2023年河南省商丘市成考專升本數學（理）

自考真題（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.在點x=0處的導數等于零的函數是（）

A.A.y=sinx

B.y=x-1

C.y=ex-x

D.y=x2-x

2.已知f（x）是偶函數，且其圖像與x軸有四個交點，則方程f（x）=0的所

有根之和為

A.4B,2C,1D,0

3.二項式（2x—1）6的展開式中，含x4項系數是（）

A.A.-15B.-240C.15D.240

下列四個命廄中為真命題的一個是（）

，（Al如果兩個不童合的平面有兩個不同的公共點4.8,那么這兩個平面有無數個

公共點,并且這些公共點都在宜線AB上

(B)如果一條直線和一個平面平行,則它和這個平面內的任何直線平行

(C)如果一條直線垂直于一個平面內的兩條直線,則這條直線垂直于這個平面

(D)過平面外一點,有無數條直線與這個平面垂直

5.設f(x)=ax(a>0,且a，l),則x>0時,0<f(x)<l成立的充分必要條件

是()

A.A.a>1

B.O<a<1

J…I

D.l<a<2

有6人站成一排,其中有親姐妹3人恰好相鄰的概率為()

工/(B)f

6.JU120

7.已知人0)=>■碉，")("N.),剜44)為A.IOB.12c.24D.36

已知的是G南II八-5)=3.則/(5)

\<；<'D；

8.

9.二次函數y=(l/16)x2的圖象是一條拋物線，它的焦點坐標是()

A.A.(-4,0)B,(4,0)C,(0,-4)D,(O,4)

[J：.J]:展開式中所有奇數/系數之和等于1024,則所相里的東數中?大

10.的值是(,A.330

B.462C.680D.790

11.已知|a|=2,|b|=l,a與b的夾角為兀/3,那么向量m=a-4b的模為

()

A..一

B.2'/3

C.6

D.12

12.已知圓(x+2)2+(y—3)2=1的圓心與一拋物線的頂點重合，則此拋物

線的方程為()

A.A.y=(x+2)2—3B.y=(x+2)2+3C.y=(x-2)2—3D,y=(x-2)2+3

13.

<6)沒0<*<1,則在下列不等式中成立的是

(A)>1修產(B)2">2,

(C}sin>sinx(D)x->

14.已知平面a、氏Y兩兩垂直，它們三條交線的公共點為O,過O弓[-條

射線OP,若OP與三條交線中的兩條所成的角都是60°,則OP與第三

條交線所成的角為0

A.30°B.45°C.60°D.不確定

已知定義在［2.宣］上的函數〃了)=log.x的最大值比最小值大1,則a=

()

(A)f(B)^

2IT

(C)2或ir(D)段或2

15.21T

16.

第8題已知向量a=(3,4),向量b=(0,-2),則cos<a,b>的值為()

A.4/5B.-4/5C.2/25D.-2/25

17.已知球的直徑為6,則該球的表面積是()

A.A.MB.36兀C.144兀D.288兀

已知底面邊長為6的正三校錐的體積為9源.則此正三校錐的高為

A.6V6R3而

18.C.2乃D.5/6

A.A.AB.BC.CD.D

19.已知橢圓的長軸長為8,則它的一個焦點到短軸一個端點的距離為

()

A.A.8B.6C.4D.2

20.下列函數中，0不是周期函數.

A.y=sin(x+n)B.y=sinl/xC.y=l+cosxD.y=sin27rx

設某項試驗每次成功的概率為亨.則在2次獨立重復試驗中.都不成功的概率為

21.()

A.A.4/9B.l/3C.2/9D.1/9

9種產品有3種是名牌,要從這9種產品中選5種參加博覽會.如果名牌產品全部

參加,那么不同的選法共有)

(A)30種(B)12種

22.〈C)15種(D)36種

23已知sina=-j-,(-y<a<ir).那么tana二

A.A.3/4

3_

B.

_<4

c.

