專題2.2圓與直線：求圓方程，切線、相交弦一、熱考題型歸納【題型一】求圓的方程1：求圓基礎(chǔ)【題型二】求圓的方程2：外接圓型【題型三】求圓的方程3：內(nèi)切圓型【題型四】求圓的方程4：有弦長求圓方程型【題型五】求圓的方程5：切線型求圓【題型六】求圓的方程6：最值型求圓【題型七】點與圓位置關(guān)系求參【題型八】到直線距離為定值的圓上的點【題型九】直線與圓相交弦長求參【題型十】最短弦應(yīng)用【題型十一】圓內(nèi)三角形面積【題型十二】圓內(nèi)四邊形面積【題型十三】原切線【題型十四】圓外點切線【題型十五】切點弦【題型十六】切點弦長及其最值二、培優(yōu)練熱點考題歸納【題型一】求圓的方程1：求圓基礎(chǔ)【典例分析】1.．（2022秋·湖南衡陽·高二?？计谥校╆P(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想:任何大于的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和，如，.若從中任取個不同的素數(shù)組成點，其中，且組成的所有點都在圓上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所有可能的結(jié)果，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可證得，由此可得圓心為中點，并求得半徑，由圓心和半徑可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意知：所有可能的結(jié)果為：，，，，，，則，圓的圓心為中點，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：D.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點的圓的方程為（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0【答案】A【分析】設(shè)所求圓的方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，用λ表示出圓心，代入直線x-y-4＝0，求出λ，從而可求出所求圓的方程．【詳解】根據(jù)題意知，所求圓經(jīng)過圓x2+y2+6x-4＝0和圓x2+y2+6y-28＝0的交點，設(shè)其方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圓心坐標(biāo)為，，又由圓心在直線x-y-4＝0上，所以--4＝0，解得λ＝-7，所以所求圓的方程為：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，故選：A．【提分秘籍】圓的一般方程表示的圓的圓心為，半徑長為．【變式演練】1.（2023春·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過點，，可得線段的中點為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.2.（2022·高二課時練習(xí)）某圓經(jīng)過兩點，圓心在直線上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的平面幾何性質(zhì)可知圓心在的中垂線上，聯(lián)立方程可得圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可得解.【詳解】因為圓經(jīng)過兩點，所以圓心在中垂線上，聯(lián)立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選：D3.（2021·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點、，圓經(jīng)過、，且圓心在軸上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】求出點、的坐標(biāo)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由可求出圓心的坐標(biāo)，并求出圓的半徑，由此可求得圓的方程.【詳解】易知，直線交軸于點，交軸于點，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為，即為.故選：A.【題型二】求圓的方程2：外接圓型【典例分析】1.（2021·全國·高二單元測試）過點作圓兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標(biāo)原點，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由切線性質(zhì)得O、A、B、P四點共圓，為直徑，求得圓心坐標(biāo)和半徑可得圓方程即為所求．【詳解】由題意知O、A、B、P四點共圓，從而的中點坐標(biāo)為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A.2.（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知中，，，點在直線上，的外接圓圓心為，則直線的方程為______．【答案】【分析】圓心到點的距離即為半徑，可得到外接圓的方程，聯(lián)立圓的方程與直線的方程，得到點坐標(biāo)，利用直線方程兩點式即可求解.【詳解】因為的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，即的外接圓方程為．聯(lián)立，解得，或，所以或（與點重合），舍，所以直線的方程為，即．故答案為：.【提分秘籍】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

