與系數關

系是解題的關鍵.通分：,+,=^+—匚=土上，根據一元二次方程根與系數的關

石x2再-x2再?x2再?x2

bc、

系：X]+X,=—，%,9=—可得出答案.

aa

【詳解】解：根據題意得當+%=1,尤逮2=-2,

11X,+x1

則一+—=~9

占x2%]X22

故選：D.

5.D

【分析】本題考查了二次函數與一次函數圖象的綜合；根據兩個函數的圖象確定出。、c的

符號，矛盾的則不符合題意，相同的則符合題意，則可判斷.

【詳解】解：A、由二次函數圖象知，a<0,c>0；由一次函數圖象知，a>0,c<0,矛

盾，不符合題意；

B、由二次函數圖象知，a>0,c<0；由一次函數圖象知，a>0,c>0,矛盾，不符合題

思；

C、由二次函數圖象知，a>o,c>0；由一次函數圖象知，〃<0,c>0,矛盾，不符合題

思；

D、由二次函數圖象知，a<0,c>0；由一次函數圖象知，a<0,c>0,符合題意；

故選：D.

6.B

【分析】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，先根據平角的定義得到

ZSCZ)=125°,再根據圓內接四邊形對角互補可得/4=180。-/及第=55。，則由同弧所對

的圓周角度數是圓心角度數的一半可得答案.

【詳解】解：："CE=55。，

/BCD=180°-ZDCE=125°,

?..四邊形ABCD內接于O,

二NA=180°—4c0=55°,

ZBOD=2ZA=110°,

故選B.

7.A

【分析】本題考查了旋轉的性質及勾股定理，根據勾股定理先求AB=5,再根據旋轉得出

AE=4,DE=3,進而用勾股定理求值即可.

【詳解】解：連接3￡),

C

?.?在ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

：.AB=5,

:將ASC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段43上的點E處，

AE=4,DE=3,

：.BE=1,

在RtABED中,

BD=^BE^+DE2=V10?

故選：A.

8.A

【分析】本題考查垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識，先根據圓周角定理判斷點。

在以AD為直徑的圓上，連接并延長交(”于點。，當。與。'重合時，OQ最小，最小

值為。。'，然后根據勾股定理求解相關線段長即可，確定。的運動軌跡是解答的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接AO、OD,

：.ZAQD=90°,

.?.點。在以AO為直徑的圓上，以AD為直徑作:M,如圖，

連接并延長交M于點0',當。與0,重合時，OQ最小，最小值為OQ',

???CD1AB,

：.DE=CE,

在RtZXODE中，OD=O8=LB=5,OE=OB-BE=3,

2

DE=^OD2-OE2=,52—32=4，

在RtA4DE中，AE=AB-BE=8,

?*-AD=y/AE2+DE2=48：+42=475，

在RtOA?中，DM=-AD=2y[5,

2

：■OM=yjOD2-MD2=上一（2灼?=5

OQ=MQ'-OM=2卡-后=后，

即OQ的最小值為百，

故選：A.

9.（2,9）

【分析】本題考查了二次函數的頂點式；根據拋物線的頂點式可直接得出答案.

【詳解】解:拋物線y=3（x-2）2+9的頂點坐標為（2,9）,

故答案為：（2,9）.

io.2

5

【分析】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件A的概率尸（A）=事件A可

能出現的結果數千所有可能出現的結果數.根據概率的求法,找準兩點：①全部情況的總數；

②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.

【詳解】解：從袋子中隨機取出1個球，共有5種等可能結果，其中摸到的是紅球的有2

種結果，

2

所以從袋子中隨機取出1個球，它是紅球的概率為

故答案為：y.

11.-11

【分析】本題考查了理解方程解的含義，把x="代入d-3x+2=0得/-3口=-2,利用方

程進行等式變形即可求解.

【詳解】解：把x=。代入f-3x+2=0得3。+2=0,

,?u~—3。=—2,

.'.4a2-12a-3

=4x(a?—3。)—3

=4x(-2)-3

=—11,

故答案為：-11.

