第六章計數(shù)原理章末素養(yǎng)提升體系構(gòu)建核心歸納1．兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計數(shù)原理，與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時，用分類的方法可以有效地將之分解，達(dá)到求解的目的．正確地分類與分步是用好兩個計數(shù)原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，這是選用計數(shù)原理的關(guān)鍵．2．排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式．在證明恒等式時，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡的原則，有時也會從兩邊向中間靠攏．對于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問題還是組合問題．3．排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)思想方法(一)分類討論思想【方法解讀】解含有約束條件的排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏).車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，則有多少種選派方法？【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合的綜合問題，解決本題的關(guān)鍵是對特殊要求元素“兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工”進(jìn)行分類討論．1．(2023年岳陽模擬)中國書法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字，漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨(dú)特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為 (

)A．60

B．90C．120

D．150【答案】D(二)正難則反思想【方法解讀】在解決一些數(shù)學(xué)問題時，有時候會碰到正面解決非常復(fù)雜的情況，對于正面處理較復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考．設(shè)集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為 (

)A．78

B．76

C．83

D．84【答案】C【解析】若從正面考慮，需分當(dāng)a3＝9時，a2可以取8，7，6，5，4，3，共6類；當(dāng)a3＝8時，a2可以取7，6，5，4，3，2，共6類．分類較多，而其對立面a3－a2＞6包含的情況較少，當(dāng)a3＝9時，a2取2，a1取1，只有這一種情況，利用正難則反思想解決．【點(diǎn)評】本題主要考查集合中元素的個數(shù)問題，考查組合的有關(guān)知識，解題時利用正難則反思想，回避較為復(fù)雜的分類討論，可使問題簡單化．2．由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．【答案】30(三)特殊化思想【方法解讀】與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過特殊化思想求解，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.(3)令x＝－1，可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把這兩個等式相乘可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.【點(diǎn)評】本題主要考查二項式展開式中系數(shù)的和問題，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用特殊法思想，通過賦值求解相應(yīng)的系數(shù)的和．3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．【答案】5【解析】令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.鏈接高考排列與組合的綜合應(yīng)用【答案】D2．(2023年乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有 (

)A．30種 B．60種C．120種 D．240種【答案】C3．(2023年甲卷)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為

(

)A．120 B．60C．40 D．30【答案】B4．(2023年新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答).【答案】64【答案】D二項式