概率論—課后習(xí)題解答.中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社—?jiǎng)⒔鹕街?/p>

習(xí)題1解答

1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：

(1)記錄個(gè)班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百分制記分)；

(2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)；

(3)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記為“正品”，不合格的記為“次品”，如

連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果；

(4)在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo).

解：(1)以n表示該班的學(xué)生人數(shù)，總成績(jī)的可能取值為0,1,2,100n,所以該試

驗(yàn)的樣本空間為

i|i0,1,2,,100n}.n

(2)設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了k件不合格品，樣本空間為

{10k|k0,1,2,},

或?qū)懗?10,11,12,).

(3)采用0表示檢查到一個(gè)次品，以1表示檢查到一個(gè)正品，例如0110表示第一次與第

四次檢查到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111).

1

(3)取直角坐標(biāo)系，則有{(x,y)|x2y21},若取極坐標(biāo)系，則有

{(1)01,02JT}.

2.設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C及其運(yùn)算關(guān)系表示下列事件.

(1)A發(fā)生而B與C不發(fā)生；

(2)A、B、C中恰好發(fā)生一個(gè);

(3)A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生;

(4)A、B、C中恰好有兩個(gè)發(fā)生；

(5)A、B、C中至少有兩個(gè)發(fā)生；

(6)A、B、C中有不多于一個(gè)事件發(fā)生.解：⑴ABC或ABC或A(BC)；

(2)ABCABCABC；

(3)ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；(4)ABCABCABC.

(5)ABACBC或ABCABCABCABC；(6)ABCABCABCABC.

3.設(shè)樣本空間{x|0x2},事件A{x0.5x1},B{x|0.8x1.6},具體寫

出下列事件：

(1)AB；(2)AB；(3)AB；(4)AB.解：(1)AB{x|0.8x1}；

(2)AB{x|0.5x0.8}；2

(3)AB{x|0x0.5或0.8x2)；

(4)AB{x|0x0.5或1.6x2).

4.一個(gè)樣本空間有三個(gè)樣本點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的概率分別為

，求P的值.2p,p2,4p1

解：由于樣本空間所有的樣本點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)必然事件，所以

2pp24p11.

解之得pl30

，所以P3p23,又因?yàn)橐粋€(gè)事件的概率總是大于5.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,

P(AB)=0.8,求⑴P(AB)；

(2)P(AB);(3)P().

解：⑴由P(AB)P(A)P(B)P(AB)得

P(AB)P(A)P(B)P(AB)030.50.80.

(2)P(AB)P(A)P(AB)0.300.3.(3)

P()1P()1P(AB)10.80.2.

6.設(shè)P(AB)=P(),且P(A)p,求P(B).

解：由P(AB)=P()1P()1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)得P(A)P(B)1,從

而P(B)1p.

7.設(shè)3個(gè)事件A、B、C,P(A)0.4,P(B)0.5,P(C)0.6,P(AC)0.2,P(BC)0.4

且AB，求P(ABC).

解：

3

P(ABC)

P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)

0.40.50.600.20.40

0.9.

8.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率.

解：依題意可知，基本事件總數(shù)為43個(gè).

以Ai,i1,2,3表示事件“杯子中球的最大個(gè)數(shù)為i”，則A1表示

每個(gè)杯子最多放一個(gè)球，共有A43種方法，故

3A46P(A1)3.416

A2表示3個(gè)球中任取2個(gè)放入4個(gè)杯子中的任一個(gè)中，其余

11C3種，故一個(gè)放入其余3個(gè)杯子中，放法總數(shù)為C32c4

11C32C4C39P(A2).4316

A3表示13個(gè)球放入同一個(gè)杯子中，共有C4種放法，故

1C41PCA3)3.416

9.在整數(shù)0至9中任取4個(gè)，能排成一個(gè)四位偶數(shù)的概率是多少？

解：從0至9中任取4個(gè)數(shù)進(jìn)行排列共有10X9X8X7種排法.其中有(4X9X8X7一

4X8X7+9X8X7)種能成4位偶數(shù).故所求概率為

P498748798741.1098790

10.?部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求下列4

事件的概率：（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊；（2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊；（3）第一卷或第五

卷出現(xiàn)在旁邊；（4）第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；（5）第三卷正好在正中.

解：（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個(gè)位置上任意

排，所以p24!/5!2/5.

（2）可能有第卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在

左邊，剩下三卷可在中間三人上位置上任意排，所以p23!/5!1/10.

