2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)，則=A.2 B. C. D.12.已知集合，則A. B. C. D.3.已知，則A. B. C. D.4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm5.函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A B.C D.6.某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是A.8號學生 B.200號學生 C.616號學生 D.815號學生7.tan255°=A.－2－ B.－2+ C.2－ D.2+8.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A. B. C. D.9.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入A.A= B.A= C.A= D.A=10.雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A.2sin40° B.2cos40° C. D.11.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A.6 B.5 C.4 D.312.已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線在點處的切線方程為___________．14.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．15.函數(shù)的最小值為___________．16.已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17.某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.記Sn為等差數(shù)列{an}前n項和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．19.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．20.已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．21.已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．23.已知a，b，c正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．

絕密★啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)，則=A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先由復數(shù)的除法運算（分母實數(shù)化），求得，再求．【詳解】因為，所以，所以，故選C．【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算，復數(shù)模的計算．本題也可以運用復數(shù)模的運算性質(zhì)直接求解．2.已知集合，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求．【詳解】由已知得，所以，故選C．【點睛】本題主要考查交集、補集的運算．滲透了直觀想象素養(yǎng)．使用補集思想得出答案．3.已知，則A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm【答案】B【解析】分析】理解黃金分割比例的含義，應用比例式列方程求解．【詳解】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故選B．【點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題．5.函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．【詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．又．故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．6.某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是A.8號學生 B.200號學生 C.616號學生 D.815號學生【答案】C【解析】【分析】等差數(shù)列的性質(zhì)．滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．使用統(tǒng)計思想，逐個選項判斷得出答案．【詳解】詳解：由已知將1000名學生分成100個組，每組10名學生，用系統(tǒng)抽樣，46號學生被抽到，所以第一組抽到6號，且每組抽到的學生號構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.7.tan255°=A.－2－ B.－2+ C.2－ D.2+【答案】D【解析】【分析】本題首先應用誘導公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進一步應用兩角和的正切公式計算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】詳解：=【點睛】三角函數(shù)的誘導公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運算求解能力．8.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．9.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入A.A= B.A= C.A= D.A=【答案】A【解析】【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認真分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇．【詳解】執(zhí)行第1次，是，因為第一次應該計算=，=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，，是，因為第二次應該計算=，=3，，否，輸出，故循環(huán)體為，故選A．【點睛】秒殺速解認真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點，可知循環(huán)體為．10.雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A.2sin40° B.2cos40° C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線漸近線定義可得，再利用求雙曲線的離心率．【詳解】由已知可得，，故選D．【點睛】對于雙曲線：，有；對于橢圓，有，防止記混．11.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用．12.已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】【分析】本題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．14.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．一題多解：本題在求得數(shù)列公比后，可利用已知計算，避免繁分式計算．15.函數(shù)的最小值為___________．【答案】.【解析】【分析】本題首先應用誘導公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解.【詳解】，，當時，，故函數(shù)的最小值為．【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視的限制，而簡單應用二次函數(shù)的性質(zhì)，出現(xiàn)運算錯誤．16.已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．【答案】.【解析】【分析】本題考查學生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決．【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．【點睛】畫圖視角選擇不當，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17.某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）；（2）能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【解析】【分析】（1）從題中所給的列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應的頻率，即估計得出的概率值；（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【詳解】（1）由題中表格可知，50名男顧客對商場服務滿意的有40人，所以男顧客對商場服務滿意率估計為,50名女顧客對商場滿意的有30人，所以女顧客對商場服務滿意率估計為,（2）由列聯(lián)表可知，所以能有的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【點睛】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點有利用頻率來估計概率，利用列聯(lián)表計算的值，獨立性檢驗，屬于簡單題目.18.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首項設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意有，根據(jù)，可知，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項公式為；（2）由條件，得，即，因為，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因為，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，需要認真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.19.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點C到平面的距離，得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點為的中位線且又為中點，且且四邊形平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點，所以，根據(jù)題意有，，因為棱柱為直棱柱，所以有平面，所以，所以，設(shè)點C到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點C到平面的距離為.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.20.已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求導得到導函數(shù)后，設(shè)為進行再次求導，可判斷出當時，，當時，，從而得到單調(diào)性，由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導函數(shù)的符號判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時的取值范圍.【詳解】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點，使得又在上單調(diào)遞減為，即在上的唯一零點綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調(diào)遞減可知不恒成立綜上所述：【點睛】本題考查利用導數(shù)討論函數(shù)零點個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進而通過導函數(shù)的正負來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.21.已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．【答案】（1）或；（2）見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)，可知；由圓的性質(zhì)可知圓心必在直線上，可設(shè)圓心；利用圓心到的距離為半徑和構(gòu)造方程，從而解出；（2）當直線斜率存在時，設(shè)方程為：，由圓的性質(zhì)可知圓心必在直線上；假設(shè)圓心坐標，利用圓心到的距離為半徑和構(gòu)造方程，解出坐標，可知軌跡為拋物線；利用拋物線定義可知為拋物線焦點，且定值為；當直線斜率不存在時，求解出坐標，驗證此時依然滿足定值，從而可得到結(jié)論.【詳解】（1）在直線上設(shè)，則又，解得：過點，圓心必在直線上設(shè)，圓的半徑為與相切又，即，解得：或當時，；當時，的半徑為：或（2）存在定點，使得說明如下：，關(guān)于原點對稱且直線必為過原點的直線，且①當直線斜率存在時，設(shè)方程為：則的圓心必在直線上設(shè)，的半徑為與相切又，整理可得：即點軌跡方程為：，準線方程為：，焦點，即拋