3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)

課主要學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

從知識(shí)上講，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析法的進(jìn)一步運(yùn)用，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的

基礎(chǔ)；從方法上講，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓.錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；從

教材編排上講，.現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨(dú)編一章，更突出了橢圓的重要地位.因此本節(jié)課有承前

啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.是幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中

得到了充分體現(xiàn)。

3標(biāo)與根心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1.數(shù)學(xué)抽象：曲線與方程的關(guān)系

B.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)2.邏輯推理：曲線的方程與方程的曲線的關(guān)系

準(zhǔn)方程.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)條件求曲線的方程

C.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用方程研究曲線的性質(zhì)

用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

難點(diǎn)：運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題

課前發(fā)備

多媒體

敢學(xué)過(guò)會(huì)

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

、情境導(dǎo)學(xué)

橢圓是圓錐曲線的一種具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研生產(chǎn)和人

類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么橢圓到底有怎樣的幾何性質(zhì)，我們

該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)通過(guò)具體的情

奠定基礎(chǔ)。景，讓學(xué)生對(duì)橢圓有

一個(gè)直觀的印象，同

時(shí)類比圓的定義，抽

象出橢圓的幾何定

義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

二、探究新知

象，直觀想象的核心

取一條定長(zhǎng)的細(xì)線，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)套上

素養(yǎng)。

鉛筆拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是一個(gè)

圓。如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點(diǎn)

F,F,套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

12

在這一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的和等于的

點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這叫做橢圓的焦點(diǎn)，叫

做橢圓的焦距，焦距的—稱為半焦距.

常數(shù)（大于%工I）；兩個(gè)定點(diǎn)；兩焦點(diǎn)間的距離；一半

思考：（1）橢圓定義中將“大于|人仍|"改為“等于尸1歹2『的常數(shù)，其他條

件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

⑵橢圓定義中將“大于尸1&I”改為“小于舊碼”的常數(shù)，其他條件不變,

動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

［提示］(1)點(diǎn)的軌跡是線段尸1尸2.

(2)當(dāng)距離之和小于甲1&I時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.

觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形

式簡(jiǎn)單？

一般地，如果橢圓的焦點(diǎn)為&頹，焦距為2c,而且橢圓上的

動(dòng)點(diǎn)P滿足，IPF/+|PF2l=2a其中a>c>0.以F/2所在直線為x

軸，線段的垂直平分線為y軸，

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)分別為

&三C-c,O)W2(c,0)

運(yùn)用解析法，求

J(久+c)2+y2+—c)2+y2=2a.①

為飛化簡(jiǎn)方程我們將其左邊一個(gè)根式移到右邊,得得出橢圓的方程，獲得

222

+c)+y=2a——c)2+y.@橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。幫

對(duì)方程②兩邊平方，得

2222222助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)

(x+c)+y=4a—4aA/(x—c)+y+(x—c)+y

整理，得a?-cx=aj(x—c)2+y2③

數(shù)形結(jié)合的思想方

對(duì)方程③兩邊平方，得

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)

整理得(。2—c2)x2+a2y2_a2(a2—c2)④

算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

將方程④兩邊同除以a2(a2-c2),得

建模的核心素養(yǎng)。

2-,2

2v+三=l⑤

a"az-cz

由橢圓的定義可知2a>2c>0,BPa>c>0,所以小―c?>o.

觀察圖，你能從中找出表示a,C,"l2-c2的線段嗎？

4-

由圖可知，\PF\=\PF\=a,\OF\=\PO\=y/a2-c2

r2r\OF2\=C,

令b=P0\=Vet2-C2,那么方程⑤就是

返.9=1（a

；9+i>b>0）⑥

稱焦廣；在%軸上白勺橢圓方程.