（3）pP｛第一卷出現(xiàn)在旁邊｝+P｛第五卷出現(xiàn)旁邊｝-P｛第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁

邊｝2217.551010

（4）這里事件是⑶中事件的對(duì)立事件，所以P17/103/10.

（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四個(gè)位置上可任意排，所以P14!/5!1/5.

11.把2,3,4,5諸數(shù)各寫在一張小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得

數(shù)是偶數(shù)的概率.

解：末位數(shù)可能是2或4.當(dāng)末位數(shù)是2（或4）時(shí)，前兩位數(shù)字從剩下三個(gè)數(shù)字中選排，所

以P2A32/A431/2.

12.一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客.電梯在每一層都停，乘客從

第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒(méi)有兩位及兩位以上

乘客在同一層離開的概率.

5

解：每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)

為97.事件A“沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各

有一位乘

A97客離開電梯”.所以包含A個(gè)樣本點(diǎn)，于是P（A）797

9.

13.某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)覺(jué)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)是報(bào)時(shí)一次,

求他（她）等待時(shí)間短于10分鐘的概率.

解：以分鐘為單位，記上一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為下一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為60,于是這個(gè)人打開收音機(jī)的

時(shí)間必在(0,60),記“等待時(shí)間短于10分鐘”為事件A,則有

(0,60),A(50,60)，于是P(A)101.606

14.甲乙兩人相約812點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面。先到的人等候另一人30分鐘后離去，求甲

乙兩人能會(huì)面的概率.

解：以X,Y分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，那末8X12,8Y12；若以(X,Y)表示

平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則樣本空間可以用這平面上的邊長(zhǎng)為4的個(gè)正方形

{(X,Y):8X12,8Y12}表示，二人能會(huì)面的充要條件是;XY|1

2,即事件

1A(X,Y):|XY|,8X12,8Y12.所以所求的概率為：2

1211624(A)15P(A)()1664

15.現(xiàn)有兩種報(bào)警系統(tǒng)A和B,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)A有效的概率0.92,系統(tǒng)B的

有效概率為0.93,在A失靈的條件下，B有效的概率為0.85,求

6

(1)這兩個(gè)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；

(2)在B失靈條件下，A有效的概率.

解：設(shè)A表示“系統(tǒng)A有效”，B表示“系統(tǒng)B有效”，則

P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|)0.85.由P(B)P(B)P(AB)0.85知P(AB)0.862.

1P(A)

(l)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.920.930.8620.988.

(2)P(A|)P(A)P(AB)0.920.8620.8285.1P(B)10.93

16.已知事件A發(fā)生的概率P(A)0.5,B發(fā)生的概率P(B)0.6,以及條件概率

P(B|A)=0.8,求A,B和事件的概率.

解：由乘法公式得

P(AB)P(A)P(B|A)0.50.80.4.

所以

P(AB)

P(A)P(B)P(AB)

0.50.60.40.7.

17.一批零件共100個(gè)，其中次品有10個(gè).每次從中任取1個(gè)零件，取3次，取出后不

放回.求第3次才取得合格品的概率.

解：設(shè)Ai表示事件“第i次取得合格品”，則

P(12A3)P(1)P(2|1)P(A3|12)1099090.00835.10099981078

18.有兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子都裝有a只黑球，b只白球，從第一個(gè)袋中任取一球放入第二

個(gè)袋中，然后從第二個(gè)袋中取出一7

球，求取得黑球的概率是多少？

解：設(shè)從第一個(gè)袋子摸出黑球A,從第二個(gè)袋中摸出黑球?yàn)锽,則

P(A)alaba,P),P,,(B|A)()ablababab1

由全概公式知：

aP(B)P(B|A)P(A)P(BA)P().ab

119.一個(gè)機(jī)床有的時(shí)間加工零件A,其余時(shí)間加工零件3

B.加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率是0.3,加工零件B時(shí)，停機(jī)的概率時(shí)0.4,求這個(gè)機(jī)床停

機(jī)的概率.

解：設(shè)C表示“機(jī)床停機(jī)”，A表示“加工零件A”，B表示“加工零件B”，則

1211P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0,30.40.367.3330

20.10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3個(gè)人參加抽簽考試，不重復(fù)地抽取，每人一次，甲先，乙

次，丙最后.證明3人抽到難簽的概率相同.

