第二講判別式——二次方程根的檢測(cè)器為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了區(qū)分鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問題時(shí)，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，根的符號(hào)特點(diǎn)等．我們形象地說(shuō)，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；通過(guò)判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題．【例題求解】【例1】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是．思路點(diǎn)撥利用判別式建立關(guān)于的不等式組，注意、的隱含制約．注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是：(1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約；(2)在解涉及多個(gè)二次方程的問題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、不等式的知識(shí)．【例2】三個(gè)關(guān)于的方程：，和，假設(shè)其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．或C．D．思路點(diǎn)撥“至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于的不等式組，綜合判斷選擇．【例3】關(guān)于的方程，(1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)假設(shè)等腰三角形△ABC的一邊長(zhǎng)＝1，另兩邊長(zhǎng)、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥對(duì)于(1)只需證明△≥0；對(duì)于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個(gè)與c相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出、的值．注：〔1〕涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)，但不一定每個(gè)這類題均有多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍．〔2〕運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上)是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法．【例4】設(shè)方程，只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根．思路點(diǎn)撥去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程．原方程只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么其中一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零．【例5】：如圖，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在AB上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE＝，問：這樣的點(diǎn)E是否存在?假設(shè)存在，這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由．思路點(diǎn)撥要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足∠AED+∠BEC＝90°，為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得Rt△ADE∽R(shí)t△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù)．注：有些與一元二次方程外表無(wú)關(guān)的問題，可通過(guò)構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見的構(gòu)造方法有：(1)利用根的定義構(gòu)造；(2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造；(3)確定主元構(gòu)造．學(xué)力訓(xùn)練1．，假設(shè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么=．2．假設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是．3．關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)=．4．假設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是()A．B．C．且D．且5．一直角三角形的三邊為、、，∠B＝90°，那么關(guān)于的方程的根的情況為()A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定6．如果關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程的根的情況是()A．沒有實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根7．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、，，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)．8．關(guān)于的方程(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根分別為、，滿足=3，求實(shí)數(shù)的值．9．、為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．(1)求證：；(2)假設(shè)該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60°；(3)假設(shè)該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值．10．關(guān)于的兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，那么m的取值范圍是．11．當(dāng)=，=時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．12．假設(shè)方程有且只有相異二實(shí)根，那么的取值范圍是．13．如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)()A．2B．1C．0D．不能確定14．一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，那么在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有()A12個(gè)B．10個(gè)C．7個(gè)D．5個(gè)15．△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足方程，那么方程根的情況是()A．有兩相等實(shí)根B．有兩相異實(shí)根C．無(wú)實(shí)根D．不能確定16．假設(shè)a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．17．三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于·18