12.8

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理.熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵.

如圖，連接OC,由垂徑定理可得CE=：CD,由勾股定理得，CE=y/oC2-OE2＞進而可

求8.

【詳解】解：如圖，連接OC,

?.?直徑AB=10,8是弦，ABLCD,

；.OC=5,CE=-CD,

2

OE=3,

由勾股定理得，CE=y/0C2-0E2=4-

8=8,

故答案為：8.

13.2

【分析】本題考查的是利用拋物線上對稱的兩點求解對稱軸，熟記拋物線的對稱軸公式是解

本題的關鍵，本題利用拋物線的對稱軸建立方程求解即可.

【詳解】解：,拋物線y=一2ax—3(〃wO)的對稱軸為直線兀=一~--=1,

2a

???拋物線y=ax2-lax-3(〃w0)與1軸交于兩點，分別是(m,0),(n,0),

二對稱軸為直線尤=—,

2

.m+n]

..-------=I,

2

m+幾=2,

故答案為：2

14.6

【分析】本題主要考查了切線的性質得性質與判定，切線長定理，勾股定理，連接Q4,先

證明2C是:。的切線，進而由切線長定理得到CX=CB=3,再由切線的性質得到

ZOAP=90°,利用勾股定理求出尸C=5,貝！]AP=8,設：O的半徑為r,則OP=r+4,在

及△AOP中，由勾股定理得/+82=(r+4)2,解方程即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接。4,

OB1BC,OB是O的半徑，

BC是。的切線，

?；上4與。相切于點A,

C4=CB=3,ZOAP^90°,

在Rt尸3c中，由勾股定理得pc=JBC，+3產=5，

AP=CA+PC=8,

設。。的半徑為r,則OP=r+4,

在RtAAOP中，由勾股定理得＜?A2+AP2=OP2,

Ar2+82=(r+4)2,

解得r=6,

。的半徑為6,

故答案為：6.

【分析】本題考查了旋轉的性質，以及扇形的面積，掌握“旋轉前后的兩個圖形全等，旋轉

前后的對應邊相等“，以及扇形的面積公式是解題的關鍵.

根據題意可知以邊在旋轉過程中所掃過的圖形是一個扇形，根據扇形的面積公式進行計算

即可.

【詳解】邊在旋轉過程中所掃過的圖形是一個扇形，

on1Q

面積為：---nxOA2=--7rx32=—K(cm2),

36044

故答案為：［9萬.

4

16.(VB-2)cm

【分析】本題主要考查了勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定點E的運

動軌跡是在以AC為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中的壓軸題.

如圖，取AC的中點為。'，連接30'、BC,在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的

圓上運動，當。'、E、8三點共線時，BE的值最小，最小值為利用勾股定理求

出O'B即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取AC的中點為。'，連接30'、BC,

0rC=-AC=2cm

2f

CE1AD,

:.ZAEC=90°,

???在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動,

AB是直徑，

:.ZACB=90°,

在RtABC中，AC=4cm,AB=5cm,

BC=7AB2-AC2=斤彳=3cm，

在Rt3co'中，BO=JW+BC2=收+3?=而cm,

OE+BENOB,

???當0'、E、B三點共線時，HE的值最小，最小值為：0方-0宏=5-2(cm),

故答案為：(9-2)cm.

17/[、2+\[22—A/2

1/?(,1)X.---------,X----------

22Q

(2)%=3,%2=2

【分析】本題主要考查一元二次方程及其解法，解答本題的關鍵在于熟練掌握一元二次方程

的解法，選擇合適的解法解方程即可求解.

【詳解】(1)解：用求根公式解方程，

A=Z?2-4ac=16-4x2=8,

-ZJ+VA4+2&2+拒

人1———，

12a42

—b—>/A4—25/22—yfz

"一2a―4―丁

?2+V22-五

122

⑵X2-5X+6=0

。_3)(尤_2)=0

..X]=3,%2=2.