D.O

設集合M=?-3|,N=1/xWl],則MCN=)

(A)R(B)(-8,-3]U[1,+8)

24.(C)[-3,1](D)0

函數y=[1系/-2*-2)「+的定義域是)

(A)|xIx<3,xERi

(B)|xl*>-l,xeR|

(C)jxI-1<x<3,xeR|

25:D)Ix<-1或x>3,leR|

26.下列等式中，成立的是()

A?CretanI=?今

4

Rarctanf—l

4

C.sin(arcsin—■/?

arcsinbin學)8**^

A.A.AB.BC.CD.D

27.已知a=(3,6),b=(-4,x),且a上b,則x的值是()

A.A.lB.-lC.2D.-2

28.已知a,b《R+,且ab=a+b+3,則ab的取值范圍是()

A.A.ab<9B.ab>9C.3<ab<9D.ab6>3

29.下列成立的式子是()

01

A.0.8<log30.8

B.O.801>O.8-0-2

C.IogaO.S<log40.8

D.3°1<3°

30.函數y=2sinxcosx的最小正周期是。。

A.n/2B.4兀C.2兀D.n

二、填空題(20題)

31.過圓x2+Y2=25上一點M(-3,4)作該圓的切線，則此切線方程為

32.

設cosx-sinz.則y=_____________,

33.1g(tan43°tan45°tan47°)=,

34.已知ij,k為單位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,貝！Jaxb=.

35.已知a=(6,2),b=(-4,1/2),直線i過點A(3,-1),且與向量a+2b

垂直，則直線i的一般方程為

36?.’,:

37.

已知直線1和X—y+l=O關于直線x=-2對稱，則1的斜率為.

38.

已知隨機變量自的分布列是：

012345

a

P0.10.20.3L0.2L0.1L0.1L

貝！IE4=_______

39.圓心在y軸上，且與直線x+y-3=0及x-y-l=O都相切的圓的方程為

40.已知雙曲線的離心率是2,則兩條漸近線的夾角是

41.設正三角形的一個頂點在原點，且關于x軸對稱，另外兩個頂點在

拋物線丁=26］上，則此三角形的邊長為.

42.已知A(-l,-1),B(3,7)兩點，則線段的垂直平分線方程為.

43.

函數丫=3七+4的反函數是

44.設正三角形的一個頂點在原點，且關于x軸對稱，另外兩個頂點在拋

物線v-人③”上，則此三角形的邊長為.

45.若正三棱錐底面邊長為a,且三條側棱兩兩垂直，則它的體積為

等比數列｛a“｝中，若收=8,公比為則由=

46.4----------------.

已知球的半徑為1,它的一個小圓的面積是這個球表面積的"I"，則球心到這個小

47.圓所在的平面的距離是___?

48.函數〃x)=2x'-3x2+l的極大值為___

49.從新一屆的中國女子排球隊中隨機選出5名隊員，其身高分別為(單

位:cm)

196,189,193,190,183,175,

則身高的樣本方差為cm2(精確到0.1cm2).

50.5名同學排成一排，甲乙兩人必須相鄰的不同排法有——種.

三、簡答題（10題）

51.

（本小題滿分13分）

巳知函數人幻=

（I）求函數y=〃工）的單調區(qū)間,并指出它在各單調區(qū)間上是增函數還是減函數;

（2）求函數y=/（x）在區(qū)間［0.4］上的黑大值和最小值.

52.（本小題滿分12分）

已知等比數列;a.|中..=16,公比g=

（1）求數列I。1的通項公式；

（2）若數列l(wèi)a」的前n項的和5.=124,求n的信.

53.（本小題滿分12分）

已知等差數列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

⑴求數列｛an｝的通項公式；

⑵當n為何值時，數列｛an｝的前n項和Sn取得最大值,并求該最大值.

54.

（本小題滿分12分）

已知函數/（X）=--3/+府在［-2,2］上有最大值5,試確定常數m,并求這個函數

在該閉區(qū)間上的最小值.

