八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題綜合檢測(cè)試題1．（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x、y軸上，以AB為邊作等腰直角三角形ABC，使，點(diǎn)C在第一象限．(1)若點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)，且a、b滿足，則______，_____，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，BE平分，交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，求證：CG垂直平分EF；(3)試探究（2）中OD，OE與DF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．3．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)在軸上以的速度運(yùn)動(dòng),且滿足關(guān)系式,連接,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求的值;(2)當(dāng)為何值時(shí)，(3)如圖2,在第一象限存在點(diǎn),使,求.4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸，y軸于A（a，0），B（0，b），且滿足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)；且∠APB＝45°，①若點(diǎn)P在x軸上（圖1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②若△ABP為直角三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．5．方法探究：已知二次多項(xiàng)式，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x＋k），多項(xiàng)式可以表示成，則有，因?yàn)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，即，解得，因此多項(xiàng)式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問(wèn)題解決：(1)對(duì)于二次多項(xiàng)式，我們把x＝代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)成立；(2)對(duì)于三次多項(xiàng)式，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（），設(shè)另一個(gè)因式為（），多項(xiàng)式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對(duì)于多項(xiàng)式，用“試根法”分解因式．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，設(shè)，且．（1）直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以AP為邊作等邊三角形APQ，連接DQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖3，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)B作，且，連接AF交BC于點(diǎn)P，求的值．7．【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則ABD≌ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，ABC和AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°，其中正確的有_____．(將所有正確的序號(hào)填在橫線上）【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，BD=CD，AB=BE，∠ABE=∠BDC=60°，試探究∠A與∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．問(wèn)題引入：(1)如圖1，在中，點(diǎn)O是和平分線的交點(diǎn)，若，則______（用表示）：如圖2，，，，則______（用表示）；拓展研究：(2)如圖3，，，，猜想度數(shù)（用表示），并說(shuō)明理由；(3)BO、CO分別是的外角、的n等分線，它們交于點(diǎn)O，，，，請(qǐng)猜想______（直接寫出答案）．【參考答案】2．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；3．(1)，；C(8，4)；(2)證明見解析；(3)，理由見解析．【分析】（1）利用絕對(duì)值的非負(fù)性求出a，b的值，作軸交于點(diǎn)D，證明，進(jìn)一步可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）利用已知證明，，再證解析：(1)，；C(8，4)；(2)證明見解析；(3)，理由見解析．【分析】（1）利用絕對(duì)值的非負(fù)性求出a，b的值，作軸交于點(diǎn)D，證明，進(jìn)一步可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）利用已知證明，，再證明，得到，，利用平行性質(zhì)得到，進(jìn)一步得，再利用HL定理證明，可得，即可證明CG垂直平分EF；（3）證明得到，，又由（2）可知，進(jìn)一步可得．(1)解：∵，即：，∴，，作軸交于點(diǎn)D，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴，即．(2)證明：∵，BE平分，∴，，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，即CG垂直平分EF．(3)解：，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，又由（2）可知，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，絕對(duì)值非負(fù)性，垂直平分線的判定，平行線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形．本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-1：

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-2：（3）過(guò)作，連在與∴，在與中∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵∴∵∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是本題的關(guān)鍵．5．（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），（2，﹣2）．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．②分兩種情形：解析：（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），（2，﹣2）．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．②分兩種情形：如圖2中，若∠ABP=90°，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB，垂足為C．如圖3中，若∠BAP=90°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D．分別利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如圖1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案為（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP為直角三角形，∠APB＝45°∴只有兩種情況，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如圖2中，若∠ABP＝90°，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB，垂足為C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如圖3中，若∠BAP＝90°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．綜上述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），（2，﹣2）．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．6．(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（解析：(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項(xiàng)式有因式（x-2），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），則x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．(1)解：當(dāng)x=±2時(shí)，x2-4=0，故答案為：±2；(2)解：由題意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；(3)解：當(dāng)x=2時(shí)，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多項(xiàng)式有因式（x-2），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，∴a-2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，理解“試根法”的本質(zhì)，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的正確展開是解題的關(guān)鍵．7．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，因式分解可得，進(jìn)而可得，在x軸的正半軸上取點(diǎn)C，使，連接BC，證明是等邊三角形，進(jìn)而即可求得；（2）連接BM，，進(jìn)而證明解析：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，因式分解可得，進(jìn)而可得，在x軸的正半軸上取點(diǎn)C，使，連接BC，證明是等邊三角形，進(jìn)而即可求得；（2）連接BM，，進(jìn)而證明為等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得（3）過(guò)點(diǎn)F作軸交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明，，設(shè)，則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是4a，，進(jìn)而計(jì)算可得，，即可求得的值．【詳解】（1）∵點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，如答圖1，在x軸的正半軸上取點(diǎn)C，使，連接BC，∵，∴，又∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴；（2）如答圖2，連接BM，∴是等邊三角形，∵，，∵∠，∴，∴，∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，即，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（3）如答圖3，過(guò)點(diǎn)F作軸交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，又∵E是OC的中點(diǎn)，設(shè)，∴等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是4a，，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，因式分解的應(yīng)用，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定并正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）①②③；（3），證明見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用對(duì)頂角和三解析：（1）見解析；（2）①②③；（3），證明見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC＝60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，進(jìn)而得出∠AOE＝60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDC是等邊三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，①正確，∠ADB＝∠AEC，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°?∠ADB?∠DGO＝180°?∠AEC?∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF＝OC，連接CF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°?∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°?∠AOC＝60°，③正確，連接AF，要使OC＝OE，則有OC＝CE，∵BD＝CE，∴C