高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省三鋒教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在中，角所對(duì)邊分別為，且，（）A. B.或 C. D.或〖答案〗A〖解析〗由正弦定理有，即，解得，注意到，由大邊對(duì)大角有，所以.故選：A.2.已知向量，若，則（）A B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C.3.已知是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：由題意知，，為非零向量，當(dāng)時(shí)，可得，故充分性滿足；必要性：當(dāng)時(shí)，即，解得或，故必要性不滿足；所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確.故選：A.4.下列結(jié)論正確的是（）A.若直線不平行于平面，且，那么內(nèi)存在一條直線與平行B.已知平面和直線，則內(nèi)至少有一條直線與垂直C.如果兩個(gè)平面相交，則它們有有限個(gè)公共點(diǎn)D.棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等〖答案〗B〖解析〗A：若，則內(nèi)不存在與平行的直線，故A錯(cuò)誤；B：已知平面和直線，則有無數(shù)條直線與垂直，故B正確；C：如果兩個(gè)平面相交，則它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D：棱臺(tái)的上下底面相似且對(duì)應(yīng)邊平行，側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，可以不等長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，若，，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗A〖解析〗由及正弦定理知，故，由，知，從而，，這說明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.6.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)的上底面的中心為，下底面的中心為，連接，在平面內(nèi)，作，交于點(diǎn)，可得，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為和，可得，則，在直角中，由，可得，即，即正四棱臺(tái)的高為，所以正四棱臺(tái)的體積為.故選：D.7.已知扇形的半徑為13，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，弧的中點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，故，故，?故選：B.8.如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，則圓柱的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓柱底面半徑為，由題意結(jié)合正弦定理有，解得，從而圓柱的高為，所以圓柱的體積是.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.下列命題是真命題的是（）A.空間三點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)平面B.為兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”必要不充分條件C.如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行D.長(zhǎng)方體是直平行六面體〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，要求三點(diǎn)不共線才可以唯一確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由面面平行的判定及性質(zhì)定理可知“”是“”必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C，顯然對(duì)于兩個(gè)相交平面，其中一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與交線平行，由線面平行的判定定理容易知道該平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，但這兩個(gè)平面不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由直平行六面體的定義可知長(zhǎng)方體是直平行六面體.故選：BD.10.已知是夾角為的單位向量，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故，即，故C正確；對(duì)D：，故D正確.故選：ACD.11.正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，則（）A.直線與平面平行B.C.過的平面截此正方體所得的截面可能不是四邊形D.過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，取的中點(diǎn)，分別連接，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又由分別為正方形的各邊的中點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，又因?yàn)?，且平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以A正確；對(duì)于B中，由分別為正方形的各邊的中點(diǎn)，可得，在正方體中，可得平面，即到平面的距離為，又由，所以B正確；對(duì)于C中，連接，在正方體中，可得，且，所以四邊形為平行四邊形，其中四邊形，所以過的平面截此正方體所得的截面可能是四邊形，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，如圖所示，當(dāng)截面時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到的距離最遠(yuǎn)，所以截面的面積最大值，最大值為；分別取的中點(diǎn)，當(dāng)截面為菱形時(shí)，根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可得點(diǎn)到的距離最近，截面的面積最小，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，可得，所以菱形的面積為，所以過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍是，所以D正確.故選：ABD.12.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且．以下命題正確的有（）A.若，則為的重心B.若為的內(nèi)心，則C.若為的外心，則D.若為的垂心，，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，由，知，故為的重心，A正確；對(duì)于B，若為的內(nèi)心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，知，故，B正確；對(duì)于C，若為的外心，設(shè)的外接圓半徑為，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為的垂心，由，故，從而，而和都是正數(shù)且相加小于，故在內(nèi)部，所以是銳角三角形，由在內(nèi)部，知，與剛才同理，可由得到，由不共線，知是一組基底，故，，從而，設(shè)到對(duì)邊的投影分別是，的面積為，且我們約定分別簡(jiǎn)記為角，由于，，故相似于，從而，故可得到，從而，同理，，由于，，，故設(shè)，，，其中，則，解得，故，而，故，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分．13.已知一個(gè)球半徑是，則它的表面積是_____．〖答案〗〖解析〗球的半徑，則表面積為.故〖答案〗為：.14.如圖，甲乙兩人做游戲，甲在處發(fā)現(xiàn)乙在北偏東方向，相距6百米的處，乙正以每分鐘5百米的速度沿南偏東方向前進(jìn)，甲立即以每分鐘7百米的速度，沿北偏東方向追趕乙，則甲追趕上乙最少需要_________分鐘．〖答案〗2〖解析〗如圖所示：設(shè)他們?cè)邳c(diǎn)處相遇，甲追趕上乙最少需要分鐘，由題意（距離單位是百米），且，由余弦定理有：，即，也就是，解得或（舍去），所以甲追趕上乙最少需要2分鐘.故〖答案〗為：2.15.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖所示，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，，若且滿足平面，則_________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，由是正方形，得，在線段PE取點(diǎn)G，使得，由，得，連接BG，F(xiàn)G，則，由平面，平面，得平面，而平面，，平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，則，所以.故〖答案〗為：.16.已知中，，，若在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則最大值為_________〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以為邊上的中線的靠近的7等分點(diǎn)，所以，在，由余弦定理可得：，即，利用基本不等式可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，兩邊同時(shí)平方可得：，所以，即為等邊三角形時(shí)，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．（1）若，求證：三點(diǎn)共線；（2）若與平行，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）證明：由向量，可得，，所以，可得，又因?yàn)楹陀泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線．（2）由向量與平行，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個(gè)非零向量，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，且．（1）求的外接圓的半徑；（2）若，且邊上的高，求角．解：（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圓的半徑．（2）由（1）知，即，又，所以，所以，所以，所以.19.如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，平面平面.（1）證明：平面；（2）證明：.解：（1）連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)槊婷?，所以平?（2）因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，所以，因?yàn)槊婷?，所以平面，因面，面面，所以?0.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)椋曰?（2）因?yàn)榍?，所以，由正弦定理得，所以，，則，又由，可得，所以，可得，則，所以即的取值范圍．21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）若為中點(diǎn)，證明：∥面；（2）求的最小值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鎰t∥面.（2）由題意可知，則，將平面展開到一個(gè)平面內(nèi)如圖，則的最小值即為展開圖中的長(zhǎng)，，從而，故，在中，由余弦定理可得，則，即的最小值為．22.在銳角中，記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，點(diǎn)為的所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（1）若，求的值；（2）在（1）條件下，求的最小值；（3）若，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，可得?/p>