赤峰第四中學2023-2024學年高一上學期12月月考數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1、已知集合A={-1,0,1,2},B={x\x<1},則下圖中陰影部分所表示的集合為()

A.{1}B.{2}

C.{-l,0}D.{1,2}

無2

2、函數(shù)/(x)=c——+log2(x+3)的定義域是()

A.(-3,2)B.[-3,2)C.(-3,2]D.[-3,2]

3、已知函數(shù)丁=x"(aeR)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=優(yōu)與y=log/在同一坐標系中

4、科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設/為地震時所散發(fā)出來的相對能量程

度，則里氏震級廠可定義為r=0.61g/,若6.5級地震釋放的相對能量為，，7.4級地震

釋放的相對能量為，2,記〃約等于（）

A

A.16B.20C.32D.90

、-0.5

5、設Q=30,1,b—-J,c=k)go3().5貝！Jb,。的大小關系（)

A.b<c<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

（2-a）x+],x<l是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（

6、已知函數(shù)〃x）=*

ax,x>1

3。2)c]o.

A.(1,2]ID.

7、下列函數(shù)最小值為4的是（）

4

A.y=x+—（九<0）

x

B.y=x-\——--（%>2）

x-2

廠x2+10

ay=-T^=

A/X2+6

9

D.y=x-{-----2

x

8、“函數(shù)"%）=108212一以+￡|在（1,+OO）上單調(diào)遞增”的一個充分不必要條件是（）

3

A.0<a<lB.a<—

2

3

C.a<2D.—<a<2

2

二、多項選擇題

9、下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)的是（）

1,

A.y—x—B.y=x+2

x

C.y=2WD.y=-|x|+l

10、下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.集合｛xeN|0Wx<3｝的真子集有7個

B.已知命題p:X/xeR,x"—x+1>0,則-\p3%0GR；XQ—x0+1<0

C函數(shù)y=J/—4與函數(shù)y=Jx+2.Jx-2表示同一個函數(shù)

D.若不等式262+6-』<0對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)上的取值范圍是-3<女<0

8

11、下列結(jié)論正確的是()

A.若a,6是正實數(shù),且a>b,貝!!"+Z?>a"+a"

B.若a>Z>>c>0,則9<一+0

aa+c

C.若a>b>Q,0<c<l,貝!Jabc>bac

D.若a>/?〉0,則a+^>b+工

ab

12、設函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足〃x)=2〃x-2),當xe(O,2］時,

/(x)=x(2-x),若對于任意的,都有/(x)W3,則實數(shù)機的取值可以是

()

911

A.3B.-C.—D.6

22

三、填空題

13、已知幕函數(shù)/(x)=(2〃+同/"T是偶函數(shù)，則m=.

14、已知丁=/(九)為定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時/(x)=f—2x+3,則

/(%)=---------------

15、已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(-3)=0,若對于任意的西，

%2G(-OO,0),當X尸乙時，都有0,&)二27伍)>0成立,則不等式〃對>0的解集

為.(用區(qū)間表示)

四、雙空題

16、已知函數(shù)/(x)=loga(x-l)+2(a>0且awl)的圖象過定點A,且點A的坐標滿足

關于x,y的方程7nr+?一根”=0,(m>0,〃>0)則A點的坐標為；〃的

最小值為.

五、解答題

17、化簡求值：

1_2

（1）[6￡|2_兀。_3|13+（—1.5）3

（2）岷4.卜g2m+logJ+5陶2.

18、已知函數(shù)/⑺與y=2工互為反函數(shù),設函數(shù)g（x）=/（2x）/（4x）.

（1）若g（x）?O,求實數(shù)x的取值范圍；

（2）若xe[l,2],求g（x）的值域.

19、已知函數(shù)/（力=竽1，（七照閃，且/⑴=:，/（2）=p

（1）求a和6的值；

（2）判斷/（%）在[2,+oo）上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.

20、秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預防流感，某學校決定對教室采用藥熏消毒法進

行消毒，藥熏開始前要求學生全部離開教室.已知在藥熏過程中，教室內(nèi)每立方米空氣

中的藥物含量y（毫克）與藥熏時間/（小時）成正比：當藥熏過程結(jié)束，藥物即釋放

完畢，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）達到最大值.此后，教室內(nèi)每立方

米空氣中的藥物含量y（毫克）與時間/（小時）的函數(shù)關系式為y=為常

數(shù)，已知從藥熏開始，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）關于時間/

（小時）的變化曲線如圖所示.