18.⑴見解析;

(2)圖見解析，4的坐標(-2,1),當的坐標(0,-1)；

(3)/\人與6的面積為3.

【分析】本題考查作圖-平移變換、旋轉、求三角形的面積.

（1）利用平移變換的性質分別作出A,B,C的對應點A，B,,G即可;

（2）利用旋轉變換的性質分別作出A,4的對應點&,即可；

（3）利用割補法求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，用a即為所求；

（2）解：如圖，△436即為所求，&的坐標鳥的坐標（0,-1）；

(3)解：△AAG的面積=2x4一；x2xl-gxlx4一gx2x2=3.

19.(1)25；20；統(tǒng)計圖見解析

⑵」

3

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖綜合問題、樹狀圖法或列表法求概率：

（1）利用0分的人數及百分比求出總人數，進而可求得1分的人數，再利用人數占比等于

對應得分的人數除以總人數求出相、〃的值，最后補全條形統(tǒng)計圖即可求解；

（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到抽中的兩位同學得分之和為3分的

結果數，最后依據概率計算公式求解即可.

【詳解】（1）解；由題意得：初三（1）班有學生6+10%=60人，

12

-??得1分的人數為6。一6—27—12=15人,H%=—xl00%=20%,

60

Am%=—xl00%=25%,n=20,

60

/.m=25,

補全統(tǒng)計圖如下:

開始

A

/N

BCDACDABD

123134235345

由樹狀圖可知，共有可12種等可能性的結果數，其中得分之和為3分的有4中,

41

???抽中的兩位同學的得分之和為3分的概率為五=耳

20.(1)迎=1，m=3

(2)存在，m=l

【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系、判別式的意義，解題的關鍵是掌握一

元二次方程的根與系數的關系.

bc

（1）根據根與系數的關系：%+%=——,%?%=￡,代入數值，即可作答.

a

、ohc

（2）先算出A=（-6）-4（2m-l）＞0,得加V5,結合石+%=--，\^=~,代入數值，即

a2a

可作答.

【詳解】（1）解：,??關于x的一元二次方程d-6x+2m-1=0有4，x?兩實數根,

???根據根與系數的關系得5+9=6,5x2=2m-l,

解得犬2=1，m=3；

（2）解：存在.

理由如下:

根據題意得A=(-6)2-4(2/n-l)>0,

解得用《5,

由根與系數的關系得尤1+入2=6,xcx2=2m-l,

2

(玉-l)(x2-1)=m-5m,

即XyX2_(玉+無2)+1=m2-5m,

BP2m-1-6+1=m2—5m,

方程化為m2—7根+6=0，

解得叫=1,鈾=6,

m<5,

.\m=l.

21.(1)見解析

(2)見解析

⑶I萬

【分析】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角

形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、直角三角形中30。角所

對的直角邊等于斜邊的一半等知識.

(1)連接0￡>,由？O/MTOAD?ZMC證明O￡)〃AC,得NODF=ZAED=90°,即可

證明直線DE是，；。的切線；

(2)由線段48是二。的直徑證明/AZ)3=90。，再根據等角的余角相等證明=,

貝！IAB=AM；

(3))由ZAEF=9O。，ZF=30°,則/BAM=60。，貝U-ABM是等邊三角形，所以/M=60。，

則NEDM=30。，所以2WE>=2EM=4,因為,ABAf是等邊三角形，AO平分可得

MB=2MD=8,即得到O的直徑為8,半徑為4,再證△ACO是等邊三角形，得到

/4CO=60。，AC=AO,因此AC=OD,根據OD〃AC得到/C4N=NODN,從而利用

“AAS”證得ANC空NOD,則陰影部分的面積等于扇形COD的面積.