55.

(本題滿分13分)

求以曲線2/+/-4x-10=0和/=2工-2的交點與原點的連線為漸近線,且實

軸在工軸匕實軸長為12的雙曲線的方程.

56.(本小題滿分12分)

設一次函數f(x)滿足條件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

57.

(本小題滿分12分)

已知等差數列Ia」中嗎=9.%+仰=0.

(1)求數列儲」的通項公式?

(2)當n為何值時,數列M.I的前n頁和S.取得散大位，并求出該最大值.

58.(本小題滿分12分)

設數列2.1滿足5=2.az=3a._2(n為正噎數).

(I)求^~~rs

a,-1

(2)求數列l(wèi)a.l的通項?

59.

(本小題滿分12分)

已知桶圈的離心率為凈，且該橢㈣與雙曲蠟"=1焦點相同,求橢圓的標準

和庭線方程.

60.

(22)(本小題滿分12分)

面積為6的直角三角形三邊的長由小到大成等差數列,公差為d.

(I)求d的值；

(H)在以最短邊的長為首項，公差為d的等差數列中,102為第幾項?

四、解答題(10題)

61.如圖所示，某觀測點B在A地南偏西10。方向，由A地出發(fā)有一條

走向為南偏東12。的公路，由觀測點B發(fā)現公路上距觀測點10km的C

點有一汽車沿公路向A地駛去，到達D點時，測得NDBC=90。，BD=

10km,問這輛汽車還要行駛多少km才能到達A地.(計算結果保留到小

數點后兩位)

62.

63.已知正圓錐的底面半徑是1cm母線為3cm,P為底面圓周上一點，

由P繞過圓錐回到P點的最短路徑如圖所示，由頂點V到這條路線的

最小距離是多少？

已知函數〃W)+4

X

(0求函數人了)的定義域及單調區(qū)間；

(2)求函數"G在區(qū)間［1,4］上的最大值與最小值.

64.

65.

求以曲線2』+尸-4x-10=0和『=2x-2的交點與原點的連線為漸近線,且實

軸在1軸上,實軸長為12的雙曲線的方程.

66.已知數列｛an｝的前n項和Sn=n(2n+1)

⑴求該數列的通項公式；

(II)判斷39是該數列的第幾項

已知等差數列伉｝的公差dX。臼=右且”,四成等比數列.

<I)求儲」的通項公式；

(n)若儲“)的前”項和S.=50,求n

67.

68.（2D（*小■需分12分）

如圖,已知只BJG：=*1與雙曲線G：W?，=Ha>I）,

a0

（l）設?,0分別&c,.C,的離心率,證明e.e,<I;

（U）設4A是％長軸的兩個端點"（4，.）（Ix/>G在G上，直線%與G的另

一個交點為Q,直線PA、與C,的另一個交點為R.沃明QR平行于y軸

69.

三角形兩邊之和為10,其夾角的余弦是方程2--3x-2=0的根，求這個三角形周長

的最小值.

已知等差數列I。/中,.=9,%+a,=0.

（1）求數列I。」的通項公式；

70.（2）當n為何值時，數列|a“|的前n項和S.取得最大值，并求該最大值.

五、單選題（2題）

71.在肋△加C中.巳知C=90。.8=75?4=4.■5等于

AE?6B.而?々

C.26.2D.20-2

72.當時.函數.v=2二十號的戢小值為（）

A.A.■,

B.5

C.C176

D.D.7-273

六、單選題(1題)

73.已知函數f(x)=ax2+b的圖像經過點(1,2),且其反函數N(x)的圖像

經過點(3,0),則函數f(x)的解析式是()

A.f(x)=l/2x2+3/2

B.f(x)=-x2+3

C.f(x)=3x2+2

D.f(x)=x2+3

參考答案

l.C

選項A中.y=COSJ：?yI…=cos0=11

選項B中.y'nl.y'lLoUh

（中?yILO=——1=0,

選項D中.y'=2工-1?/|==0—1=—1.（答案為C）

2.D

設y（x）=0的實根為xi?x2.4?北

?."(外為偶函數,

??./|?乃.)?￡.兩兩成對出現(如田).

