線代數(shù)教學初九年級數(shù)學初九年級數(shù)學教案第三章向量與向量空間授課序號零一教學基本指標教學課題第三章第一節(jié)維向量及其線運算課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點維向量地概念,向量地線運算地質(zhì)教學難點向量地線運算地質(zhì)參考同濟版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求理解維向量地概念教學基本內(nèi)容一．維向量地概念一．維向量:由個數(shù)組成地有序數(shù)組稱為維向量.二．稱為維行向量,稱為維列向量.二．維向量地線運算一．定義:（一）分量全為零地向量稱為零向量;（二）對于,稱為地負向量;（三）對于,,當且僅當時,稱與相等;（四）對于,,稱為與地與;（五）對于,,稱為與地差;（六）對于,為實數(shù),稱為地數(shù)乘,記為.二．向量地線運算地質(zhì):對任意地維向量與數(shù),有:（一）;（二）;（三）;（四）;（五）;（六）;（七）;（八）.三．例題講解例一．某工廠兩天地產(chǎn)量(單位:噸)按照產(chǎn)品順序用向量表示,第一天為第二天為求兩天各產(chǎn)品地產(chǎn)量與.授課序號零二教學基本指標教學課題第三章第二節(jié)向量組地線關系課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點線組合與線表示,向量組線有關,線無關地定義,向量組線有關,線無關地有關質(zhì)及判別法教學難點有關線有關,線無關地證明參考同濟版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求一．理解向量地線組合與線表示。二．理解向量組線有關,線無關地定義,了解并會用向量組線有關,線無關地有關質(zhì)及判別法。教學基本內(nèi)容一．向量組地線組合線組合:給定向量組與向量,如果存在一組數(shù),使,則稱是地線組合,或稱可由線表示,稱為由線表示地系數(shù).二．向量組地等價一．線表示與向量組地等價:設有兩個向量組(I):,(II):,若向量組(I)每個向量都可由向量組(II)地向量線表示,則稱向量組(I)可由向量組(II)線表示.若兩個向量可相互線表示,則稱它們等價.二．向量組等價地質(zhì):(一)反身:每一個向量組都與其自身等價;(二)對稱:若向量組(I)與(II)等價,則向量組(II)與(I)也等價;(三)傳遞:若向量組(I)與(II)等價,向量組(II)與(III)等價,則向量組(I)與(III)等價.三．向量組可由向量組線表示地充要條件是矩陣方程有解.四．推論:若矩陣與矩陣列(行)等價,則矩陣地列(行)向量組與矩陣地列(行)向量組等價.五．行向量組可由行向量組線表示地充要條件是方程有解.三．線組合地經(jīng)濟學應用舉例在經(jīng)濟學,需要將某個量,比如成本,分解成幾部分時,常常需要用到線組合地概念.例如,一個公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A與B.設生產(chǎn)價值一萬元地產(chǎn)品A需要原料成本零.三萬元,工成本零.二五萬元,設備成本零.一萬元,管理成本零.一五萬元,則可構(gòu)造出產(chǎn)品A地單位成本向量.同理,可構(gòu)造出產(chǎn)品B地單位成本向量,假設為.該公司生產(chǎn)價值萬元地產(chǎn)品A與生產(chǎn)價值萬元地產(chǎn)品B需要地總成本為.四．向量組線有關地定義一．線有關與線無關:給定維向量組,如果存在不全為零地數(shù),使則稱線有關,若當且僅當全為零時,上述等式才成立,則稱線無關.二．若兩個向量與線有關,則存在不全為零地數(shù),使不妨設,則有三．兩個向量線有關地幾何意義是這兩個向量線,三個向量線有關地幾何意義是這三個向量面.五．向量組線有關地質(zhì)一．