（1）從藥熏開始，求每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時間/（小時）之間的

函數(shù)關系式；

（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的藥物含量不高于‘毫克時，學生方可進入教室，那

么從藥熏開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能回到教室.

21、已知函數(shù)/(x)=k)g〃=：(a>0,awl,bw-1),是定義在(-1,1)上的奇函數(shù).

(1)求/(0)和實數(shù)6的值；

(2)若/(%)滿足/+求實數(shù)/的取值范圍.

22、已知函數(shù)g(x)=/m：2-2"a+”，(m>0,〃>0)在xe[l,2]時最大值為1,最小值為0.

設小)=皿

(1)求實數(shù)m,n的值；

(2)若存在xe[-1』，使得不等式g(2，)-匕4，+1<0成立，求實數(shù)左的取值范圍；

(3)若關于x的方程〃|1。氏助+產(chǎn)彳-3a-1=0有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)。的

|log3x|

取值范圍.

參考答案

1、答案：D

解析：陰影部分表示的集合為A釀B,

又第5={*|行1},

所以A^B={1,2}.

故選：D.

2、答案：A

解析：根據(jù)函數(shù)的特點，函數(shù)的定義域需滿足—，解得：-3〈尤<2,

%+3>0

所以函數(shù)的定義域是(-3,2).

故選：A.

3、答案：D

解析：由幕函數(shù)圖象知：0<a<L

所以y=優(yōu)與y=log/在各自定義域內(nèi)都遞減，顯然只有D滿足.

故選：D.

4、答案：C

解析：r=0.6lgI,

5r65

當r=6.5時，4=10不，

37

當r=7.4時，/2=1。才，

T37653

.?."=2=103+1()7=102=10x而。32故選C.

A

5、答案：B

0l

解析：a=3>l,)=弓［=3。5〉1,

又y=3￡在R上單調(diào)遞增，故3°」<3°5,a<b,

c=log030.5<log030.3=1,

故c

故選：B.

6、答案：D

2—a>Q

解析:由題意<a>l=>—<?<2,故a的取值范圍是

4

c1

2—a+—<a

I2

故選：D.

7、答案：B

解析：對于A,因為x<0當且僅

當尤=-2時等號成立，故A錯誤；

對于B,因為x>2,x-2>0,所以

y=xH——--=X-2H——-——h2>2.Hx-2)----1-2=4,

x—2x—2Vx—2

當且僅當犬-2=」一，即1=3取等號，所以函數(shù)最小值為4,故B正確；

x-2

對于c,=7776+-7^>4,當且僅當J7荷=73=時取等號，而

封+6=4無解，故等號不成立，函數(shù)最小值不是4,故C錯誤；

對于D,取x=-1,則y=-12<4,故D錯誤.

故選：B.

8、答案：A

112

解析：由題設，^t=x2-c+-=(x--y+--—,

aJ2224

所以/在(-oo,自上遞減，在(g+oo)上遞增，而y=log2/在定義域上遞增，

又/(%)=k)g2(一〃二+?1]在(I,+QO)上單調(diào)遞增,故<2—n,3,

l2)[/(l)>0[2~a-02

所以題設條件的一個充分不必要條件是0WaW1.

故選：A.

9、答案：BC

解析：A選項，〃x)=x」的定義域為(fO,0)_(0,+8),

X

X/(-x)=-x+—=-/(x),故=x—L為奇函數(shù),A錯誤；

JCJC

B選項,且(?=/+2的定義域為區(qū),

又g(―%)=(-%)2+2=%2+2=g(%),故g(x)=f+2為偶函數(shù)，

且g(x)=f+2在(0,+oo)上單調(diào)遞增，B正確；

C選項,//(%)=2國的定義域為R,且/1(一力=27=2國=//(%),

故刈%)=2忖為偶函數(shù)，且x>0時，h(x)=2x,單調(diào)遞增，C正確;

D選項，當尤>0時，y=-國+1=-％+1單調(diào)遞減，D錯誤.