證明：設(shè)甲、乙、丙分別抽到難簽的事件為A,B,C,則，顯然P(A)4.10

43644.10910910P(B)P(A)P(B|A)P()P(B)

P(C)

P(AB)P(C|AB)P()P(C|)P()P(C)P()P(C|)432643463654

1098109810981098

4.10

8

21.兩部機(jī)器制造大量的同一種機(jī)器零件，根據(jù)長(zhǎng)期資料總結(jié)，甲、乙機(jī)器制造出的零件

廢品率分別是0.01和0.02.現(xiàn)有同一機(jī)器制造的一批零件，估計(jì)這一批零件是乙機(jī)器制

造的可能性比它們是甲機(jī)器制造的可能性大一倍，現(xiàn)從這批零件中任意抽取一件，經(jīng)檢查

是廢品.試由此結(jié)果計(jì)算這批零件是由甲生產(chǎn)的概率.

解：設(shè)A表示“零件由甲生產(chǎn)”，B表示“零件是次品”，則

12P(A),P(),P(B|A)0.01,P(B)0.02.33

由貝葉斯公式有

10.01P(A)P(B|A)P(A|B)0.2.P(A)P(B|A)P()P(B)10.0120.0233

22.有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來(lái)的概率分別是0.3、0.2、0.1、

0.4.如果他乘火車、輪船、汽車來(lái)的話，遲到的概率分別是，而乘飛機(jī)則不會(huì)遲到.結(jié)

果他遲到了，試問(wèn)他是乘火車來(lái)的概率是多少？

解：用A1表示“朋友乘火車來(lái)”，A2表示“朋友乘輪船來(lái)”，

A3表示“朋友乘汽車來(lái)”，A4表示“朋友乘飛機(jī)來(lái)”,B表示“朋1413112友遲到了”.

則

P(A1|B)P(A1)P(B|A1)

P(A

k14k)P(BAk)l2

23.加工一個(gè)產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)三道工序，第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品的概率分別是0.9、

0.95、0.8.若假定各工序是否出廢品相互獨(dú)立，求經(jīng)過(guò)三道工序而不出現(xiàn)廢品的概

率.9

解：設(shè)Ai,i1,2,3分別表示第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品，則由獨(dú)立性得

P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.90.950.80.684.

24.三個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是0.2、1/3、0.25.求密碼被破

譯的概率.

解：設(shè)Ai,i1,2,3分別表示第一、二、三個(gè)人破譯出密碼，則由獨(dú)立性得

P(A1A2A3)1P(A1A2A3)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)2

10.80.75

3

0.6.

25.對(duì)同一目標(biāo)，3名射手獨(dú)立射擊的命中率是0.4、0.5和0.7,求三人同時(shí)向目標(biāo)各射

一發(fā)子彈而沒(méi)有一發(fā)中靶的概率？

解：設(shè)Ai,i1,2,3分別表示第一、二、三個(gè)射手擊中目標(biāo)，則由獨(dú)立性得

P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(10.4)(10.5)(10.7)0.09.

26.甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)

被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機(jī)

必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率.

解：設(shè)Ci,i1,2,3依次表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，Ai,i1,2,3分

10

別表示有i人擊中飛機(jī)，B表示飛機(jī)被擊落，則

P(A1)P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)

0.40.50.30.60.50.30.60.50.7

0.060.090.210.36.

P(A2)P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)

0.40.50.30.40.50.70.60.50.7

0.060.140.210.41.

P(A3)P(C1C2C3)

0.40.50.7

0.14.

由全概率公式，得

P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)

0.360.20.410.60.141

0.458.

27.證明：若三個(gè)事件A、B、C獨(dú)立，則AB、AB及AB都與C獨(dú)立.

證明：(1)P((AB)C)P(AC)P(BC)P(ABC)

=P(AB)P(C).

(2)PABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(C).

(3)P((AB)C)P((AAB)C)P(ACABC)=P(AB)P(C).

28.15個(gè)乒乓球中有9個(gè)新球，6個(gè)舊球，第一次比賽取出了3個(gè)，用完了放回去，第二

次比賽又取出3個(gè)，求第二次取出的3個(gè)球全是新球的概率.

解：設(shè)Ai=第一次取出i個(gè)新球，i0,1,2,3,B表示第二次取出3個(gè)新球，則

33112333C6C9C62C9C83C6C9C7C9C6P(B)P(Ai)P(BAi)333333330.

