【摘

要】模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。建立模型的過程其實就是將實際問題數(shù)學(xué)化、同類問題模型化的過程，這個過程一般需要通過數(shù)學(xué)化的多表征來實現(xiàn)。教師結(jié)合人教版教材三年級上冊“歸一問題”的應(yīng)用練習(xí)，對數(shù)學(xué)表征在學(xué)生模型意識發(fā)展中的應(yīng)用及意義進行分析和實踐，通過“從情景表達(dá)到關(guān)系理解，借助語言表征感受模型；從數(shù)據(jù)分析到圖式表達(dá)，借助圖像表征理解模型；從文字表述到操作活動，借助動作表征具化模型；從形象表述到抽象表達(dá)，借助形式表征感悟模型”，引導(dǎo)學(xué)生在解決“歸一問題”的過程中，經(jīng)歷不同的表征體驗，豐富對數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，在幫助學(xué)生解決問題的同時，發(fā)展其模型意識?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)表征；模型意識；歸一問題《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）指出：模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。應(yīng)用模型意識的基本途徑是知道利用數(shù)學(xué)模型來解決同一類問題，然后有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法解釋或解決現(xiàn)實生活中大量與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題。因此，建立模型的過程其實就是將實際問題數(shù)學(xué)化、同類問題模型化的過程。要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，要引導(dǎo)學(xué)生將情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在所要建立的數(shù)學(xué)模型與自身已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知之間建立聯(lián)系，而這個過程一般需要通過數(shù)學(xué)化的多元表征來實現(xiàn)。一、數(shù)學(xué)表征在發(fā)展學(xué)生模型意識中的意義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對概念、法則、運算等方面的學(xué)習(xí)，既包括內(nèi)隱的心理層面的知識整合與建構(gòu)，也包括外顯的能夠呈現(xiàn)認(rèn)知過程和認(rèn)知結(jié)果的多樣化數(shù)學(xué)表達(dá)，這些過程即為數(shù)學(xué)表征。學(xué)生只有獲得這兩個方面的體驗，才能真正掌握知識的學(xué)習(xí)。根據(jù)數(shù)學(xué)表征中的不同要素，可以將數(shù)學(xué)表征分為直觀形象表征和抽象形式表征兩類。直觀形象表征一般包括動作表征、情景表征、圖像表征等，抽象形式表征則一般包括符號表征、算式表征、結(jié)構(gòu)圖表征等。不同的數(shù)學(xué)表征體現(xiàn)著學(xué)生對問題理解和解決過程的結(jié)構(gòu)化表達(dá)水平，反映了他們不同的思維狀態(tài)與水平。在教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注各種表征方式的特點，結(jié)合問題關(guān)聯(lián)不同的表征方式，幫助學(xué)生從整體上把握解決問題的關(guān)鍵點，建構(gòu)起相關(guān)問題的數(shù)學(xué)模型。2022年版課標(biāo)提出發(fā)展小學(xué)生的模型意識，強調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用模型或解決問題的過程，從而獲得建構(gòu)模型的經(jīng)驗。學(xué)生要發(fā)展的模型意識一般會涉及模型的豐富表達(dá)形式——外在表征、模型的心理表達(dá)（表象）形式——內(nèi)在表征，以及內(nèi)外表征之間的轉(zhuǎn)化。因此，要將2022年版課標(biāo)提出的目標(biāo)要求落實到教學(xué)實踐中，需要教師在學(xué)生建構(gòu)模型的過程中，將多種表征有機融合起來，發(fā)揮各種表征特有的認(rèn)知、感悟價值，助力學(xué)生模型意識的發(fā)展。