設(shè)才陶?qǐng)A的唐/?為F］和Fz，焦距為2C,而且橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P滿足

IPF1I+\PF2\=2a,其中a>c>0.以&&所在直線為y軸，線段的垂直

平分線:為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時(shí)：

（1）ffi）圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么？

話通過(guò)提

（2）侏+冬=1（a>b>0）來(lái)得到此時(shí)橢圓方程的形式？

通過(guò)典型例題，

掌握根據(jù)橢圓的定

義求出其方程的基

個(gè)K本方法，即待定系數(shù)

法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建

旺江

獲十記=1（a>k>0）,稱焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程.

模，數(shù)形結(jié)合，及方

2.橢圓白勺標(biāo)準(zhǔn)方程

程思想，發(fā)展學(xué)生邏

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上輯推理，直觀想象、

標(biāo)準(zhǔn)2222數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)

o1o_L〈QUU)^~2+=1(a>b>0)

方程abr

算的核心素養(yǎng)。

Vk

*H一

圖形

<20^/x

焦點(diǎn)

個(gè)，。%（c,o）外。，叫（。，0

坐標(biāo)

a,b,c

222

的關(guān)b=a-c

系

1.a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

AE+片=1BE+@=1

36353635

C.^+^=l口.過(guò)+片=1或片+￡=1

36136353635

2.橢圓?+產(chǎn)=1上一點(diǎn)p到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦

點(diǎn)的距離為()

A.5B.6C.7D.8

3.橢圓4^+9/=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(±V5,0)B.(0,±V5)C.(±^,0)D.(士親0)

解析：(1)易得為D選項(xiàng).

(2)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，若|尸尸|=2,

121

結(jié)合橢圓定義IP尸\+\PF|=10,可得|P尸|=8.

212

(3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+單=1,

19

???層=；/2=?..02=〃262=：一［=白且焦點(diǎn)在X軸上，

494936

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土，,0).

(3)V橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+［=1,；.a2=Q2三，

49

.\c2=a2-b2=^一g=白且焦點(diǎn)在x軸上，

4936

...焦點(diǎn)坐標(biāo)為(士F，0)

三、典例解析

例1求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為死(一4,0),F2(4,0),并且橢圓上一點(diǎn)P與

兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；

(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,—2),(0,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3陋)；

(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,—也)，(一1，書目.

［解］(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，且c=4,2a=10,所以。=5,

__________72

6=4°2一,2=425—16=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為芯+1=1.

22

(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為方+齊=1(。

法一：由橢圓的定義知2a=^4-02+3r(2+22)+

^/4-02+3r(2-22)=12,

解得〃=6.又。=2,所以。

27

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為芯+以=1.

法二：因?yàn)樗髾E圓過(guò)點(diǎn)(4,3的，所以寫+捐=1.

又，=〃2—匕2=4,可解得次=36,戶=32.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為專+5=1.

JO32

22

(3)法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+，=l(a>6>0).

停十微=1，P=8,

由已知條件得j1M解得]〃=4

隙+462-1,

22

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+9=1.

O4

27

若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方+本=1(。>6>0).

通過(guò)圓與圓位置

由已知條件得1解得?,'關(guān)系的綜合問(wèn)題，提

±,14_,"4.

〔〃十4尸卜升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)

則與。>6>0矛盾，舍去.形結(jié)合，及方程思

22想，發(fā)展學(xué)生邏輯推

綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為菽+9=1.

o4

理，直觀想象、數(shù)學(xué)

法二：設(shè)橢圓的一般方程為B>o,A加).分別將

抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2,-^2),1—1,唱代入橢圓的一般方程，得

核心素養(yǎng)。

4A+2B=1,k=:，

\,14解得《，

[A+P=L卜4

92

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為菠+3=1.

o4

用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟

(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在X軸上，還是在y軸上，還

是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能.

7272

(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程a+5=l(a>b>0)或3+5=l(a>

6>0)或整式形式盯2=1(m>0,n>0,m^n).

(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于〃，b,c(或相，a)的方程組.

(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求.

22

跟蹤訓(xùn)練1.求與橢圓會(huì)+》=1有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,仃)的

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

［解］法一：因?yàn)樗髾E圓與橢圓*+5=1的焦點(diǎn)相同，所以其焦

點(diǎn)在X軸上，且，=25—9=16.