089.C15C15C15C15C15C15C15C15i03

11

29.要驗(yàn)收?批100件的物品，從中隨機(jī)地取出3件來(lái)測(cè)試，設(shè)3件物品的測(cè)試是相互獨(dú)

立的，如果3件中有一件不合格，就拒絕接收該批物品.設(shè)一件不合格的物品經(jīng)測(cè)試查出

的概率為0.95,而一件合格品經(jīng)測(cè)試誤認(rèn)為不合格的概率為0.01,如果這100件物品中

有4件是不合格的，問(wèn)這批物品被接收的概率是多少？

解：設(shè)Ai=抽到的3件物品中有i件不合格品，i0,1,2,3.B=物品被接收，則

P(B)P(Ai)P(B|Ai)

i0

3211203C96C96C4C96C4C96C43211230.9930.990.0530.990.0530.9900.0

53C100C100C100C1003

0.8629.

30.設(shè)下圖的兩個(gè)系統(tǒng)KL和KR中各元件通達(dá)與否相互獨(dú)立，且每個(gè)元件通達(dá)的概率均為

P，分別求系統(tǒng)KL和KR通達(dá)的概率.

解：設(shè)A',B'分別表示系統(tǒng)KL與KR通達(dá)，（1）解法一

P(A')P{{[AB)C](DE)}F}

P(ACFBCFDEF)

P(ACF)P(BCF)P(DEF)P(ABCF)P(ACDEF)

P(BCDEF)P(ABCDEF)

p3p3p3p4p5p5p6

p3(3p2p2p3).

12

解法二：

P(A')P{{[AB)C](DE)}F}

P(F){P[(AB)C]P(DE)P[(AB)C(DE)]p[P(AB)P(C)P(D)P(E)P(AB)

P(C)P(D)P(E)]p[P(A)P(B)P(A)P(B)]pp3p4[P(A)P(B)P(AB)]p3(3p2

p2p3).

(2)

P(B')P[C(ADBE)(AB)C(DE)](1p)(p2p2p4)(pPp2)p(ppp2)

p2(22p5p22p3).

習(xí)題二參考答案

1.隨機(jī)變量X的所有可能取值為：1,2,3,4,5,6,分布律為：

1136

PX1P〃1,1〃〃1,2〃〃1,3〃〃1,4〃〃1,5〃〃2,1〃〃3,1〃〃4,i〃〃

5,1〃〃6,1〃PX2P〃2,2〃〃2,3〃〃2,4〃〃2,5〃〃2：6〃〃3,2〃〃4,2〃

〃5,2〃〃6,2〃PX3P〃3,3〃〃3,4〃〃3,5〃〃3,6〃〃,3〃〃5,3〃〃6,3〃

PX4P〃4,4〃〃4,5〃〃4,6〃〃5,4〃〃6,4〃PX5P〃5,5〃〃5

,6〃〃6,5〃PX6P〃6,6〃

136

336

536

736

936

2.(1)；(2)

13

1.4

13

1n12

1

2

PX2,4,6,...111222226...lim

n0124132

2

PX31PX31PX1PX21111

2224

4

3.隨機(jī)變量X的分布律為：

31PX0C22

C221132C1312C2C131C3,PX13,PX23

1535C1535C1535

因?yàn)镕(x)P(Xx},那么

當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)P(Xx)P()0,當(dāng)0x1時(shí)\F(x)P(Xx)P(X0)

2235

，當(dāng)1x2時(shí)，

F(x)P(Xx)P(X0)P(X1)

223512353435

，當(dāng)x2時(shí)，

F(x)P(Xx)

P(X0)P(X1)P(X2)22121

.353535

1

綜合上述情況得

0x0;2235

0x1;隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：F(x)34

1x2;

351

x2.

4.e1.

14

P

k1klimakelleklelela111e

ae1

5.(1)0.0729；(2)0.00856；(3)0.99954；(4)0.40951.設(shè)X表示設(shè)備被使用的

個(gè)數(shù)

則X飛5,0.1

2C520.10.90.072923(1)PX

(2)

PX3PX3PX4PX5

3二C50.10.9C540.10.9C550.10.9324150

15=0.00856(3)PX31PX

(4)

PX11PX54PX5二1C540.10.9C50.1=0.99954

40=1C500.9=0.409515

6.(1)0.321；(2)0.243.

設(shè)X為甲投籃中的次數(shù)，Y為乙投籃中的次數(shù)，則

(1)

PXYPXkPYkC3k0.60.4

kOk033k3kC3k0.70.3k3k0.32076

(2)

PXYPXkPXk

k1

33

PXkPYh

k1

3hOhk

C

klk30.60.4C3h0.70.3h0k3khkh3h

1232131211

C3C300.3C30.70.30.60.4C300.3C320.60.4

33122131C3C300.3C30.70.3C320.70.30.6

0.243

15

7.(1)1

70；(2)猜對(duì)3次的概率約為3104,這個(gè)概率很小，根

據(jù)實(shí)際推斷原理，可以認(rèn)為他確有區(qū)分能力.

