2022-2023學(xué)年山西省大同市李家莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為，其余各棱的長(zhǎng)都為1，則二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．參考答案：C略2.已知的虛部為(

)A．1

B．2

C．i

D．2i參考答案：A略3.已知點(diǎn)M（x，y）滿足，若ax+y的最大值為1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．則A（1，0），B（3，4），C（1，2）若z=ax+y過(guò)A時(shí)取得最大值為1，則a=1，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=x+y，即y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)B（3，4）時(shí)，此時(shí)z最大為1，故不滿足條件，若z=ax+y過(guò)B時(shí)取得最大值為1，則3a+4=1，解得a=﹣1，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=﹣x+y，即y=x+z，平移直線y=x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C（1，2）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為3，不滿足條件，若z=ax+y過(guò)C時(shí)取得最大值為1，則a+2=1，解得a=﹣1，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=﹣x+y，即y=x+z，平移直線y=x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C（1，2）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為1，不滿足條件，故a=﹣1；故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法，確定目標(biāo)函數(shù)的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4.設(shè)x、y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，命題“x、y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是

（

）

A．

B．

C．

D．在參考答案：B略5.（普）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于（

）A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：A6.曲線y=x3在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．【解答】解：∵y=x3，∴y′=3x2，當(dāng)x=1時(shí)，y′=3得切線的斜率為3，所以k=3；所以曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=0得：x=，∴切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為：S=×（2﹣）×4=．故選A．7.設(shè)X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D.對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)參考答案：D【分析】由題，直接利用正態(tài)分布曲線的特征，以及概率分析每個(gè)選項(xiàng)，判斷出結(jié)果即可.【詳解】A項(xiàng)，由正態(tài)分布密度曲線可知，x＝μ2為Y曲線的對(duì)稱軸，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＝＜P(Y≥μ1)，故A錯(cuò)；B項(xiàng)，由正態(tài)分布密度曲線可知，0＜σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B錯(cuò)；C項(xiàng)，對(duì)任意正數(shù)t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，即有P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C錯(cuò)；D項(xiàng)，對(duì)任意正數(shù)t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)．故D項(xiàng)正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布及其密度曲線，熟悉正態(tài)分布曲線是解題關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.8.設(shè)，

則“”是“”的（

）A

充分不必要條

B

必要不充分條件C

充要條件

D

既不是充分條件，也不是必要條件參考答案：B略9.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，、，兩點(diǎn)，若，則等于（

）

A．4p

B．5pC．6p

D．8p參考答案：A略10.等比數(shù)列的第四項(xiàng)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離是2，則直線的方程是

.參考答案：或；12.已知函數(shù)f（x）=，則f（5）=

．參考答案：4【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值．【分析】由已知中函數(shù)f（x）=，將x=5代入可得答案；【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（5）=f（f（5+5））=f（7）=4，故答案為：413.若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（用數(shù)字作答）．參考答案：14.已知函數(shù)的定義域和值域都是則實(shí)數(shù)的值是

。參考答案：2略15.已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則=_____________參考答案：略16.計(jì)算___________.參考答案：117.曲線，x∈[0,2π]與直線y＝0圍成的兩個(gè)封閉區(qū)域面積之和為_(kāi)______.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某單位為了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫（）181310-1用電量（度）24343864根據(jù)表中數(shù)據(jù)求用電量y度與氣溫x℃之間的線性回歸方程.附：參考答案：19.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出如下數(shù)列：①5，3，1，﹣1，﹣3，﹣5，﹣7，…；②﹣14，﹣10，﹣6，﹣2，2，6，10，14，18，…．（1）對(duì)于數(shù)列①，計(jì)算S1，S2，S4，S5；對(duì)于數(shù)列②，計(jì)算S1，S3，S5，S7．（2）根據(jù)上述結(jié)果，對(duì)于存在正整數(shù)k，滿足ak+ak+1=0的這一類等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的規(guī)律，猜想一個(gè)正確的結(jié)論，并加以證明．參考答案：【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】（1）直接求和，可得結(jié)論；（2）ak+ak+1=0，2a1=（1﹣2k）d，證明S2k﹣n﹣Sn=0即可．【解答】解：（1）對(duì)于數(shù)列①S1=5，S2=8，S4=8，S5=5；②S1=﹣14，S3=﹣30，S5=﹣30，S7=﹣14；（2）∵ak+ak+1=0，2a1=（1﹣2k）dS2k﹣n﹣Sn=（2k﹣n）a1+d﹣na1﹣=[（2k﹣n）（1﹣2k）+（2k﹣n）（2k﹣n﹣1）﹣（1﹣2k）n﹣n（n﹣1）]=[2k﹣4k2﹣n+2nk+4k2﹣2kn﹣2k﹣2nk+n2+n﹣n+2kn﹣n2+n]=?0=020.(12分)已知四棱錐，底面ABCD，其三視圖如下，若M是PD的中點(diǎn)⑴求證：PB//平面MAC；⑵求直線PC與平面MAC所成角的正弦值。參考答案：解：由三視圖知，四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=2，如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz

則⑴……①而平面MAC，PB//平面MAC……5分⑵設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為則由①知，令，則設(shè)PC與平面MAC所成的角為，則∴直線PC與平面MAC所成角的正弦值為……12分略21.如圖，在三棱錐中，已知△是正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，在棱上，且，（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）若為的中點(diǎn)，問(wèn)上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，說(shuō)明點(diǎn)的位置；若不存在，試說(shuō)明理由．

參考答案：解一：（1）取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)锳B＝BC，所以BH⊥AC．因?yàn)锳F＝3FC，所以F為CH的中點(diǎn)．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以EF∥BH．則EF⊥AC．因?yàn)椤鰾CD是正三角形，所以DE⊥BC．因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥DE．因?yàn)锳B∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC．因?yàn)镈E∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF（2）（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF．連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．所以當(dāng)CF＝CN時(shí)，MN∥OF．所以CN＝解二：建立直角坐標(biāo)系

略22.已知函數(shù)，,令.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)m的最小值；（3）若，且正實(shí)數(shù)滿足，求證：．參考答案：（1）（0，1）；（2）2；（3）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，這個(gè)最大值恒為非負(fù)數(shù)，由此求得整數(shù)的最小值.（3）當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)，利用構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求其最小值，證得【詳解】解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x＞0}，f′（x）x，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．（1）F（x）＝f（x）+g（x）＝lnxmx2+x，x＞0，令G（x）＝F（x）﹣（mx﹣1）＝lnxmx2+（1﹣m）x+1，則不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）mx+（1﹣m），①當(dāng)m≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)镚（1）＝ln1m×12+（1﹣m）+1m+2＞0，所以關(guān)于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②當(dāng)m＞0時(shí)，G′（x），令G′（x）＝0，因?yàn)閤＞0，得x，所以當(dāng)x∈（0，）時(shí)，G′（x）＞0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，G′（x）＜0，因此函數(shù)G（x）在x∈（0，）是增函數(shù)，在x∈（，+∞）是減函數(shù)，故函數(shù)G（x）的最大值為：G（）＝lnm（1﹣m）1lnm，令h（m）lnm，因?yàn)閔（m）在m∈（0，+∞）上是減函數(shù)，又因?yàn)閔（1）0，h（2）ln2＜0，所以當(dāng)m≥2時(shí)，h（m）＜0，所以整數(shù)m的最小值為2．（3）m＝﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）＝lnxx2+x，x＞0，由F（x1）＝﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）＝0，即lnx