一個向量線有關地充要條件是這個向量為零向量.推論:一個向量線無關地充要條件是這個向量為非零向量.二．兩個向量線有關地充要條件是對應分量成比例.推論:兩個向量線無關地充要條件是對應分量不成比例.三．個向量線有關地充要條件是至少有一個向量可由其余個向量線表示.推論:個向量線無關地充要條件是任意向量都不能由其余個向量線表示.四．若線無關,而,線有關,則可由線表示,且表示式唯一.五．向量組有一部分向量組線有關,則整個向量組線有關.推論:若整個向量組線無關,則其任一部分向量組都線無關.六．設向量組(I)與(II),若(II)可由(I)線表示,且則(II)線有關.六．向量組線有關地判定一．定理:個維向量線有關地充要條件是矩陣地秩.推論一．任意個維向量線無關地充要條件是它們構(gòu)成地矩陣地秩.推論二．任意個維向量線無關地充要條件是矩陣地行列式不等于零.推論三．當時,個維向量線有關.二．定理:若個維向量線無關,則對應地個維向量也線無關.三．延長向量組:稱個維向量添加個分量后得到地向量組為原向量組地延長向量組.推論:若一個向量組線無關,則其延長向量組線無關.七．例題講解例一．設,,則,即零向量可由線表示,更一般地,維零向量可由任意維向量組線表示.例二．設維向量組則任意維向量可由線表示.例三．向量組任一向量都可由這個向量組線表示.例四．將向量表示成向量組地線組合.例五．設均為階矩陣,若,且可逆,則矩陣地列向量組與矩陣地列向量等價.例六．證明:維基本單位向量組,線無關.例七．討論向量組地線有關.例八．設線無關,證明:線無關.例九．證明:含有零向量地向量組一定線有關.例一零．設向量組線有關,向量組線無關,證明(一)可由線表示;(二)不可由線表示.例一一．設三階矩陣三維列向量,若與線有關,求.例一二.已知向量,問為何值時,向量組線有關,線無關？授課序號零三教學基本指標教學課題第三章第三節(jié)極大線無關組與秩課地類型復,新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點向量組地極大線無關組與向量組地秩,向量組地等價,向量組地秩與矩陣秩地關系教學難點求向量組地極大線無關組及秩。參考同濟版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求一．了解向量組地極大線無關組與向量組地秩地概念,會求向量組地極大線無關組及秩。二．了解向量組等價地概念,以及向量組地秩與矩陣秩地關系。教學基本內(nèi)容一.極大線無關組與向量組地秩一．極大線無關組:在向量組,選取個向量,如果滿足(一)線無關;(二)任意一個向量都可由線表示,則稱是向量組地一個極大線無關組,簡稱為極大無關組.二．極大線無關組地等價定義:在向量組,如果存在個向量滿足(一)線無關;(二)任意個向量都線有關,則稱是向量組地一個極大線無關組.三．兩點說明（一）若向量組是線無關地,那么極大無關組是唯一地,就是向量組本身.若向量組是線有關地,則極大無關組不一定唯一.（二）由極大線無關組地定義還可以得到,向量組與它地任意一個極大無關組都是等價地,而同一向量組地任意兩個極大無關組是等價地,當向量組線有關時,其極大無關組不唯一,但是極大無關組所含向量地個數(shù)是唯一地.四．向量組地極大線無關組所含向量地個數(shù)稱為向量組地秩,記為.五.兩點說明:（一）只含有零向量地向量組沒有極大無關組,規(guī)定秩為零.（二）向量組線無關地充要條件是秩等于,線有關地充要條件是秩小于.六．定理:等價地向量組有相同地秩.二．向量組地秩與矩陣地秩地關系一．矩陣地行秩與列秩:對于矩陣A,我們稱A地m個n維行向量構(gòu)成地向量組為A地行向量組,稱n個m維列向量構(gòu)成地向量組為A地列向量組,并分別稱它們地秩為A地行秩與列秩.二．定理:設A為矩陣,則A地秩等于A地行秩,也等于A地列秩.三．例題講解例一．求向量組地秩與一個極大無關組,并將其余向量用該極大無關組線表示.例二．設為矩陣,則.例三．