本文結(jié)合人教版教材三年級上冊“歸一問題”的應(yīng)用練習(xí)，對數(shù)學(xué)表征在學(xué)生模型意識發(fā)展中的應(yīng)用及意義進行分析和實踐。二、數(shù)學(xué)表征在“歸一問題”模型建構(gòu)中的應(yīng)用“歸一問題”是指含有“歸一”數(shù)量關(guān)系的問題，這類問題中，每份量是一定的，總量與數(shù)量成正比例關(guān)系。解答“歸一問題”時，在用除法求出每份量后，若通過“每份量×數(shù)量”求總量即為“正歸一”，若通過“總量÷每份量”求數(shù)量則為“反歸一”?！皻w一問題”是一種典型的問題解決數(shù)學(xué)模型，是小學(xué)階段理解數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，分析和解決問題的重要內(nèi)容。三年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“歸一問題”后，積累了較為豐富的收集信息、分析信息的能力，并能利用“畫圖”等方式理解“歸一問題”的基本特征。下面，筆者結(jié)合相應(yīng)的練習(xí)，從數(shù)學(xué)表征的角度對“歸一問題”模型的建構(gòu)與應(yīng)用過程進行分析和實踐。（一）從情景表達(dá)到關(guān)系理解，借助語言表征感受模型語言表征即利用口頭語言描述模型結(jié)構(gòu)的表征方式。將現(xiàn)實生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是建立“歸一問題”模型的起點，這要求學(xué)生利用自己的語言把現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過口頭表達(dá)對情境中的“歸一問題”結(jié)構(gòu)進行闡述。在這一過程中，學(xué)生需要對情景問題中的信息進行觀察、思考、分析和處理，這是感知“歸一問題”模型的基礎(chǔ)。問題：三個小朋友一起到商店買吉祥物“冰墩墩”。丁丁要買3個，紅紅要買5個，明明要買7個。已知3個冰墩墩的價格是24元，求出5個、7個冰墩墩的價格，以及88元可以買幾個冰墩墩（如表1）。針對這個問題，學(xué)生能理解“先求1個冰墩墩的價格，再求出幾個冰墩墩的價格或能買幾個冰墩墩”的解題過程。但僅僅停留在求解層面，對學(xué)生理解“歸一問題”模型是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。教師需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言把解決問題的關(guān)鍵點表述出來，強化學(xué)生對“歸一問題”模型結(jié)構(gòu)的感知。教學(xué)中，教師要在學(xué)生解決相應(yīng)問題后，組織學(xué)生討論：解答“5個、7個冰墩墩的價格”和“88元可以買幾個冰墩墩”這兩個問題的思考過程有什么相同的地方？學(xué)生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)：解決這兩類問題都要先算出冰墩墩的單價。這一學(xué)習(xí)過程引導(dǎo)學(xué)生通過口頭交流，借助語言表征的方式凸顯解決問題的關(guān)鍵點，體現(xiàn)“歸一問題”中“一份量”的重要性。（二）從數(shù)據(jù)分析到圖式表達(dá)，借助圖像表征理解模型受認(rèn)知水平和思維方式的局限，小學(xué)生的抽象思維能力較弱，他們需要借助圖形等直觀形象進行表征，由此理解模型。對三年級學(xué)生來說，“歸一問題”的結(jié)構(gòu)比較抽象，且由于提供的數(shù)據(jù)不同，會產(chǎn)生不同的模型結(jié)構(gòu)（正歸一、反歸一），這給一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困難。因此，教師在課堂上要引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式對問題進行結(jié)構(gòu)化表達(dá)，從而讓學(xué)生理解“歸一問題”模型的基本結(jié)構(gòu)。問題：王阿姨4分鐘包了128個餛飩。照這樣的速度，王阿姨8分鐘能包多少個餛飩？在探究這一問題的過程中，教師要鼓勵學(xué)生用文字或畫圖的方式將自己的想法表達(dá)出來。學(xué)生的想法主要有以下兩種。第一種（如圖1）：先算1分鐘包多少個餛飩，再算8分鐘可以包多少個餛飩，即先算“一份量”，再求“總量”。