4題答案圖

』=一￡.

X|+l?+工、+*|=0.

3.D

由二項式定理可彳S?含上'項為(n2//(-"=2401'.(答案為D)

4.C

5.B

6.B

7.C

C"：曲建於。bt町m/(4)H仗，)?1機1)=項1).2^,0)-24.

8.C

9.D

10.B

B|?析：H然布散項之和是所有項最數之和的半，令*=1即帶所存項系數之和2"=2048=2"加"

=11,各項的系數為一項式系數,故系疑最大值為c：或C%.為461

11.B

B【H析】m'-M-hb-16y.

Xa2=a產=4,"=IB'■】?

ab-2XlXco*g-l.

則mz-4-8X14-16-12.

Mlla-4hl*-12.m=a-4hl-2V3.

12.B

13.A

14.B將a、歸7看成是長方體中有公共點的三個面，OP看成是長方體

的對角線.

15.D

16.B

17.B

18.D

19.C

20.BA是周期函數，B不是周期函數，C是周期函數，D是周期函數.

21.D

22.C

23.B

24.C

25.D

26.A

27.C

28.B

29.CA,O.801,Va=0.8<l,為減函數，又；x<°」>Llog30.8,：a=3>

1

1,為增函數，0<x<1,/.log30.8<0./.0.8°>log30.8,故A錯.B,0.8'

°i(如圖)，為減函數，XV-0.1>-0.2,/.O.801<O.802,故B

錯.C,log30.8與log40.8兩個數值比大小，分別看作yi=log3x與y2=log4x

底不同，真數相同，當a>l,0<x<l時，底大，對大.故C正確.D,為

-0.2-0.1

增函數，3。』＞3。=1,故D錯.

30.D

該小題主要考查的知識點為函數的最小正周期.【考試指導】

?=2siozcosx=sin2xt故其最小正

周期T=容=”

31.

32.

33.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan450=lgl=0

34.0由向量的內積坐標式，坐標向量的性質得i2=j2=k2=l,ixj=jxk=ixk=0,

Va=i+j,b=-i+j-k得:axb=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-l+l=0.

35.

2x-3y-9=0【解析】直線上任取一點尸(z,

>y),則PA=(3—z,—1—y).因為a+2b=

(一2,3),由題知就?(a+2b)=0,即一2(3—

N)+3(-1—1y)=。，整理得2x—3>—9=0.

36.

37.

【答案】-1

【解析】該小題主要考查的知識點為直線的性質.

【考試指導】

fj—V4-1=0,―一

'0得交點

I1二-L?

取直線1-」+1=0上一點（0,1）.則該點、關于直

歿工=-2對稱的點坐標為（一4?1）.則直線/的斜

率A—-1.

38.

2.3

生生工？+（＞-1）?=2

39.答案：

解析：

設BD的方程為(x-0)2+(y-y),

?l如田)

20題答案圖

圓心為(X(o.w).

CAI-QBI.即

I0+^o-3|_|0->-1|

/P+11-yr+(-i)J'

Ig-31=|—y?-11=>加-1,

r,|O-H-3|,|-2|_2_

4r針72?7

40.

120°【解析】漸近線方程y=±?工=士ztana,

離心率「￡=2.

a

CJ，十從/1_1_/bVo

即Bne=-=------f/]+(—)=2,

aaV、az

故(立)-3,—?±>/3,

xz

aQ

則tana=6,a=60°,所以兩條新近線夾角

為120*.

41.答案:12

解析:

設A（Z，＞））為正三角形的一個頂

點且在工軸上方，OA=m,

則xo=mcos30°=噂m，=msin30°=Jm,

Z乙

可見A(gm,勺）在拋物線丁=原工上，從而

(等y=2箝X§m,m=12.