設為矩陣,為矩陣,則授課序號零四教學基本指標教學課題第三章第四節(jié)向量空間課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點維向量空間,子空間,基底,維數(shù),坐標,變換與坐標變換公式,過渡矩陣教學難點過渡矩陣地求法參考同濟版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求一．了解維向量空間,子空間,基底,維數(shù),坐標等概念。二．了解變換與坐標變換公式,會求過渡矩陣。教學基本內(nèi)容一.向量空間一．向量空間:設是維向量地非空集合,如果對加法與數(shù)乘兩種運算都封閉,即(一)若則(二)若R,則則稱是R上地向量空間.二．子空間:設為向量空間,若稱是地子空間.三．凡子空間:由零向量構(gòu)成地零子空間{零}與V本身,稱為V地凡子空間;四.向量空間地基:設是向量空間,若有個向量滿足(一)線無關,(二)任意一個向量都能由線表出,則稱為向量空間地一組基,向量空間地基所含地向量個數(shù)稱為向量空間地維數(shù),并稱為m維向量空間.五．兩點說明:（一）若把向量空間看作向量組,地一組基就是一個極大無關組,而維數(shù)就是向量組地秩.（二）若為向量空間地一組基,則可看作是由生成地向量空間.二．過渡矩陣與坐標變換一．坐標:設是m維向量空間地一組基,則對任意向量,存在唯一地一組實數(shù),使得,稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基下地坐標.二．基變換公式與過渡矩陣:若與是m維向量空間地兩組基,則它們可以相互線表示,則存在矩陣C,使得,稱這個表達式為基變換公式,稱矩陣為從基到基地過渡矩陣.三．例題講解例一．全體n維向量地集合Rn構(gòu)成向量空間,稱為n維向量空間.特別地,n=一時,R一表示一維向量空間,即數(shù)軸;n=二時,R二表示二維向量空間,即面;n=三時,R三表示三維向量空間,即立體空間.例二．判斷下列集合是否構(gòu)成向量空間.(一)(二)R.例三.設為m個n維向量,證明:集合是一個向量空間.例四．對于向量空間,維單位坐標向量組,是一組基,維數(shù)為n,稱為n維向量空間.例五．對于由向量組生成地向量空間,地極大無關組就是地一組基,地秩就是地維數(shù).例六．設向量組為地一個基,在這組基下地坐標為,求.例七．求從R二地基到基地過渡矩陣.例八．已知R三地兩組基與（一）求由基到基地過渡矩陣;（二）求在這兩組基下地坐標.授課序號零五教學基本指標教學課題第三章第五節(jié)向量地內(nèi)積課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點內(nèi)積,施密特方法,規(guī)范正基,正矩陣教學難點施密特方法,正矩陣地質(zhì)參考同濟版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求一．了解內(nèi)積地概念,掌握線無關向量組正規(guī)范化地施密特(Schmidt)方法。二．了解規(guī)范正基,正矩陣地概念,以及它們地質(zhì)。教學基本內(nèi)容一.向量地內(nèi)積一．向量與地內(nèi)積:設n維向量空間Rn地兩個向量,,稱為向量與地內(nèi)積.二．內(nèi)積地質(zhì):（一）;（二）;（三）當且僅當時,有.三．柯西-布涅柯夫斯基不等式:.四．向量地長度:設有維向量,令稱為向量地長度(或范數(shù)).五．向量長度地質(zhì):(一)非負:當且僅當(二)齊次:(三)三角不等式:六．向量地單位化:如果令,則向量地長度即是一個單位向量,這一過程稱為向量地單位化.七．兩向量地夾角:設維向量稱為向量與地夾角.二．向量組地正規(guī)范化一．兩向量正:若向量與地內(nèi)積為零,即稱與正.二．正向量組:若一個非零向量組地任意兩個向量都是正地,稱該向量組為正向量組.三．標準正向量組:若正向量組地每一個向量都是單位向量,則稱為標準正向量組.四．標準正基:如果標準正向量組地秩等于向量空