(1)所求概率為：114C870

1飛10,70(2)令試驗(yàn)10次中成功次數(shù)為X,則X

167PX3C310470703

1037

猜對(duì)3次的概率約為3104,這個(gè)概率很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，可以認(rèn)為他確有區(qū)分

能力.

8.(1)e；(2)1e.

設(shè)X服從泊松分布，其分布率為：

t2et2PXk,2k!kt3252

03323e32e2(1)PX0,20!

525e5521e2(2)

PX1,1PX0,1220!05

9.解：此題為P=0.005的n重伯努利試驗(yàn)，設(shè)X為同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則

(1)設(shè)需要配備x個(gè)維修工人，設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)排除的事200

P{Xx}kX~B(200,0.005),P{Xk}C200(0.005)k(l0.005)200k

件是{X

x},即kx1Ck200(0.005)k(l0.005)200kl6

而由于n=200,P=0.005,所以可以用泊松分布近似替代二項(xiàng)分析，入=叩=1。

查泊松分布表得x15,求得x4,即配備4人即可。X~B(40,0.005),

P{Xk}Ck(0.005)k(l0.005)40k

40P{Xx}0.Ole1P{Xx}0.01kxIk!

(2)

因維修工人只有一個(gè)，設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)排除的事件是{X2},則有

P{X2}1P{X2}1P{X0}P{X1}

1(0.995)40400.0050.99539(0.2)0e0.2(0.2)e0.210!l!

11.2e0.20.0175

(3)由于是2人共同維修100臺(tái)設(shè)備，這里n=100,P=0.005,A=np=O.5,則有

設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)排除的事件是{X

kX"B(100,0.005),P{Xk)C100(0.005)k(l0.005)100k3),所以17

P{X3}1P{X3}1P{X0}P{X1}P{X2}(0.5)0e0.5(0.5)le0.5(0.5)

2e0.510!l!2!131e0.50.01448

10.0.2.

20.520.1P20.1x20.52220x'u20,22

11.(1)ln20.69315,1,Ini.250.22314；(2)

12.(1)

(2)

(3)a1,b1；2x1,，當(dāng)1xef(x).0,其它x2f(x)xe,x0；

XFF

21n421n211111e2e2eln4eln4ln2ee424

1e222

13.(1)F(x)2x

0,x124,1x2；xl,x2

x當(dāng)x1時(shí)，，f(x)0,所以，F(xiàn)(x)Odt0；

當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2(1l/x2),所以，18

F(x)lOdtx

2(1l/t2)dt2tx

1

2/t

12x2/x4.

當(dāng)x1時(shí)，f(x)0,所以F(x)1

2

Odt12(1l/t2)dt2t2/t211綜合上述得:

0,xIF(x)

2x

2

x4,1x2.1,x2

0,x0

x2

(2)

,0F(x)2

2x1x2x1,1x22

lx2當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,所以，F(xiàn)(x)x

Odt0；當(dāng)2

0x1時(shí)，

f(x)x,所以，F(xiàn)(x)0

Odtx

tdttx

0

2

x22

當(dāng)1x2時(shí)，f(x)=2x,所以,

(x)0

Odt1

tdt+x

22t2

Fl

2ttx

Oltdt

2

2

1

2

2

12xx

2122

2

x

2+2x1當(dāng)x2時(shí)，f(x)0,所以,

F(x)0

Odt1

2

t2

1

Otdt+12tdt+Odt

2

2tt22

2

1

2

122222

21

21

綜合上述得:

0,x0F(x)x2

2,0x1x2

2x1,1x22

lx219

501001et241,t014.FT(t)；P{50T100}e241e241.0,其他

當(dāng)t0時(shí),fT(t)0,所以，F(xiàn)T(t)Odx0；FT⑴二t

tfT(x)dxOdx01x241edxext01et024It

P{50T100}FT100FT50e50

241e100

241

15.0.9547.