故選：BC.

10、答案：CD

解析：A：{XGN|0WX<3}={0,1,2}共有3個元素，故其真子集個數(shù)為23-1=7,

對；

B：由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為玉：odR,焉-％+1<0,對;

C:由y4的定義域為(—,_2][2,+a)),了=的定義域為

[2,+oo),

所以它們定義域不同，不是同一個函數(shù)，錯；

D：顯然上=0時，2丘2十日—9=—2<0對一切實數(shù)元者R成立，故。在左的取值范圍

88

內(nèi)，錯.

故選：CD.

n、答案：ABC

解析：A：a3+Z?3-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a+b)(a-b)2,

又a>b>G,則/+人3-(/j+a/)>。=/+/>ib+ah1,對；

?bb+cb(a+c)-a(b+c)c(b-a),八

B：----------=--------——-------=--------,a>b>c>0,

aa+c〃(〃+c)a(a+c)

r-rnrbb+c八bb+c

所以-------<0=>一<----,對；

aa+caa+c

C：abc-bac^ab(bc-l-a0-1),又a〉/?>0,0<c<l,貝Uy=x。一在(0,+oo)上遞減,

所以加T>"T且H?>0,則而'-mc>On?Z/>%對；

D：?+--(/?+—)=(?-&)+(---)=(?-/7)(1--),a>b>0,

ababab

所以a-b>0,而1-工的符號不確定，故無法比較a+工，b的大小，錯.

abab

故選：ABC.

12、答案：AB

解析：由函數(shù)/(%)的定義域為R,滿足〃x)=2/(x-2),

當xe(0,2]時，/(x)=x(2-x)可得，

當九?2,4]時，x-2e(O,2],

/(x)=2/(x-2)=2(x-2)[2-(x-2)]=2(x-2)(4-x),

當xe(4,6]時，X-2G(2,4],

/(%)=2/(x-2)=4(x-2-2)[4-(x-2)]=4(x-4)(6-x)；

作出函數(shù)/(x)的部分圖象如下圖所示：

由類周期函數(shù)性質(zhì)可知，當x?fo,0)時，/(九)43恒成立；

解方程4(%—4)(6—%)=3可得》=?或》=弓；

又因為對于任意的XG(YO,向，都有/(x)K3,利用圖象可知m<|,

因此選項AB符合題意.

故選：AB.

13、答案：-1

解析：因為函數(shù)/⑺=(2瘍+7〃)/1是募函數(shù),

所以2m2+m=1,解得"7=2_或/"=一］,

2

1

當7〃=工時,的定義域為(O,+8),不符合題意;

2Vx

當田=—1時，/(x)=X-2=4的定義域為(一8,0)._(0,+<?)，

X

則/(九)為偶函數(shù)，符合題意.

綜上所述，m=—l.

故答案為：-1.

x2-2x+3,x>0

14、答案：/(x)=[o,x=O

-%2—2x—3,x<0

解析：因為函數(shù)八另是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0；

當％>0時，/(x)=x2-2x+3；

設x<0,貝！J-x>0,所以/(-%)=(—％)2—2(—尤)+3=九2+2%+3,

又因為/(X)=—/(—x),所以/(x)二一x2-21一3；

x2-2x+3,x>0

綜上所述，/(%)=<0,%=0,

-%2-2%—3,x<0

x2-2x+3,x>0

故答案為：/(%)=<0,x=0

-爐—2元—3,x<0

15、答案：(f,—3)(0,3)

解析：由y=為定義在R上的奇函數(shù)，則3)=-/(3)=0=/(0),

令g(x)=j/(x),則對任意再，X2G(^x),o),(工尸工2)，巫"~乳M"〉0恒成立,

%—“2

所以g(x)在(TO,0)上遞增，又g(-x)=(-%)/(-x)=#(%)=g(x),定義域為R,

所以g(x)為偶函數(shù)，在(fo,0)上遞增，在(O,y)上遞減，且g(-3)=g(3)=0=g(0),

xwO時，/(x)=固型>0,在(―oo,0)上g(x)<0,則x<—3；在(O,”)上g(x)>0,則

X

0<x<3；

綜上,不等式〃對>0的解集為(f-3)(0,3).

