PAGEPAGE3課時作業(yè)(三十七)B[第37講基本不等式][時間：35分鐘分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．已知a，b∈R，下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)2＋b2≥2abB.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)C．a(chǎn)2＋4≥4aD.eq\f(4,b2)＋b2≥42．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，則f(x)有()A．最大值為0B．最小值為0C．最大值為－4D．最小值為－43．設(shè)x，y∈R，且x＋y＝4，則5x＋5y的最小值是()A．9B．25C．50D4．已知0<x<eq\f(1,3)，則x(1－3x)取最大值時x的值是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．若正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值4B．a(chǎn)b有最小值eq\f(1,4)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3B．4C.eq\f(9,2)D.eq\f(11,2)7．若logeq\r(2)x＋logeq\r(2)y＝8，則3x＋2y的最小值為()A．4B．8C．4eq\r(6)D．8eq\r(6)8．設(shè)f(x)＝|2－x2|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是()A．(0,2)B．(0,2eq\r(2))C．(0,4)D．(0，eq\r(2))9．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(p,x－1)(p為常數(shù)，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值為4，則實數(shù)p的值為________．10．若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．11．設(shè)a＞0，b＞0，且不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0恒成立，則實數(shù)k的最小值等于________．12．(13分)(1)已知a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求證：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，指出等號成立的條件；(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))))的最小值，指出取最小值時x的值．eq\a\vs4\al\co1(難點突破)13．(12分)如圖K37－1，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．(1)設(shè)AD＝x(x≥0)，ED＝y(tǒng)，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)在哪里？請予證明．圖K37－1課時作業(yè)(三十七)B【基礎(chǔ)熱身】1．B[解析]對于基本不等式成立的前提條件是a、b必須都非負．2．C[解析]∵x<0，∴－x>0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2·eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，等號成立的條件是－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1.3．C[解析]5x＋5y≥2eq\r(5x＋y)＝2eq\r(54)＝50，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時，5x＋5y得最小值是50.4.eq\f(1,6)[解析]因為0<x<eq\f(1,3)，所以0<1－3x<1，所以x(1－3x)＝eq\f(1,3)[3x(1－3x)]≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1－3x,2)))2＝eq\f(1,12)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝eq\f(1,6)時，x(1－3x)取得最大值．【能力提升】5．C[解析]由基本不等式，得ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(a＋b2－2ab,2)，所以ab≤eq\f(1,4)，故B錯；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，故A錯；由基本不等式得eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(\f(1,2))，即eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故D錯．6．B[解析]依題意得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2eq\r(x＋12y＋1)＝6，∴x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.7．D[解析]由logeq\r(2)x＋logeq\r(2)y＝8，得logeq\r(2)xy＝8，所以xy＝16，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥2eq\r(6xy)＝8eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y，xy＝16時，取得最小值8eq\r(6).故選D.8．B[解析]若0＜a＜b＜eq\r(2)，則有f(a)＞f(b)，與f(a)＝f(b)矛盾；若eq\r(2)＜a＜b，則有f(a)＜f(b)，與f(a)＝f(b)矛盾，故必有0＜a＜eq\r(2)＜b，因此由|2－a2|＝|2－b2|得2－a2＝b2－2，∴a2＋b2＝4，故eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))＝eq\r(2)(a＝b時取等號)，∴0＜a＋b＜2eq\r(2).9.eq\f(9,4)[解析]由題意得x－1>0，f(x)＝x－1＋eq\f(p,x－1)＋1≥2eq\r(p)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(p)＋1時取等號，則2eq\r(p)＋1＝4，解得p＝eq\f(9,4).10．18[解析]由基本不等式得xy≥2eq\r(2)eq\r(xy)＋6，令eq\r(xy)＝t得不等式t2－2eq\r(2)t－6≥0，解得t≤－eq\r(2)(舍去)，或者t≥3eq\r(2)，故xy的最小值為18.11．－4[解析]由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0，得k≥－eq\f(a＋b2,ab)，而eq\f(a＋b2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥4(a＝b時取等號)，所以－eq\f(a＋b2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq\f(a＋b2,ab)恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實數(shù)k的最小值等于－4.12．[解答](1)證明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,y)))(x＋y)＝a2＋b2＋a2eq\f(y,x)＋b2eq\f(x,y)≥a2＋b2＋2eq\r(a2\f(y,x)·b2\f(x,y))＝(a＋b)2，故eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)a2eq\f(y,x)＝b2eq\f(x,y)，即eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時上式取等號．(2)由(1)得f(x)＝eq\f(22,2x)＋eq\f(32,1－2x)≥eq\f(2＋32,2x＋1－2x)＝25，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,2x)＝eq\f(3,1－2x)，即x＝eq\f(1,5)時上式取最小值，即f(x)min＝25.【難點突破】13．[解答](1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°?y2＝x2＋AE2－x·AE.①又S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC?eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)x·AE·sin60°?x·AE＝2.②將②代入①得y2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))2－2(y＞0)，∴y＝eq\r(x2＋\f(4,x2)－2)(1≤x≤2)．(2)如果DE是水管y＝eq\r(x2＋\f(4,x2)－2)≥eq\r(2·2－2)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(4,x2