【詳解】⑴解:如圖，

M

連接0。，則。。二。4,

JZODA=ZOAD,

???AD平分/C4B,

：.?OAD?ZMC,

???ZODA=ZDAC,

：.OD//AC,

u：DEIAC,

：.ZODF=ZAED=90°f

?；OD是。的半徑，且DE八OD,

???直線是。的切線；

(2),?,線段是。的直徑，

???ZADB=9Q°f

：.ZADM=180?！猌ADB=90°,

ZM+Z￡HM=90°,ZABM-^-ZDAB=90°,

'：ZDAM=ZDAB,

：.ZM=ZABM,

：.AB=AM.

(3)連接OC交AD于N,

VZAEF=90°,NF=30。,

???ZEAF=90°-ZF=90°-30°=60°,

,/AB=AM,

ABM是等邊三角形，

AZM=60°,

???ZMDE=900-ZM=90°-60°=30°,

：?MD=2ME=2x2=4,

???是等邊三角形，AD平分NM4B,

：.MB=2MD=2x4=8,

AB=MB=8,

：.OD=OA=-AB=4,

2

VAO=CO,ZCAO=60°,

???△ACO是等邊三角形，

AZACO=60°,AC=AO,

：.AC=OD,

,：OD//AC,

：.ZCOD=ZACO=60°,/CAN=/ODN,

'：ZANC=ZDNO,

??.一⑷VC冬NOO(AAS),

._60￡X￡_8

*陰影扇形coo3603兀。

22.(1)y=-2x+200(40<x<80)

⑵W=-2(尤-70)2+1800(40<x<80)

(3)當40WxW70時，W隨x的增大而增大；當70<xW80時，W隨x的增大而減小；當售價

為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元

【分析】題目主要考查二元一次方程組及二次函數的應用，理解題意，列出方程組及函數關

系式是解題關鍵.

（1）設、=析+》，根據題意列出方程組求解即可；

（2）根據利潤=收入-成本列出函數關系式即可；

（3）由（2）中結果化為頂點式，然后利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】（1）解：設＞=區(qū)+6.

50左+6=100

由題意,

60左+6=80

k=-2

解得

6=200

.??所求函數表達式為y=-2x+200(40<x<80).

(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x~+280%-8000=-2(x-70)2+1800.

(3)W=-2x2+280x-8000=-2(%-70)2+1800,其中40Wx<80,

V-2<0,

二當40WxW70時，W隨x的增大而增大；

當70<xW80時，卬隨x的增大而減小；

當售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元.

23.⑴見詳解;

(2)①60°,BD=CE；?BE=CE+2AM

【分析】（1）利用MS證明△ABD之△ACE即可得證；

（2）①利用&4s證明△ABZ注△ACE得出3。=CE,ZADB=ZAEC,然后證明VADE是等

邊三角形即可求解；

②利用S4s證明△ASZ注△ACE得出AD=AE,然后利用等腰三角形的性質求解即可.

【詳解】（1）證明：連接CE,

圖1

ZBAC=ZZME=35°,

ZBAD=ZCAE,

在△ABD和ZkACE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.Z\ABD^Z\ACE,

：.BD=CE；

(2)解：①???/朋。=〃4￡=60。，

：.ZBAD=ZCAEf

在△ABD和小。石中

AB=AC

vZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABZ^AACE,

:?BD=CE,ZADB=ZAEC,

VAD=AE,ZDAE=60°9

JVAPE是等邊三角形，

：.ZADE=ZAED=60°,

ZADB=\SO°-ZADE=120°=ZAEC,

：.ZBEC=ZAEC-ZAED=60°.

故答案為：60°,BD=CE：

②:ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAEf

在△AB。和"(石中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.△ABD^AACE,

：.BD=CE,

VAD=AE,ZDAE=90°,AM為VADE中DE邊上的高,

???點M是。石的中點，

:.2AM=DE,

又BE=BD+DE,BD=CE,

：.BE=CE+2AM.

【點睛】本題是結合了旋轉的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三

角形的性質與判定等知識的綜合問題，熟練掌握知識點，由簡入難，層層推進是解答關鍵.