20222023學(xué)年下學(xué)期高二期中學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.小明和妹妹跟著父母一家四口到游樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排家長，則這4個人的入園順序的種數(shù)是（）A.4 B.6 C.12 D.24【答案】A【解析】【分析】先排首尾兩個位置，再排中間兩個位置，即可得解.【詳解】先排首尾兩個位置，有種排法，再排中間兩個位置，有種排法，所以這4個人的入園順序的種數(shù)是種.故選：A.2.已知某物體的運動方程為（時間單位：s，位移單位：m），當時，該物體的瞬時速度為，則的值為（）A.2 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】對求導(dǎo)，再利用瞬時速度的意義求解即可.【詳解】因為，，當時，該物體的瞬時速度為，則，解得：.故答案為：D.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則等于（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式對求導(dǎo)可得，將代入計算可得的值．【詳解】根據(jù)題意，，其導(dǎo)數(shù)，令，可得，變形可得，故選：C．4.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第行中從左至右只有第5個數(shù)為該行中的最大值，則的值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由題意可知，第行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)，再利用二項式的系數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果．【詳解】由題意可知，第行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)．因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以為偶數(shù)，故，解得.故選：B．5.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和定義求解即可．【詳解】，，，，，故選：D．6.某公園設(shè)計了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區(qū)域種不同種類的花，則不同的種植方案個數(shù)為（）A.24 B.36 C.48 D.96【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】先種區(qū)域1有種選擇，區(qū)域2有種選擇，區(qū)域3有種選擇，區(qū)域4有種選擇，區(qū)域5有2種選擇，區(qū)域6有1種選擇，則共有：種.故選：C.7.已知點，點是拋物線上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用兩點間距離公式可表示出，利用導(dǎo)數(shù)可求得最小值.【詳解】設(shè)，則，令，則；恒成立，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.故選：A.8.已知，，（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)互化可得，構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，由此可得大小關(guān)系；利用作差法可得大小關(guān)系，由此可得結(jié)論.【詳解】由，得，；由，得；由，得；令，則，當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，.，.綜上所述，.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在二項式的展開式中，下列說法正確的是（）A.二項式系數(shù)和為512 B.不存在常數(shù)項C.含項的系數(shù)為45 D.第6項的系數(shù)最大【答案】BC【解析】【分析】求出展開式的通項，根據(jù)二項式系數(shù)的定義即可判斷A；令的指數(shù)等于即可判斷B；令的指數(shù)等于即可判斷C；根據(jù)系數(shù)性質(zhì)即可判斷D.【詳解】的展開式通項為，，1，…，10，的二項式系數(shù)和為，故A不正確；令，解得，故展開式不存在常數(shù)，B正確；令，解得，故含項的系數(shù)為，C正確；當時，的展開式的第6項的系數(shù)為，當為奇數(shù)時系數(shù)小于0，當為偶數(shù)時，的展開式第5項與第7項的二項式系數(shù)分別為與相等且最大，D不正確；故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.在處的切線與直線平行B.是上的增函數(shù)C.為的極值點D.最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進而求出切線方程判斷項，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間、求出極值、最值對進行判斷.【詳解】對于項：因為，所以，且，所以在處切線方程為，與直線平行.所以項正確.對于項：時或，在和上，遞增，在上，遞減，所以項錯誤.對于項：根據(jù)對項分析，知項正確.對于項：根據(jù)對項分析，知在處取極小值，，在上函數(shù)遞增，且時，，所以有最小值，所以項正確.故選：.11.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“山東書城”暑期志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)購員、收銀員、倉庫管理員四項工作可供選擇，每人至多從事一項工作，下列說法正確的是（）A.若5人每人可任選一項工作，則有種不同選法B.若安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，其余3人中任選2人分別從事導(dǎo)購、倉庫管理工作，則有12種不同的方案C.若倉庫管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有60種不同的方案D.若每項工作至少安排1人，每人均需參加一項工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，則有126種不同的方案【答案】CD【解析】分析】根據(jù)排列組合知識分別進行計算可得正確選項【詳解】對于A，安排5人參加4項工作，若每人可任選一項工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故A不正確；對于B，安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，則有1種方法，其余3人中任選2人分別從事導(dǎo)購、倉庫管理工作，則有種方法，則共有：種方法，則B錯誤；對于C，若倉庫管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有種不同的方案，故C正確；對于D，①從剩下的三人選一個人從事翻譯工作，則有種方法，則甲、乙和三人中剩下的2人從事其余的三個工作共有：種方法，則共有種方法.②從剩下的三人選2個人從事翻譯工作，則有種方法，則甲、乙和三人中剩下的1人從事其余的三個工作共有：種方法，則共有種方法，所以若每項工作至少安排1人，每人均需參加一項工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，則有種不同的方案，故D正確.故選：CD.12.已知函數(shù)，若直線與曲線和分別相交于點，且，，則()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)和g(x)的單調(diào)性，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得出范圍，利用和f(x)的單調(diào)性即可判斷．【詳解】f(x)的定義域為R，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；時，；；時，；的定義域為，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；時，；；時，；作出f(x)和g(x)圖象，易知，，且，∵，∴，∵，f(x)在單調(diào)，∴，同理，∴，，又，∴，故A正確，B錯誤；又，故D正確，C錯誤．故選：AD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)和g(x)的性質(zhì)，并作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，利用即可得到答案.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)在處取得極值，則實數(shù)a的值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在處取得極值，可得，即可得解.【詳解】，因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以.