當(dāng)x1000時(shí)，f(x)0,所以,F(x)Odt0；當(dāng)x1000時(shí),f(x)1000,所

以x2

1000x10001000x1000,F(x)Odt110001000t2txx器件的壽命X大于

1500小時(shí)的概率：

10002pPX15001/p>

設(shè)k為器件的壽命X大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù),至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率

2112Pk21Pk0Pk11CC53

330

5051110.00410.04120.9547

34

16.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,所以，F(xiàn)(x)Odt0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)

F(x)Odt0x0x1x/5e,所以5x01t/5edtet/5

51ex/5,

分布函數(shù)：

1ex/5

F(x)Ox0其他

某顧客離開的概率：

pPX101F1011e10/5e2以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服

務(wù)而離開窗口的次數(shù)，則20

Y?B(5,e2),即P{Yk}C5ke2k(le2)5k,k0,1,2,3,4,5；

PY01e250.4833

PY1Cie21e24

50.3782

PY2C2e221e23

50.1184

32322PY3C5e1e0.0185

PY4C4242

5e1e0.0015

PY5e254.54105

P{Y1}1P{Y0}0.5167

17.(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3；(3)

(1)

P{2X5}=P2-3x353532-3

2x222

10.50.841310.69150.5328P{-4X10}=P-4-

3x3103-4310-3

2x222

3.53.50.999810.99980.9996P{X2}=PX2,X2

=Px323x

x323

2Px2

2.510.510.99380.69150.6977P{X3}=Px

3

x33

21010.50.5P{Xc}P{Xc}

Px3c3x3c3

22P22

1

⑵c3

2c3

2

c3

20.5

c3

20

c3

d0.42.21

(3)因?yàn)镻{Xd}0.9,則

P{Xd}1P{Xd}1F(d)1(d3)0.92

即d3d3d33d0,那么0.1,可知

10.12222所以查表得，d0.42。

18.應(yīng)允許最大為31.25.根據(jù)題意，X160

~N0,1，所以有,

P120X200200160

120160

240

10.80即40

0.91.28,從而40

1.28,31.25

故允許最大為31.25.

19.129.8.根據(jù)題意,X110

12~N0,1,所以有，

P{Xx}1x110

120.05即x110x

120.951.65,從而110

121.65.x129.8

20.0.682.

題意，考生外語(yǔ)成績(jī)

X~N(,2),

其中72,且P{X96)0.023

于是：P{X96}1P{X96)10.0230.977又P{X96}①(96

)①(9672

)中(24

)

22

①(24

)0.977

查表知：①(2)0.977

由①(x)的單調(diào)增加性，得242,12

因此,X~N(72,122)

故

P{60X84}①(84726072)①()①⑴0(1)0(1)[1①⑴]2①

(1)11212

查表得①(1)0.841,

故P{60X84}20.84110.682

21.184厘米.

設(shè)車門的最低高度h根據(jù)題意，X170~N0,1,所以有，6

h170PXh10.016

即h170h1700.992.33,從而2.33,h18466故車門的最

低高度h為184.

22.(1)

處理后立即得到Y(jié)的分布率

(2)

23

處理后立即得到Y(jié)的分布率

23.(1)

PX1F1x1F(x1)0.3

PX1F1x2F(1x1)0.80.30.5

PX2Fx2F1x210.8

0.2

(2)

處理后立即得到Y(jié)的分布率

12e

x22

(x),Y2X1的分

24.(1)X的密度函數(shù)為fX(x)

布函數(shù)為

FY(y)P(Yy)P(2X1y)P(X

y1

)2

y12

fX(t)dt,y

FY(y)0,y0

24

y12

)2

2(

所以Y2X1的密度函數(shù)為

(y1)2/8

fY(y)X的密度函數(shù)為fX(x)

fY(y)

1.,y2

故

(2)

12

e

x22

(x),Ye

X

的分

布函數(shù)為

FY(y)P(Yy)P(e

-X

y)P(XIny)

Iny

fX(t)dt,y0

FY(y)0,y0

所以YeX的密度函數(shù)為

1(lny)2/2

e,

fY(y)2y

0,

(Iny)1

2.,y0fY(y)y

0,y0

2

yOy0

x22

(3)函數(shù)為

X的密度函數(shù)為fX(x)

12

e

(x),YX

2

的分布

FY(y)P(Yy)P(X2y)P(X

fX(t)dtfX(t)dt,y0

所以YX2的密度函數(shù)為

y/2,fY(y)0,

2y0

fY(y)

0,y0

yOy0

1

,0xf(x)