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為提+奈=13>>>0).

因?yàn)椋?16,且，=〃2—廬，故次―。2=］6①.

02

又點(diǎn)(3,行)在所求橢圓上，所以表+錯(cuò)誤!=1,

Q15

即”+京'=1②.由①②得。2=36,廿=20,

y22

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+勃v=1.

22

法二：由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為放士+冊(cè)=1.

ZD1Zy\Z

又橢圓過(guò)點(diǎn)(3,店)，將無(wú)一3,y—小代入方程得,〈Li+oE1-1,

ZD1ZyiZ

72

解得九=11或入=—21(舍去).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為石+東=1.

92

例2(1)已知尸是橢圓?+*=1上一動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段

4o

。尸中點(diǎn)Q的軌跡方程為______________.

(2)如圖所示，圓C：。+1)2+/=25及點(diǎn)A(l,0),。為圓上一點(diǎn)，AQ

的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

［思路探究］(1)點(diǎn)Q為0P的中點(diǎn)今點(diǎn)Q與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系n代入

法求解.

(2)由垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義進(jìn)行求解.

(1)/+］=1

［設(shè)。(x,y),尸(xo,加)，由點(diǎn)。是線段。尸的中點(diǎn)

矢口XQ2x,yo=2y,

又乎+￥=1，所以亨+占=1，即/+3=11

⑵［解］由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ|=|MA|,

：.\CM\+\MA\^\CM\+\MQ\^\CQ\,

：.\CM\+\MA\^5.

.?.點(diǎn)M的軌跡為橢圓,其中2a=5,焦點(diǎn)為C(—1,0),A(l,0),：.a=

C=1,.?.爐=。2-02=學(xué)一1=,.

所求點(diǎn)M的軌跡方程為《+5=1,即蕓+年=1.

TT

1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代

入法，本例(1)所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法.

2.對(duì)定義法求軌跡方程的認(rèn)識(shí)

如果能確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利

用這種已知曲線的定義直接寫出其方程,這種求軌跡方程的方法稱為

定義法.定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問(wèn)題中被廣泛使用，

是一種重要的解題方法.

3.代入法(相關(guān)點(diǎn)法)

若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與另一個(gè)已知曲線C：F(x,y)=0上

的動(dòng)點(diǎn)。(xi，")存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)。的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)

表示出來(lái)，然后代入已知曲線C的方程/尤，y)=0,化簡(jiǎn)即得所求

軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法).

跟蹤訓(xùn)練2.已知x軸上一定點(diǎn)A(l,0),Q為橢圓器+產(chǎn)=1上任一

點(diǎn)，求線段A。中點(diǎn)M的軌跡方程.

［解］設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(%,y),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(孫，州).

xp+1

%2，fxo=2,x—19

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

_lo??50=2乂

尸2，

*.*泗)在橢圓，+產(chǎn)=1上，，普+y3=l.

2x—I2

將W=2x—1,yo=2y代入上式，得一—+(2y)2=l.

2

故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是。一9+4/=1.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.橢圓*+y2=i上一點(diǎn)尸到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)P到另一個(gè)通過(guò)練習(xí)鞏固本

焦點(diǎn)的距離為（）節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)

A.5B.6C.7D.8學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)

D［根據(jù)橢圓的定義知，尸到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)

20-2=2x5-2=81算、邏輯推理、直

2.已知橢圓4/+外2=4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0』），則實(shí)數(shù)上的值

觀想象、數(shù)學(xué)建模

是（）

的核心素養(yǎng)。

A.1B.2C.3D.4

2長(zhǎng)

B［橢圓方程可化為由題意知j

km=i，

解得k=2.］

y2

3.若方程5+產(chǎn)7=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________.

m2m~1

心;且加#11［由方程=+0'=1表示橢圓，得

1/JLm2m~1

m>0,

<2m—1>0,解得加>3且加？L］

\jni=2m