衡陽縣2023年下學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題高一數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷共4大題，22小題，滿分150分，時量120分鐘．2．試卷分試題卷和答題卡兩部分，答題前，考生務(wù)必在試題卷和答題卡指定位置填寫自己的姓名、考號、學(xué)校、班級等．3．將答案寫在答題卡上，如答案寫在試題卷上無效．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1.下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.若，則【答案】C【解析】【分析】由數(shù)集的概念，元素與集合，集合與集合的關(guān)系，依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，則，故A錯誤；對于B，表示有理數(shù)集，為無理數(shù)，則，故B錯誤；對于C，表示自然數(shù)集，表示整數(shù)集，則，故C正確；對于D，，則，故D錯誤.故選：C2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.3.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件可得出，，再利用不等式的性質(zhì)對四個選項(xiàng)逐一判斷，即可得出答案.【詳解】由，可得，，對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可得，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)時，；故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：D.4.下列函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的函數(shù)依次進(jìn)行定義域，奇偶性和單調(diào)性求解與判斷即得.【詳解】對于A項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，由其圖象可知函數(shù)在上遞減，在上遞增，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，因，定義域?yàn)?且為奇函數(shù)，它的遞增區(qū)間可由求得，故顯然該函數(shù)在上必不是增函數(shù)，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，，顯然該函數(shù)定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，又，故冪函數(shù)在上為增函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，故D項(xiàng)錯誤.故選：C.5.有一個盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時刻t，水面高度y由圖所示，圖中PQ為一線段，與之對應(yīng)的容器的形狀是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用時間和高等的變化可知容器先是越往上越小，然后成規(guī)則直線上升狀，從而求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖象可判斷出該容器必定有不同規(guī)則形狀，并且一開始先慢后快，所以下邊粗，上邊細(xì)，再由PQ為直線段，容器上端必是直的一段，故排除A,C,D，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)圖象選擇容器形狀的問題，涉及到的知識點(diǎn)有通過圖象看出其變化的速度快與慢的問題，從而得到其形狀，選出正確結(jié)果.6.若，為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡已知得，再通過分析角的范圍結(jié)合余弦函數(shù)的圖象即得解.【詳解】因，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和余弦函數(shù)的圖象的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)根，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（）A.30 B.14 C.12 D.6【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題干求出函數(shù)的最小正周期，在畫出函數(shù)的大致圖像即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，且又因?yàn)?，所以即且函?shù)關(guān)于對稱，令得，所以，即函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)在上單調(diào)遞減，方程在有實(shí)根可知方程在有且僅有一個實(shí)根，函數(shù)的大致圖像如圖所示：由圖可知函數(shù)與在區(qū)間有個交點(diǎn)，且兩兩對稱所以.故選：A8.函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的基本關(guān)系可借助換元法將原函數(shù)化為，借助輔助角公式可得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得其最大值.【詳解】令，則，由，故，即，由，故的最大值為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】借助指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計算即可得.【詳解】對A：，故A正確；對B：由，故，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：，故D正確.故選：ACD.10.已知，且，在下列結(jié)論正確的是（）A.有最小值為4 B.有最小值為C.有最大值為2 D.有最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，因此本選項(xiàng)正確；B：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即有最大值，因此本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此本選項(xiàng)正確，故選：AD11.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可能為（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)取最小值為，當(dāng)或時，函數(shù)值為，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的值可能為.故選：ABC.12.設(shè)，已知在上有且僅有5個零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上有且僅有3個最大值點(diǎn) B.在上有且僅有2個最小值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增 D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】將看成整體角，根據(jù)題意得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象觀察分析求得，且易得在上有且僅有3個最大值點(diǎn)，但最小值點(diǎn)個數(shù)不確定，最后由推得，根據(jù)求得的判斷的范圍能確保單調(diào)遞增即得.【詳解】設(shè)，由，可得，作出的圖象如圖，要使在上有且僅有5個零點(diǎn)，須使，解得：，故D項(xiàng)正確；對于A項(xiàng)，由圖可知時，，在此區(qū)間上函數(shù)有且僅有3個最大值點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由圖可知時，，在此區(qū)間上，函數(shù)的最小值點(diǎn)可能有2個或3個,故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，當(dāng)時，，由上分析知，則，即，而此時單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）13.已知，則______．【答案】49【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合對數(shù)運(yùn)算律求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)?，又?故答案為：49.14.將函數(shù)的圖象向右平移m個單位，得到函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換規(guī)定得到，知其為偶函數(shù)，故圖象應(yīng)經(jīng)過，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得的范圍即得.【詳解】由函數(shù)的圖象向右平移m個單位得到函數(shù)：的圖象，因的圖象關(guān)于y軸對稱，故有，則有，解得：，因，故當(dāng)且僅當(dāng)時，m的最小值為.故答案為：.15.已知，若，則______．【答案】3【解析】【分析】由題意得，由此即可順利得解.【詳解】由題意，所以.故答案為：3.16.如圖，某學(xué)校有一塊扇形空地，半徑為10m，圓心角為，現(xiàn)學(xué)校欲在其中修建一個矩形勞動基地，矩形的一邊AB在扇形的一條半徑上，另一邊的兩個端點(diǎn)C，D分別在弧和另一條半徑上，則勞動基地的最大面積是______．【答案】##【解析】【分析】由圖得到，進(jìn)而得到，得到矩形的面積,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由已知：設(shè),則，則，所以矩形的面積為：，，，，，，當(dāng)，即，矩形面積取得最大值為.故答案為：四、解答題（第17題10分，第18題12分，第19題12分，第20題12分，第21題12分，第22題12分，共6小題70分）17.計算求值（1）已知，求的值．（2）【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦二倍角公式化簡，再結(jié)合齊次式相關(guān)概念化簡計算即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行通分，根據(jù)正弦二倍角公式、兩角和余弦公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡計算即可.【小問1詳解】原式【小問2詳解】原式18.已知二次函數(shù)滿足．（1）求的解析式．（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，則，利用換元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.【小問1詳解】令，則，，∴【小問2詳解】對稱軸，在上遞減，在上遞增∴，，即值域?yàn)?9.已知集合，函數(shù)定義域?yàn)榧螧．（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）且或【解析】【分析】（1）由知4滿足函數(shù)的定義域，由此可得，解不等式可得所求范圍；（2）由可得，根據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式可得所求范圍.【小問1詳解】由已知得，即所以或【小問2詳解】；函數(shù)定義域?yàn)樾铦M足，即，由于，當(dāng)時，即，，函數(shù)無意義，所以，得由，知或，得且或20.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式．（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．【答案】，因此.,當(dāng)隔熱層修建厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元．【解析】【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為.再由，得，因此.而建造費(fèi)用為最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故是的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為．當(dāng)隔熱層修建厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元．21.已知（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若的圖象在恰有2條對稱軸，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】21.22【解析】【分析】（1）借助三角恒等變換公式可將原函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；（2）借助三角函數(shù)的平移變換可得函數(shù)的解析式，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)計算即可得m的取值范圍.【小問1詳解】，有，解得，∴的單調(diào)增區(qū)間為【小問2詳解】將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位，可得，當(dāng)時，，則有，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（1）解關(guān)于的方程；（2）設(shè)函數(shù)，若在上的最小值為2，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合題設(shè)可得，