0,x0,x

25.X的密度函數(shù)為

25

⑴設(shè)Y21nX,則有

x

FY(x)P(Yx)P(21nXx)P(Xe)

x2

x2

x2

e2

fX(t)dto

fX(x)0

所以fY(x)efX(e),因此當(dāng)x0及x時(shí)，由

fY(x)0；

知

當(dāng)0x時(shí)，由fX(x)1知fY(x)

ly/2

e,所以所求密度函數(shù)為2

ly/2

e,y21n

;fY(y)2

21ny0,

(2)設(shè)YcosX,由于在(0,)區(qū)間上cosX是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，則有

fY(y)fX(arccosx)(arccosx)

1

y

2

，當(dāng)1y1時(shí)；

所以所求密度函數(shù)為：

1

,1y12fY(y)y

0,其他

⑶當(dāng)0y1時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(sinxy)

P(0Xarcsiny)P(arcsinyX)

arcsiny

1

dx

arcsiny

1

dx

2arcsiny

2

,0y1

fY(y)y2.

0,其他

習(xí)題三參考答案

26

1.

3.128

P{xlXx2,ylYy2}=Fx2,y2Fx2,ylFxl,ylFxl,y2

P{1X2,3Y5)=F3,5F2,3F1,3F1,5

=12225225122232231212321

3121252153128

2.(1)有放回摸取時(shí)的分布律為

P{X0,Y0}

3355,P(X0,Y1}32

55P(X1,Y0)

2355,P{X1,Y1}22

55

(2)無(wú)放回摸取時(shí)的分布律為

P{X0,Y0}P2

332

P2

P{X0,Y1}

5

P25

P{X1,Y0}23

P22P2,P{X1,Y1}P2

5

5

3.(1)有放回摸取時(shí)，(X,Y)的邊緣分布律為

27

(2)無(wú)放回摸取時(shí)，(X,Y)的邊緣分布律為

此結(jié)果說(shuō)明不同的聯(lián)合分布律可以確定相同的邊緣分布律，因此邊緣分布不能唯?確定聯(lián)

合分布.4.(1)

(

X,Y)的聯(lián)合分布律為

(2)離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x,y)P{Xx,Yy}Fx,ypij

xixyiy

28

0,1,

F(x,y)2

5,61,

x1或y0;1x0,y0;x0,0y1;x0,y1.

5.

因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以

PXx,YyPXxPYy

1111

PX-2,Y-PX-2PY-=

2242

以此類推，得到下表

6.(X,Y)的分布律

29

(1)Y的邊緣分布律P{Y4}p4pl4p24p34p4401001

6

6

由條件分布率

P{Xxi|Yyj)

pijpjpijpi

,i1,2,,j1,2,

P{Yyj|Xxi}

在Y4的條件下，X的條件分布律；

P{X1|Y4}OP{X2Y4}

16

1

0.61

1.61

0.

6P{X3|Y4}

⑵X的邊緣分布律P{X2}p2p21p22p23p240由條件分布率

P{Yyj|Xxi)

pijpi

1110663

，j1,2,

在X2的條件下，Y的條件分布律；

P{Y1|X2}P{Y2|X2}

1

6

1

0.311.321

0.311.32

P{Y3|X2}0P{Y4X2}

16

30

7.(1)1

9；

xy)dxdy

0x1,0a(6y2

=a6xyx1x211

0dy

0y22

a6y1dy

0y22

a6yly212

22y|0

9a

9a=l,a1

9

(2)5

12；Fx,yxy

f(u,v)dudv

1

9xy

006uvdudv

ly12

906x2xvxdv

1

96xy1

2x2y1

2xy2

P{X0.5,Y1.5}=F0.5,1.5F0.5,0F0,0F0,1.55

12

(3)8

27.

8.(1)

f(x,y)2e(2xy),當(dāng)x0,y0時(shí)，

0,其它，

31

F(x,y)yx

f(u,v)dudv

yx(2uv)dudv(1e2x)(1ey),y0,x0002e

0其它

(2)1

3.

