專題6.7實數(shù)（知識講解）【學習目標】1.了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2.了解有理數(shù)的概念、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用.【要點梳理】要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).特別說明：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).要點三、實數(shù)大小的比較對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.【典型例題】類型一、實數(shù)??概念的理解??分類 1．把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，0.26，，0.10，5.12，，．有理數(shù)集合：{

}；正實數(shù)集合：{

}；無理數(shù)集合：{

}【答案】(1)，，0.26，0.10，5.12 ，0.26，，0.10，5.12，， (3)，，，【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義進行作答即可；（2）根據(jù)正數(shù)的定義進行判斷即可；（3）根據(jù)無理數(shù)的定義進行判斷即可．解：(1)有理數(shù)有：，，0.26，0.10，5.12故答案為：，，0.26，0.10，5.12(2)，是負數(shù)，絕對值是正數(shù)正實數(shù)有：，0.26，，0.10，5.12，，故答案為：，0.26，，0.10，5.12，，(3)無理數(shù)有：，，，故答案為：，，，【點撥】本題考查了實數(shù)的分類，即實數(shù)分為正實數(shù)，零，負實數(shù)；實數(shù)還可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)包括正數(shù)和分數(shù)，無理數(shù)是無線不循環(huán)小數(shù)，熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)．、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相鄰兩個3之間的7逐次加1個），有理數(shù)集合{

…

}無理數(shù)集合{

…

}負實數(shù)集合{

…}【答案】(1)－，，0，(2)，π，，，，0.3737737773（3）－，，.【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義進行判定即可得出答案；（2）根據(jù)無理數(shù)的定義進行判定即可得出答案；（3）根據(jù)負實數(shù)的定義進行判定即可得出答案．解：（1）有理數(shù)集合：{－，,0，…} （2）無理數(shù)集合：{，π，，，，0.3737737773……}（3）負實數(shù)集合：{－，，…}【點撥】本題主要考查了實數(shù)的分類，熟練掌握實數(shù)的分類進行求解是解決本題的關(guān)鍵.【變式2】把下列各數(shù)序號分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相鄰兩個9之間7的個數(shù)逐次增加1）【答案】有理數(shù)集合：②⑤⑨；無理數(shù)集合：①③④⑥⑦⑧⑩；負實數(shù)集合：④⑤⑧⑨【分析】根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)即可分類．解：有理數(shù)為，，；無理數(shù)為，，，，，，0.979779777···（相鄰兩個9之間7的個數(shù)逐次增加1）；負實數(shù)為，，，，∴有理數(shù)集合：②⑤⑨；無理數(shù)集合：①③④⑥⑦⑧⑩；負實數(shù)集合：④⑤⑧⑨．【點撥】此題主要考查實數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟知實數(shù)的分類方法及特點．類型二、實數(shù)??實數(shù)性質(zhì)??實數(shù)與數(shù)軸??運算??化簡2．求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值．相反數(shù)倒數(shù)絕對值【分析】根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義依次即可得出答案．解：相反數(shù)倒數(shù)-5絕對值【點撥】本題考查實數(shù)的分類，立方根、分母有理化．對于分母中是二次根式的要分母有理化．舉一反三：【變式1】實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：－|a－b|＋|c－a|．【答案】【分析】先判斷，進而得到，，再化簡即可．解：由數(shù)軸上點的位置可得，∴，，∴．【點撥】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，化簡絕對值，整式的加減運算，實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸及運算法則判斷，是解本題的關(guān)鍵．【變式2】我們在學習“實數(shù)”時畫了這樣一個圖，即“以數(shù)軸上的單位長為‘1’的線段作一個正方形，然后以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交數(shù)軸于點A”，請根據(jù)圖形回答下列問題：線段OA的長度是多少?(要求寫出求解過程)這個圖形的目的是為了說明什么?這種研究和解決問題的方式體現(xiàn)了的數(shù)學思想方法(將下列符合的選項序號填在橫線上)A．數(shù)形結(jié)合