故答案為：.14.在的展開式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得，所以展開式中為，所以展開式中的系數(shù)是．故答案為：3.15.現(xiàn)有五張卡片，分別寫有數(shù)字0，1，2，3，6（數(shù)字6倒放也可當做數(shù)字9），則用這些卡片擺成的不同五位數(shù)的個數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先確定首位，再確定其他位置，再結(jié)合數(shù)字6倒放也可當做數(shù)字9，即可得解.【詳解】先確定首位有張卡牌可選，再確定其他位置，有種選法，又因數(shù)字6倒放也可當做數(shù)字9，所以不同五位數(shù)的個數(shù)共有個.故答案為：.16.已知函數(shù)，若對任意兩個不相等的正實數(shù)，都有，則實數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè),由題意可得函數(shù)在是減函數(shù)，原問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，即求即可.【詳解】若對任意兩個不相等的正實數(shù)都有恒成立，不妨設(shè)，所以，即，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，則恒成立，則令，即即可，，因為在單調(diào)遞減，存在零點，使得，即，兩邊取對數(shù)可得，即，所以當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以，令，則，在上單調(diào)遞增，且，要求，解得：，即，則，因為即，令，，，所以，在上單調(diào)遞減，當時，.當趨近于0時，趨近于正無窮，所以，故.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩點：一是利用參變分離法，將其轉(zhuǎn)化為；而是解轉(zhuǎn)化為，，即圖象與圖象的交點問題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）求值：；（2）已知，求x的值．【答案】（1）35；（2）或x=6【解析】【分析】（1）由性質(zhì)直接計算可得，或直接計算；（2）根據(jù)上角標相等或和等于下角標計算可得.【詳解】（1）；另解：；（2）因為，則，即且，所以或，解得或.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后求出切點坐標，可得切線方程；（2）先求極值點，求出極值和區(qū)間端點值，比較可得最值.【小問1詳解】，，；所以在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】，令得或；120002由表可知，最大值為，最小值為.19.為慶祝黨的二十大勝利閉幕，某校高二級部組織全體同學(xué)進行了主題為“二十大精神進校園，培根鑄魂育新人”的二十大知識競賽，并選出了4名女生和3名男生共7名優(yōu)勝者．賽后，7名同學(xué)站成一排，照相留念．（1）女生必須站在一起的站隊方式有多少種？（2）男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有多少種？（3）現(xiàn)在要求這7名同學(xué)分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學(xué)做二十大學(xué)習(xí)成果匯報，要求每個小組必須既有男生又有女生，問有多少種安排方案？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用捆綁法，女生看成整體與男生排列，再考慮女生內(nèi)部排列；（2）男生甲不與其他男生相鄰，則相鄰的只能是女生，分甲站在兩端和甲不站兩端兩種情況討論，選出女生與甲看作整體，與剩下的人排列即可；（3）分別將男生女生分分給三個年級，由此求解即可.【小問1詳解】女生必須站在一起，利用捆綁法，先將四個女生看成一個整體，再與其他三個男生排列，則有種站隊方式；【小問2詳解】若甲站在兩端，則甲有種站法，再選一名女生與甲相鄰，有種選法，再將把其他人排列，有排法，則甲站在兩端有種，若甲不站兩端，則可先在甲兩邊分別安排一名女生，有種選法，再將這三個人看成一個整體與其他人排列，有種排法，則甲不站兩端有種，所以男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有種；【小問3詳解】先選名女生分到三個年級，有種，再將個男生分到三個年級，有種，所以共有種.20.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出展開式的通項，進而可求得答案；（2）令，求得，再令，求得，即可得解；（3）根據(jù)通項結(jié)合組合數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】展開式的通項為，則；【小問2詳解】令，則，令，則，所以；【小問3詳解】.21.已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象始終在圖象的上方，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，討論當，時，導(dǎo)函數(shù)的符號即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將函數(shù)的圖象始終在圖象的上方，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，對分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定的取值情況，從而可得符合的實數(shù)a的取值范圍．【小問1詳解】因為，所以若，則，所以，所以即，所以在上單調(diào)遞增；若，令，則.故當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在單調(diào)遞增；綜上，若，上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】若函數(shù)的圖象始終在圖象的上方，只需在上恒成立即在上恒成立，設(shè)，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當時，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當時，因為在上單調(diào)遞增，而，，所以存在使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當時，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當時，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在使得，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上可知，當時，函數(shù)的圖象始終在圖象的上方.22.帕德近似是法