專題8.5直線、平面垂直的判定及性質(zhì)【核心素養(yǎng)】以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，凸顯邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.(3)范圍：.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三二面角及其范圍(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)范圍：[0，π]．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四平面與平面垂直(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：線面垂直關(guān)系的判斷與證明【典例分析】例11.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面例12.（2019·全國(guó)·高考真題（文））如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．【規(guī)律方法】1.判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明垂直關(guān)系的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識(shí)，特別是正、余弦定理及勾股定理的應(yīng)用．2.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．【變式訓(xùn)練】變式11.（浙江·高考真題（理））下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β變式12.（2019·全國(guó)高考真題（文））已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．題型二：補(bǔ)全線面垂直的條件問題例21.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，D1E⊥平面AB1F．例22.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，.（1）求證：；（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使得平面？并說明理由.【變式訓(xùn)練】變式21.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，寫出以之間的部分位置關(guān)系為條件（除外），為結(jié)論的一個(gè)真命題：.變式22.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是菱形，.（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，可使平面？題型三：面面垂直的判斷與證明【典例分析】例31.【多選題】（2023秋·廣西百色·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形，其中平面，，且．若該四面體的體積為，則（

）A．平面 B．平面平面C．的最小值為3 D．四面體外接球的表面積的最小值為例32.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【規(guī)律方法】1．證面面垂直的思路(1)關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面．這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮．(2)條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理．2.在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直．3.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：4.判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．【變式訓(xùn)練】變式31.【多選題】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的軸截面是正方形，為底面圓的直徑，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，且，不在平面，，，四點(diǎn)共面，則（

）A．直線平面 B．直線平面C．平面平面 D．平面平面變式32.（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．題型四：補(bǔ)全面面垂直的條件問題例41.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.例42.（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式訓(xùn)練】變式41.（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足___________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）變式42.（2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形且，，．(1)求的值；(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型五：由線面垂直性質(zhì)判斷線線、面面關(guān)系【典例分析】例51.（2024·陜西寶雞·校考一模）設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，則．②若，則．③若，則．④若，則．其中正確命題的序號(hào)是（寫出所有正確命題的序號(hào)）；例52.（2021·全國(guó)·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【規(guī)律方法】思路方法：(1)通過線面平行可得到線線平行，其中一條線應(yīng)是兩平面的交線，要樹立這種應(yīng)用意識(shí)．(2)利用線面平行性質(zhì)必須先找出交線．（1）在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.（2）線面平行關(guān)系證明的難點(diǎn)在于輔助面和輔助線的添加，在添加輔助線、輔助面時(shí)一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù)，絕不能主觀臆斷.（3）解題中注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.【變式訓(xùn)練】變式51.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．變式52.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知多面體，平面平面，且，證明：平面.題型六：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)證明線面垂直【典例分析】例61.（2023秋·上海寶山·高三上海交大附中校考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別為棱的中點(diǎn)，，平面平面.求證：(1)平面；(2)平面．例62.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．【變式訓(xùn)練】變式61.（2019·天津·高考真題（改））如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；變式62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面底面，，，，，，．設(shè)平面與平面的交線為，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的值．一、單選題1．（2020秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）已知直線，平面，，，，，則是的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．5．（2021·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起至，在平面內(nèi)作，為垂足．設(shè)，，則下列說法正確的是（

）A．若平面，則B．若平面，則C．若平面平面，且，則D．若平面平面，且，則三、填空題6．（2023秋·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，已知側(cè)棱底面，，且，在此三棱錐內(nèi)放一個(gè)球，當(dāng)球的體積最大時(shí)，球的半徑為．7.（2022·四川遂寧·統(tǒng)考一模）設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）若與內(nèi)的兩條直線垂直，則直線與垂直.以上說法正確的是.（?出序號(hào)）四、解答題8.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．9.（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．11．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，已知正方體的棱長(zhǎng)為，..分別是..的中點(diǎn).（1）求證：