L乙

42.x+2y-7=0設線段的垂直平分線上任-點為P(x,y),

MIPAI-IPBI.IF

."一了+L>-(T)]”.+(y-7)’.

磬理得■*+2y-7?0?

43.

由y-3，+4,招(1)4?即上=1同+(y-4)?

即函數V=3'*+4的反函數超尸log+CrT)(工>4).《答案為>?=logj(x-4)(x>4))

44.12

廢A44.")為正三*附的一個0意HAx帖上才?OA?m?

時or。=mco>30*.呼m.*■??sin3O?一nm.

可見Affm午物或工上,從而《尹=26乂,2?12.

45.

【答案】/]

.s*=a.Ta.y-Ta'

由題意知正三楨雄的他楨長為考”，

...凈）1（華.尹2=小

:,":我/。'

VqX和?年.如.

46.

1/8

【解析】該小題主要考查的知識點為等比數列.

"s~a29S2=8x（4）=

【考試指導】

巨

47.3

48.

49.

$；~47.9（他用科學計算卷計算）.（答案為47.9）

50.

P**Pi=24X2=48.（善案為48）

51.

(1)八工)=1令人x)=0,解得x=l.當xe(0.l)，(x)<0；

當3(1.+8)/(X)>0.

故函數，(外在(0.1)是減函數,在(1.+8)是增函數.

(2)當，=1時4口取得極小值.

XAO)=0,/(1)=-1,/(4)?0.

故函數人*)在區(qū)間［0,4］上的最大值為0.最小值為-l.

52.

(I)因為,=%g2,即16=.x~|",得.=64.

4

所以,該數列的通項公式為a.=64x(-j-)*-'

a.(l_??)&(1T)

(2)由公式￡="斗q)得124=--------j

i-g?

2

化博得2”=32,解得n=5.

53.

(I)設等差數列i?！沟墓顬榫庞梢阎猘,+a,=0,得

2a,+W=0.又已知％=9.所以d=-2.

數列Ia.|的通項公式為a.=9-2(n-1).即Q.=ll-2a

(2)數列l(wèi)a」的前n項和

S.=■^?(9+1-2n)=—n3+lOn=—(n—5)2+25.

當n=5時S取得最大值25.

54.

f(x)=3x2-6x=3x(*-2)

令了(x)=0.得駐點x,=0,x2=2

當了<0時j(x)>0；

當8。<2時/⑺<0

??.x=0是的極大值點,極大值〃0)=">

.??/TO)=E也是最大值

..E=5.又A-2)=m-20

〃2)=m-4

?■?/(-2)=-15JX2)=1

二函數〃H)在［-2,2］上的最小值為人-2)3

55.

本題主要考查雙曲線方程及綜合解題能力

(2x2+y2-4x-10=0

根據題意.先解方程組1/、

1/=2x-2

得兩曲線交點為1=：1=3

先分別把這兩點和原點連接,得到兩條直線了=土多

這兩個方程也可以寫成號=0

94

所以以這兩條直線為漸近線的雙曲線方程為=0

9?4k

由于已知雙曲線的實軸長為12,于是有

9*=6’

所以*=4

所求雙曲線方程為=l

JO1O

56.

設八*)的解析式為/(行=ax+6,

依題意褥m；*"「'解方程組.得a小

9,

57.

(I)設等比數列的公差為d,由已知°,+%H0,得2,+9d=0.

又已知5=9,所以d=-2.

得數列IQ.I的通項公式為4=9-2(“一1).即a.=11-2兒

⑵幀11”的前n項和S.吟(9+U-2n)=-/+10n=-S-5)'+25,

則當n=5時.S”取得最大值為25.

58.解

⑴4“=3“-2

a..i-1=3a.-3=3(a.-1)

.i7-3

4-1

(2)E-lI的公比為q=3,為等比數列

a,-1=(%-1)尸W1=3?~

a.=3*7+1

59.