B．代入

C．換元

D．歸納【答案】(1)OA=；(2)數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系；(3)A【分析】（1）首先根據(jù)勾股定理求出線段OB的長度，然后結(jié)合數(shù)軸的知識即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系即可求解；（3）本題利用實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系即可解答．解：(1)OB2＝12+12＝2∴OB＝∴OA＝OB=數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系(3)這種研究和解決問題的方式，體現(xiàn)的數(shù)學思想方法是數(shù)形結(jié)合．故選A【點撥】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的關(guān)系，此題綜合性較強，不僅要結(jié)合圖形，還需要熟悉平方根的定義．也要求學生了解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．類型三、實數(shù)??估算??無理數(shù)的整數(shù)（小數(shù)）部分????運算??化簡3．[閱讀材料]∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整數(shù)部分為1∴﹣1的小數(shù)部分為﹣2填空：的小數(shù)部分是．已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求代數(shù)式（﹣a）3＋（b＋4）2的值．【答案】(1)﹣9 (2)-43【分析】（1）估算出的范圍，可得到的整數(shù)部分，進而得到的小數(shù)部分；（2）估算出的范圍，可得到的整數(shù)部分，進而得到的小數(shù)部分，從而得到a，b的值，再求代數(shù)式的值即可．(1)解：∵，∴，∴的整數(shù)部分是9，∴的小數(shù)部分﹣9，故答案為：﹣9；(2)解：∵，∴4＜＜5，∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是﹣4，∴a＝4，b＝﹣4，∴原式＝（﹣4）3+（-4+4）2＝﹣64+21＝﹣43．∴代數(shù)式的值為．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，代數(shù)式求值，無理數(shù)估算知識．解題的關(guān)鍵在與正確的計算求值．舉一反三：【變式1】比較下列各組數(shù)的大?。海?）與6； （2）與； （3）與．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接化簡二次根式進而比較得出答案；（2）直接估算無理數(shù)的取值范圍進而比較即可；（3）直接估算無理數(shù)的取值范圍進而比較即可．解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題主要考查了實數(shù)比較大小，正確估算無理數(shù)取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式2】閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而1＜＜2，于是可用﹣1來表示的小數(shù)部分．請解答下列問題：（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；（2）如果5＋的小數(shù)部分為a，5﹣的整數(shù)部分為b，求a＋b的值．【答案】（1）5，﹣5；（2）3﹣2【分析】（1）估算的近似值，即可得出的整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）求出a、b的值，再代入計算即可．解：（1）∵＜＜，∴5＜＜6，∴的整數(shù)部分為5，小數(shù)部分為﹣5，故答案為：5，﹣5；（2）∵2＜＜3，∴7＜5＋＜8，∴5＋的小數(shù)部分a＝5＋﹣7＝﹣2，∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴2＜5﹣＜3，∴5﹣的整數(shù)部分為b＝2，∴a＋b＝﹣2＋2＝3﹣2.【點撥】本題考查了無理數(shù)的估算，正確估算無理數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．類型四、實數(shù)??實數(shù)的混合運算?運算??化簡4．計算：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】直接利用立方根的性質(zhì)及平方根的性質(zhì)分別化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果解：（1）原式=，=，=（2）原式=，=，=【點撥】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計算題：