第二種（如圖2）：學(xué)生發(fā)現(xiàn)8分鐘里面有2個4分鐘，于是利用時間的倍數(shù)關(guān)系，把“4分鐘包了128個餛飩”看作“一份量”，算這樣的2份，就是8分鐘包的餛飩數(shù)。學(xué)生通過畫圖的方式對包餛飩的情境進行“轉(zhuǎn)譯”，發(fā)現(xiàn)要解決“8分鐘包多少個餛飩”的問題，既可以“先算1分鐘包多少個餛飩，再算8分鐘可以包多少個餛飩”，又可以“先把4分鐘包128個餛飩看作1份，再算2份可以包多少個餛飩”。雖然這兩種方法不同，但它們都是在思考“一份量”是多少，再在此基礎(chǔ)上算出“總量”。在畫圖的過程中，學(xué)生能夠通過具象化的“圖像表征”，直觀感受到“歸一問題”的多樣結(jié)構(gòu)，豐富對此類數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知。（三）從文字表述到操作活動，借助動作表征具化模型動作表征是指通過動作反應(yīng)對知識進行表征。有些數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建需要通過動作表征進行描述，而一些復(fù)雜問題同樣需要通過操作活動，借助動作表征來理解數(shù)量關(guān)系，從而厘清解決問題的關(guān)鍵點?！皻w一問題”中也有一些相對復(fù)雜的問題，需要學(xué)生借助操作活動厘清關(guān)系，并將數(shù)學(xué)模型具體化，進而解答問題。問題：周末，小聰和小明兩家人去美術(shù)館參觀。已知2名成人和1名兒童需要門票25元?，F(xiàn)在有4名成人和2名兒童，需要門票多少元？在這個問題中，由于成人與兒童的門票價格不同，學(xué)生不能算出成人門票和兒童門票的單價，這給他們解決此問題帶來了困難。此時，教師在黑板上呈現(xiàn)人物圖片，讓學(xué)生用這些材料進行操作活動。學(xué)生通過操作，發(fā)現(xiàn)可以把2名成人和1名兒童看作一個整體，那么4名成人和2名兒童就可以組成2個這樣的整體，此時再解決這個問題就簡單多了。解決買票問題的關(guān)鍵是要把“每份量”從一個、一組上升到多個對象組成的整體。因此，教師要利用可以移動的圖片，引導(dǎo)學(xué)生在操作活動中感受數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)，豐富“歸一問題”的模型結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生積累解決“歸一問題”的活動經(jīng)驗。（四）從形象表述到抽象表達(dá)，借助形式表征感悟模型所謂形式表征，就是運用符號、數(shù)字及結(jié)構(gòu)化的圖式來表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。學(xué)生在構(gòu)建“歸一問題”的模型時，往往只記表象不知內(nèi)涵。這是因為“歸一問題”的外顯特征比較容易識別，結(jié)構(gòu)中隱含的本質(zhì)屬性卻不易發(fā)現(xiàn)。所以教師要幫助學(xué)生經(jīng)歷符號、數(shù)字以及結(jié)構(gòu)化圖式等形式表征的過程，讓他們發(fā)現(xiàn)不同情境問題中的相同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，理解“歸一問題”的本質(zhì)屬性。這一過程不是在某個環(huán)節(jié)中能夠完成的，而是要體現(xiàn)在整節(jié)課的教學(xué)過程中。比如，學(xué)生解決了“買冰墩墩”“包餃子”等問題后，既有了把現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為自己的語言來理解的經(jīng)驗，又有了利用圖像表達(dá)現(xiàn)實情境、理解圖式與現(xiàn)實情境之間關(guān)系的經(jīng)驗。此時，教師要將解決這些問題的算式以及思考過程中的關(guān)鍵點呈現(xiàn)在黑板上，圍繞這些學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識之間的關(guān)聯(lián)點，并借助符號、數(shù)字以及結(jié)構(gòu)化的工具進行整理歸納，形成思維過程的結(jié)構(gòu)化。如圖3所示，圖中的算式與圖式關(guān)系都是在分析基礎(chǔ)上得到的。學(xué)生通過對黑板上內(nèi)容的觀察、思考、比較、聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)“歸一問題”中的“一”可以是一個的量，可