由已知可得橢圓焦點為K(-6,0).生(6,0),……3分

設橢圓的標準方程為:+專=1(a>6>0),則

J=+5,

,g=&解得CL：…$分

,a3

所以橢圓的標準方程為(+；二1??……9分

橢圓的準線方程為x=±^|?笈……12分

60.

(22)解：(I)由已知條件可設直線三角形的三邊長分別為

a-d,a,a+d.其中a>0,d>0,

貝IJ(a+d)Ja2+(a-d)2.

Q=4d,

三邊長分別為3d,4d,5d.

S=^x3dx4d=6,d=l.

故三角形的三邊長分別為3,4,5,

公差J=1.

(n)以3為首項,1為公差的等差數列通項為

4=3+(n-1),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100項為102.

61.

因為為等腰直角三角形10km.

所以ZB?：=45".

于是ZADH-135',z：ABD-23".

由正弦定理得

AD10-10sin23"........

62.

（【）證明：連結AG,因為四邊形AiSCP為正方形，所以p

即UG.，

又由巳如PA1.底而AUCD福BDiPA,所以。DJ.平面

PAC,MlPC.

因為平麗AMQN//Bn.!^與B0共而,所以Bb//MN.

MNCC.……5分

<11）內為MNLFC,又巳知AQJ,PC,M"與AQ和交，）

所以尸CL平面,tMQM因此PQJ.QM.KFMQ為所求的角.

因為HJiTr5ABCD.ABS.BC,

所以PB1HC.

因為AB=BC=a,AC^PA=-/2?,

所以PC=2?,,

歷以Z.PCB=60。.

因為lUAfFC'-'RtAPQA/,

所以<LPMQ=Z_PC杼=6。'.

所以尸8與平面AMQN所成的丸為60。.

63.圓錐的曲面沿著母線剪開，展開成一個平面（如下圖）

其半徑VP=3,弧長=2兀*1=2兀的扇形因為圓錐的底面半徑為1,于是

圍繞圓錐的最短路

線對應于扇形內是P到Pt的最短距離就是

弦PP?，

由V到這條路線的最短距離是圖中的綁段

h-=AV,

依據瓠長公式2“=2外3,

得。=等,，h=3cos^=3Xcos—-X-.

ol乙

4

解(1)函數/?)的定義域為beRIx#。｝Z(*)=1--T

X

令/(*)=0,解得=-2,與=2.

當X變化時/(#)的變化情況如下表：

X(-8,-2)-2(-2.0)(0,2)2(2,令8)

/(*)0--0*

人￡)-44

4

因此函數/(X)="半(k#0)在區(qū)間(-8,-2)內是增函數，在區(qū)間

(-2,0)內是減函數,在區(qū)間(0,2)內是減函數,在區(qū)間(2,+8)內是增

函數.

(2)在區(qū)間［1,4］上，

當工=1時J(x)=5,當工=2時J(x)=4；當工=4時J(x)=5,

因此當IWxW4時,4W(x)W5.

64.即/(*)在區(qū)間［1,4］上的最大值為5，最小值為4.

解本腦主要考查雙曲線方程及綜合解題能力

根據題意?先解方程組27°

［y2=2x-2

得兩曲線交點為廠=3

b=2.ly=-2

先分別把這兩點和原點連接,得到兩條直線y=±/*

這兩個方程也可以寫成W=0

94

所以以這兩條直線為漸近線的雙曲線方程為恚=o

9k44

由于已知雙曲線的實軸長為12,于是有

9A=6?

所以*=4

所求雙曲線方程為\-工=1

65?

66.(1)當n>2時，an=Sz-Sn-i=2a2+n-2(n-l)2-(n-l)=4n-1

當n=l時，ai=3,滿足公式an=4n-L所以數列｛an｝的通項公式為

an=4n-l

(II)設39是數列俑｝的第a項,4n-l=39,解得n=10,即39是該數列

的第10項

67.

(I)a：=J+d,aS=-1-+4d,

由巳