（1）

（2）．【答案】（1）-3；（2）11【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，求一數(shù)的立方根和算術(shù)平方根進行計算；（2）根據(jù)求一數(shù)的立方根和算術(shù)平方根，化簡絕對值，進行實數(shù)的混合運算．解：（1）原式；（2）．【點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算，求一數(shù)的立方根和算術(shù)平方根，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計算：(2)【答案】(1)5(2)【分析】對于（1），由，，，再計算即可；對于（2），由，(-1)2022=1，，，再計算即可．解：(1)原式=；(2)原式=．【點撥】本題主要考查了實數(shù)的運算，求出各數(shù)的平方根和立方根是解題的關(guān)鍵．類型五、實數(shù)??實數(shù)的運算?程序設(shè)計??新定義5．一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如圖所示：當輸入的x為81時．輸出的y值是_________；若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值；若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值．【答案】(1)；(2)，1；(3)，（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)運算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1即可判斷；（3）根據(jù)運算法則，進行逆運算即可求得無數(shù)個滿足條件的數(shù)．（1）解：當時，取算術(shù)平方根，不是無理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根，不是無理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根得，是無理數(shù)，所以輸出的y值為；（2）解：當，1時，始終輸不出y值．因為0，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)；（3）解：4的算術(shù)平方根為2，2的算術(shù)平方根是，∴，都滿足要求．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根的計算和無理數(shù)的判斷，正確理解給出的運算方法是關(guān)鍵．舉一反三：【變式】思考與探究：（1）在如圖所示的計算程序中，若開始輸入的數(shù)值是4，則最后輸出的結(jié)果是___________．（2）在如圖所示的計算程序中，若最后輸出的結(jié)果是58，則開始輸入的數(shù)值是___________．（3）按下面的程序計算，若開始輸入的值x為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為1621，則滿足條件的x的不同值最多有多少個？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6個【分析】（1）根據(jù)程序運算圖可得算式4×3+5，按運算順序進行求解即可；（2）設(shè)輸入的數(shù)字為m，根據(jù)題意可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得答案；（3）根據(jù)最后輸出的結(jié)果，可計算出它前面的那個數(shù)，依此類推，可將符合題意的正數(shù)求出．解：（1）由題意得：4×3+5=17，故答案為：17；（2）設(shè)輸入的數(shù)字為m，則有（m+2）2-6=58，解得：m=6或m=-10，故答案為：6或--10；（3）∵最后輸出的數(shù)為1621，∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，解得：x=405>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405，解得：x=101>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101，解得：x=25>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25，解得：x=6>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6，解得：x=>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，解得：x=>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，解得：x=<0，（不符合題意）∴符合題意的正數(shù)最多有6個.【點撥】本題考查了程序運算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知識，正確審題，弄清程序運算中的運算順序，熟練掌握相關(guān)和運算法則和解題方法是解此類問題的關(guān)鍵．6．對于兩個不相等的實數(shù)a、b，定義一種新的運算如下，，如：，求的值．【答案】1【分析】根據(jù)已知條件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出結(jié)果．解：∵，∴，∴．【點撥】此題主要考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運算法則進行求解．舉一反三：【變式】定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根據(jù)定義新運算即可求的值；（2）根據(jù)定義新運算求的值，再計算平方根即可得出答案．解：（1）由定義新運算得：；（2）由定義新運算得：，∴的平方根為．【點撥】本題考查新定義的有理數(shù)運算，掌握新定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．類型六、實數(shù)??實數(shù)的運算?實際運用??規(guī)律7．數(shù)學閱讀是學生個體根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，通過閱讀數(shù)學材料建構(gòu)數(shù)學意義和方法的學習活動，是學生主動獲取信息，汲取知識，發(fā)展數(shù)學思維，學習數(shù)學語言的途徑之一．請你先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：問題情境：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足，求的值．解：由題意得，∵a，b都是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)，∵是無理數(shù)，∴，∴，∴解決問題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿足，求的值．【答案】8或0【分析】根據(jù)題目中例題的方法，對所求式子進行變形，求出x、y的值，從而可以求得x+y的值．解：∵，∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，∴x2-2y-8=0，y-4=0，解得，x=±4，y=4，當x=4，y=4時，x+y=4+4=8，當x=-4，y=4時，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【點撥】本題考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是明確題目中例題的解答方法，然后運用類比的思想解答所求式子的值．舉一反三：【變式】如圖1，有5個邊長為1的小正方形組成的紙片，可以把它剪拼成一個正方形．（1）拼成的正方形的面積是，邊長是；（2）仿照上面的做法，你能把下面這十個小正方形組成的圖形紙，剪開并拼成一個大正方形嗎？若能，在圖2中畫出拼接后的正方形，并求邊長；若不能，請說明理由．【答案】（1）5；

