習題3-1

1.驗證羅爾定理對函數(shù)y=lnsinx在區(qū)間上的正確性.

解因為y=lnsinx在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導,且,所以由羅爾定理知,至少存在一點,使得y(x)=cotx=0.

由y(x)=cotx=0得.

因此確有,使y(x)=cotx=0.

2.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)y=4x3-5x2x-2在區(qū)間[0,1]上的正確性.

解因為y=4x3-5x2x-2在區(qū)間[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理知,至少存在一點x(0,1),使.

由y(x)=12x2-10x1=0得.

因此確有,使.

3.對函數(shù)f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在區(qū)間上驗證柯西中值定理的正確性.

解因為f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在區(qū)間上連續(xù),在可導,且F(x)=1-sinx在內(nèi)不為0,所以由柯西中值定理知至少存在一點,使得

.

令,即.

化簡得.易證,所以在內(nèi)有解,即確實存在,使得

.

4.試證明對函數(shù)y=px2qxr應用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間.

證明因為函數(shù)y=px2qxr在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理,至少存在一點x(a,b),使得y(b)-y(a)=y(x)(b-a),即

(pb2qbr)-(pa2qar)=(2pxq)(b-a).

化間上式得

p(b-a)(ba)=2px(b-a),

故.

5.不用求出函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的導數(shù),說明方程f(x)=0有幾個實根,并指出它們所在的區(qū)間.

解由于f(x)在[1,2]上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導,且f(1)=f(2)=0,所以由羅爾定理可知,存在x1(1,2),使f(x1)=0.同理存在x2(2,3),使f(x2)=0;存在x3(3,4),使f(x3)=0.顯然x1,x2,x3都是方程f(x)=0的根.注意到方程f(x)=0是三次方程,它至多能有三個實根,現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)它的三個實根,故它們也就是方程f(x)=0的全部根.

6.證明恒等式:(-1x1).

證明設f(x)arcsinxarccosx.因為

,

所以f(x)C,其中C是一常數(shù).

因此,即.

7.若方程a0xn+a1xn-1++an-1x=0有一個正根x0,證明方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2++an-1=0

必有一個小于x0的正根.

證明設F(x)=a0xn+a1xn-1++an-1x,由于F(x)在[0,x0]上連續(xù),在(0,x0)內(nèi)可導,且F(0)=F(x0)=0,根據(jù)羅爾定理,至少存在一點x(0,x0),使F(x)=0,即方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2++an-1=0

必有一個小于x0的正根.

8.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù),且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中ax1x2x3b,證明:

在(x1,x3)內(nèi)至少有一點x,使得f(x)=0.

證明由于f(x)在[x1,x2]上連續(xù),在(x1,x2)內(nèi)可導,且f(x1)=f(x2),根據(jù)羅爾定理,至少存在一點x1(x1,x2),使f(x1)=0.同理存在一點x2(x2,x3),使f(x2)=0.

又由于f(x)在[x1,x2]上連續(xù),在(x1,x2)內(nèi)可導,且f(x1)=f(x2)=0,根據(jù)羅爾定理,至少存在一點x(x1,x2)(x1,x3),使f(x)=0.

9.設ab0,n>1,證明:

nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b).

證明設f(x)=xn,則f(x)在[b,a]上連續(xù),在(b,a)內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理,存在x(b,a),使

f(a)f(b)f(x)(ab),即an-bn=nxn-1(a-b).

因為nbn-1(a-b)<nxn-1(a-b)<nan-1(a-b),

所以nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b).

10.設ab0,證明:

.

證明設f(x)lnx,則f(x)在區(qū)間[b,a]上連續(xù),在區(qū)間(b,a)內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理,存在x(b,a),使

f(a)f(b)f(x)(ab),即.

因為be(x1),即ex>ex.

12.證明方程x5x-1=0只有一個正根.

證明設f(x)x5x1,則f(x)是[0,)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)

因為f(0)1,f(1)1,f(0)f(1)<0,所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)至少有一個零點即x5x10至少有一個正根.

假如方程至少有兩個正根則由羅爾定理f(x)存在零點但f(x)5x410,矛盾這說明方程只能有一個正根

13.設f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,證明在(a,b)內(nèi)有一點x,使

.

解設,則j(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理,存在x(a,b),使

j(b)-j(a)=j(x)(b-a),

即.

因此.

14.證明:若函數(shù).f(x)在(-,+)內(nèi)滿足關系式f(x)=f(x),且f(0)=1則f(x)=ex.

證明令,則在(-,+)內(nèi)有

,

所以在(-,+)內(nèi)j(x)為常數(shù).

因此j(x)=j(0)=1,從而f(x)=ex.

15.設函數(shù)y=f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有n階導數(shù),且f(0)=f(0)==f(n-1)(0)=0,試用柯西中值定理證明:

(0q1).

證明根據(jù)柯西中值定理

(x1介于0與x之間