故答案為：(《,—3)(0,3).

16、答案：①.(2,2)②.8

解析：當x=2時，〃2)=2,函數(shù)/(x)=log/x—l)+2(a>0且a/l)的圖象過定點

4(2,2),

又點A的坐標滿足關于x,y的方程+=0,(m>0,n>0),可得

2m+2n—nm=0,

整理可得_L+，=L,

mn2

rsic/\(11、Jinmyde-\n~~m\小

所以根+〃=2(根+叫——F—=21H-----1-----Fl>22+2./------=8,

'nJ\mn)vmn,

當且僅當二=生，即〃z=〃=4時，等號成立；

mn

即加+〃的最小值為8.

故答案為：(2,2)；8.

17、答案：(1)-

2

(2)6

j__2

由t(25V,(27Y33、_25,443

4J8J22992

(2)M^=21og52.(21og25-21og23+21og23)+2=4+2=6.

18、答案：(1)(0,；][1,+oo)

(2)[2,6]

解析：(1)由題設/(x)=log2],則g(x)=log2(2x)log2(4x)=(l+log2%)(2+log2X)，

所以g(x)=(1+log2x)(2+log2x)>0,可得log2XW-2或log2X2-1,

所以。。4或故X的取值范圍為（。由[%）.

（2）由xe[l,2],令/=1082%€[0,1],則

31

g(無)=h(t)=(1+r)(2+t)=r+3t+2=(t+—)2——,

所以//⑺在［0,1］上遞增，故無⑺e［2,6］,

所以g(x)的值域為［2,6］.

19、答案：(1)a=l,b=0

(2)外可在［2,轉(zhuǎn))上的單調(diào)遞減，證明見解析

a+b1

解析：（1）因為/（l）=g,/（2）=；，所以<55,解得々=1,b=0?

2a+b1

8~4

（2）由（1）知：=/（%）在[2,+8）上的單調(diào)遞減,

證明如下：在[2,+8）上任取為，X2，且2Vxi<%2，

七々_%（4+力—.）:+力_（々一石）（西々-4）

〃尤1）-/（々）

2同+4）3+4）'

龍；+4x2+4(X；+祖龍2?+4)

2<%,<x2,

X19-4>0,(X：+4)(92+4)

/.x2-xx>0,>0,

/(X,)-/(X2)>O,.?./(%1)>/(x2)，/(x)在［2,+8)上的單調(diào)遞減.

2

20、答案：（1）y=*1

1

，?>2

（2）至少需要經(jīng)過2小時后，學生才能回到教室

解析：（1）若^y=kt,由圖知：；k=\nk=2,則y=2/；

若f〉；且函數(shù)在/=；處連續(xù)，故有=1=>a=；,故y=2

2t,0<t<^

綜上，y=<1

1

，?>2

(2)由(1),令(；)"5=(；)214(=(；)3,gp2r-l>3^/>2,

所以，至少需要經(jīng)過2小時后，學生才能回到教室.

21、答案：(1)/(0)=0,6=1

(2)當0<。<1時，當。>1時，0</<1

1-0

=

解析：(1)根據(jù)題意可得〃0)=logq—10ga1=0,

又/(%)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),

1+bx1-bxix+1

所以/(一元)=log。=-/(x)=Tog〃=log

—x+177T^

解得6=i.

(2)由(1)可知'"x)=log〃E=bg〃三F=l0g(T+W

(a>0,awl)，

9

易知函數(shù)y=-1+-在(-1,1)上單調(diào)遞減，

當0<a<l時，由復合函數(shù)單調(diào)性可知/(%)在(-1,1)上單調(diào)遞增,

由奇函數(shù)性質(zhì)可得—=

t2

需滿足<-解得1</<&；

當a>l時，由復合函數(shù)單調(diào)性可知"％)在(-1,1)上單調(diào)遞減,

由奇函數(shù)性質(zhì)可得了僅2—1)>_1)=/0-),

?2-1<1-r

需滿足解得0</<1；

所以當0<a<l時，1<?<A/2；當a>l時，0</<1.

22、答案：(1)m=l,n=l

1

(2)—,+00

2

1

(3)—,+00