（2）【分析】（1）一共有5個小正方形，那么組成的大正方形的面積為5，邊長為5的算術(shù)平方根；（2）一共有10個小正方形，那么組成的大正方形的面積為10，邊長為10的算術(shù)平方根，在所給圖形中截取兩條長為的且互相垂直的線段，進而拼合即可．解：（1）拼成的正方形的面積是：5，邊長為：．（2）如圖所示，能，正方形的邊長為．【點撥】本題考查了圖形的剪拼、勾股定理、正方形的面積和正方形的有關(guān)畫圖，巧妙地根據(jù)網(wǎng)格的特點畫出正方形是解此題的關(guān)鍵.8．閱讀下列材料：設(shè)：，①則.②由②-①，得，即.所以.根據(jù)上述提供的方法.把和化成分數(shù)，并想一想.是不是任何無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)？【答案】，.任何無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù).【分析】設(shè)①則，②；由，得；由已知，得，所以任何無限循環(huán)小數(shù)都可以這樣化成分數(shù).解：設(shè)①則，②由②-①，得，即.所以.由已知，得，所以.任何無限循環(huán)小數(shù)都能化成分數(shù).【點撥】考核知識點：無限循環(huán)小數(shù)和有理數(shù).模仿，理解材料是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】（2020春·山西太原·八年級太原師范學院附屬中學?？茧A段練習）閱讀下列解題過程：；；；…（1）________．（2）按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出第個等式：________．（3）利用這一規(guī)律計算：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）仿照已知等式確定出所求即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）原式變形后，仿照上式得出結(jié)果即可．解：（1）；故答案為：；（2）觀察上面的解題過程，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為：，故答案為：；（3）．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．中考真題專練【1】（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）在整數(shù)的除法運算中，只有能整除與不能整除兩種情況，當不能整除時，就會產(chǎn)生余數(shù)，現(xiàn)在我們利用整數(shù)的除法運算來研究一種數(shù)——“差一數(shù)”．定義：對于一個自然數(shù)，如果這個數(shù)除以5余數(shù)為4，且除以3余數(shù)為2，則稱這個數(shù)為“差一數(shù)”．例如：，，所以14是“差一數(shù)”；，但，所以19不是“差一數(shù)”．（1）判斷49和74是否為“差一數(shù)”？請說明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一數(shù)”．【答案】（1）49不是“差一數(shù)”，74是“差一數(shù)”，理由見分析；（2）314、329、344、359、374、389【分析】（1）直接根據(jù)“差一數(shù)”的定義計算判斷即可；（2）解法一：根據(jù)“差一數(shù)”的定義可知被5除余4的數(shù)個位數(shù)字為4或9，被3除余2的數(shù)各位數(shù)字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一數(shù)”；解法二：根據(jù)題意可得：所求數(shù)加1能被15整除，據(jù)此可先求出大于300且小于400的能被15整除的數(shù)，進一步即得結(jié)果．解：（1）∵；，∴49不是“差一數(shù)”，∵；，∴74是“差一數(shù)”；（2）解法一：∵“差一數(shù)”這個數(shù)除以5余數(shù)為4，∴“差一數(shù)”這個數(shù)的個位數(shù)字為4或9，∴大于300且小于400的符合要求的數(shù)為304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一數(shù)”這個數(shù)除以3余數(shù)為2，∴“差一數(shù)”這個數(shù)的各位數(shù)字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一數(shù)”為314、329、344、359、374、389．解法二：∵“差一數(shù)”這個數(shù)除以5余數(shù)為4，且除以3余數(shù)為2，∴這個數(shù)加1能被15整除，∵大于300且小于400的能被15整除的數(shù)為315、330、345、360、375、390，∴大于300且小于400的所有“差一數(shù)”為314、329、344、359、374、389．【點撥】此題主要考查了帶余數(shù)的除法運算，第（2）題的解法一是用