P{XY}f(x,y)dxdy

Dxf(x,y)dxdyy

y

002e(2xy)dxdy

Oey[1e2y]dy

Oeydy

Oe3ydy112

33

9.由題意知命中點(diǎn)與靶心(坐標(biāo)原點(diǎn))

的距離為ZZ的分布函數(shù)，

當(dāng)z0時(shí):FzZP

ZzPz0

當(dāng)z0時(shí)，

FzZP

ZzP

z

=f(u,v)dudv

z

1

u2v2z2(1u2v2)2dudv

令xrcos

yrsin,則變換的雅可比行列式為

Jrcosrsin

yysinrcosr,

r

故F2zrlz

zZOd0(121lz2

r2)221r211z21z2

a2

Fza1a2

32

10.(1)

因此(X,Y)的概率密度函數(shù)為：

14,(x0,0y2xl)f(x,y)20,其他14由x軸，y軸以及直線

y2x1所圍成的三角形區(qū)域的面積B

(2)分布函數(shù)為：F(x,y)PX

1

2x,Yy(a)當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x,y)P0

(b)

33

當(dāng)1

2x0時(shí)，

y0時(shí)，f(x,y)0,所以，F(xiàn)(x,y)00y2x1時(shí)，F(xiàn)(x,y)4S2y2xy

梯形4dxdy梯形12

2

y2x1時(shí)，F(xiàn)(x,y)4S4

三角形4dxdyx1

三角形2

(c)

當(dāng)x0時(shí)，

y0時(shí)，f(x,y)0,所以，F(xiàn)(x,y)00y1時(shí)，F(xiàn)(x,y)4dxdy4s梯形

2y1y

梯形2

y1時(shí)，F(xiàn)(x,y)

三角形4dxdy4s三角形1

綜上所述

0,x1或y0;2

y(4x2y),1x0,0y2x1

F(x,y)2;

y(2y),x0,0y1;.(2x1)2,1x0,y2x121

x0,y1.

11.

34

f(x,y)4,(1

2x0,0y2x1)0,其他

fX(x)

f(x,y)dy=2x1

04dy=4(2x1),

y1

fY(y)f(x,y)dx=24dx=2(y1),

所以

1

f4(2x1),x02X(x)；f(y)(1y),0y1；1.

0,2其它Y0,其它12.

f(x,y)3

2xy2,當(dāng)0x2,0y1[1寸，0,其它，ff(x,y)dy=13xy31

2x

X(x)02xydy=2

02,

233x2y22

f2Y(y)f(x,y)dx=02xydx=43y2,

所以

x

f),0x23y2,0ylX(x；f

2Y(y).0,其它0,其它13.

f(x,y)4.8y(2x),當(dāng)0x1,0yx時(shí)，

0,其它，f

X(x)f(x,y)dy=x4.8y(2x)dy=2.4(2x)y2x

002.4x2(2x),

35

xy2

fY(y)f(x,y)dx=4.8y(2x)dx=4.8y(2x)2.4y(32y)y2y2121

所以

2.4x2(2x),0x12.4y(34yy2),0yIfX(x)；fY(y).0,其它0,其

它

14.

由x軸，y軸以及直線y2(1x)所圍成的三角形區(qū)域的面積B1,因此(X,Y)的概率密

度函數(shù)為：

1,0xl,0y21x；f(x,y)0,其他

fY(y)

f(x,y)dx=21x

01dx=21x

fY|X(y|x)=f(x,y)l=fY(y)21x所以

1,0y2(1x)fYX(y|x)2(1x).

其它0,

15.密度函數(shù)

2xyx，當(dāng)0x1,0y2時(shí)，f(x,y)3

0,其它，

22xy2xy222fX(x)f(x,y)dy=xdyxy2xx

03603

12xy111312fY(y)f(x,y)dx=xdx=xxyy

033636012

36

xy

f(x,y)6x22xyfX|Y(x|y)===fY(y)2yy36

xyx2f(x,y)=3xyfY|X(y|x)==fX(x)2x22x6x2

3

1x2

P{Y1

2X1

2]=23y

0=610310y

5dy3y2

227

22lOy10

040

所以

f6x22xy3xyX|Y(x|y)2y；fY|X(y|x)6x2,0x1,0y2.

P{Y117

2X240.

16.(1)

因?yàn)镻X0,Y0PX0PY0PX1,Y0PX1PY0

PX0,Y1PX0PY1PX1,Y1PX1PY1所以X和

Y相互獨(dú)立；

(2)因?yàn)镻X0,Y0PX0PY0所以X和Y不相互獨(dú)立.17.

37

PX11

61

91

181

3

PX2112

33

若X、Y獨(dú)立,則

PX2,Y2PX2PY2PY2二PX1,Y2

PX111

93=1

3

PX2,Y2=PY2PX1,Y2112

39=9

同理可得

PX2,Y3PX2PY3PY3=PX1,Y311

PX1183=1

6

PX2,Y3=PY3PX1,Y31

611

18=9

a2

9；b1

9.

18.習(xí)題12中

3

f(x,y)2xy2,當(dāng)0x2,0y1時(shí)，0,其它，