當(dāng)時，方程為，表示以_原點O為圓心、半徑為r的圓．【變式演練】1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知三角形的三邊所在直線為，，，則三角形的外接圓方程為________【答案】【解析】先由三條直線兩兩聯(lián)立，求出三角形的三個頂點坐標(biāo)，再設(shè)所求圓的一般方程，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求出結(jié)果.【詳解】由解得；由解得；由解得；根據(jù)題意，可得所求圓的方程過點，，，設(shè)所求圓的方程為，則，解得，即所求圓的方程為.故答案為：.2.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點A是直角三角形ABC的直角頂點，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），則△ABC的外接圓的方程是________．【答案】（x＋3）2＋y2＝5【解析】先根據(jù)已知求出a=-2,再求出外接圓的半徑和圓心坐標(biāo)，即得解.【詳解】由題意，得2a＝－4，∴a＝－2，∴△ABC外接圓的半徑為,圓心為（－3，0），∴△ABC外接圓的方程為（x＋3）2＋y2＝5.故答案為：（x＋3）2＋y2＝5.3.（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線與x軸交于M，N兩點，與y軸交于P點，則外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接圓的方程為，分別令，結(jié)合韋達(dá)定理求得D,E,F,代入即可求得圓的方程.【詳解】設(shè)外接圓的方程為，點Q是的外接圓與y軸的另一個交點，分別令，則，．設(shè)，則，又曲線與x軸交于M，N兩點，則，，，，，所以，，故外接圓的方程．故選：C.【題型三】求圓的方程3：內(nèi)切圓型【典例分析】1.（2018·江蘇省如皋中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓C：，不經(jīng)過點C的直線：與圓C相交于，二點，求的內(nèi)切圓的面積最大值為__________.【答案】【分析】如圖，設(shè)三角形內(nèi)切圓的圓心為點,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,再通過分析得到當(dāng)最大時，點C到直線AB的距離CE=CD+DE最大.由題得當(dāng)時，點C到直線AB的距離最大，再根據(jù)三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)求出內(nèi)切圓的半徑即得解.【詳解】如圖所示，設(shè)三角形內(nèi)切圓的圓心為點,因為AC=BC,所以.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,在直角三角形中，最大，則兩圓的圓心距CD最大，因為DE=DF,所以當(dāng)最大時，點C到直線AB的距離CE=CD+DE最大.因為直線過定點（0,1），圓C（1,0），當(dāng)時，點C到直線AB的距離最大，此時點C到直線AB的距離為，直線AB的斜率為，.由△ABC的內(nèi)切圓得所以的內(nèi)切圓的面積最大值為.故答案為：2.（2018·山西·太原五中高二階段練習(xí)（文））如果三角形的頂點分別是，，，那么它的內(nèi)切圓方程是______.【答案】【分析】利用截距式求得的方程為.設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，且，則半徑為后，求得的值，可得圓心和半徑，從而求得它的內(nèi)切圓方程.【詳解】利用截距式求得的方程為，即.∵為直角三角形，∴設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，且，則半徑為，解得，∴圓心為，半徑為3，故內(nèi)切圓方程是.故答案為：.【提分秘籍】三角形內(nèi)切圓，是三角形內(nèi)角角平分線的交點。可以通過過角平分線上點到兩邊距離相等來進(jìn)行求解【變式演練】1.（2022·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點，，，則的內(nèi)切圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意設(shè)出圓心，再利用圓心到直線與到直線的距離相等列出一個等式，即可求出圓心，即可進(jìn)而求出半徑，得到答案.【詳解】易知是等腰三角形，且，∴圓心在直線上，設(shè)圓心，易得直線的方程為，直線的方程為，則，解得，則內(nèi)切圓的半徑為，∴所求圓的方程為.故選：D.2.（2022·全國·高二單元測試）已知三角形三邊所在直線的方程分別為、和，求這個三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑．【答案】圓心；半徑為.【分析】由三角形所在位置設(shè)出其內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)列方程，求解作答.【詳解】依題意，由得直線與的交點，由得直線與的交點，由得直線與的交點，顯然，且，即是等腰直角三角形，則直線平分，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，，則，解得，即，半徑，所以這個三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑分別為圓心，.【題型四】求圓的方程4：有弦長求圓方程型【典例分析】1.（2020·全國·高三專題練習(xí)）若圓過點，且被直線截得的弦長為，則圓的方程為A．或B．或C．或D．或【答案】A【詳解】由于圓過點，故圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓的弦長公式得，解得，或.故圓心為或，半徑為為或，故選.【點睛】本題主要考查圓的方程的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查利用圓的弦長公式和弦長求參數(shù)的值.題目知道圓上兩個點，根據(jù)圓的對稱性可判斷出圓心的縱坐標(biāo)，設(shè)出圓心的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式得到半徑的表達(dá)式，利用弦長公式建立方程，由方程解出圓心的橫坐標(biāo).2.．（2022秋·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？计谥校┮阎獔A心在軸上的圓與直線相切，且截直線所得的弦長為，則圓的方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】由題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓與直線相切得，在由圓截直線的弦長為得，聯(lián)立解出即可解決問題.【詳解】由題設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，標(biāo)準(zhǔn)方程為因為圓與直線相切，所以有圓心到該直線的距離為半徑，即：，也即

①又圓截直線的弦長為，設(shè)圓的圓心為到直線的距離為，所以，由有

②聯(lián)立①②可得：，所以所求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：C.【提分秘籍】直線與圓相交時的弦長求法幾何法利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關(guān)系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解題代數(shù)法若直線與圓的交點坐標(biāo)易求出，求出交點坐標(biāo)后，直接用兩點間距離公式計算弦長弦長公式法設(shè)直線l：y＝kx＋b與圓的兩交點為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])【變式演練】1.（2021秋·河北衡水·高三校考期中）不經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線被曲線截得的弦的長度等于，則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由曲線方程可得到其圓心和半徑，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得的值，從而得到直線方程，進(jìn)而得到與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；根據(jù)直角三角形外心為斜邊中點可求得所求的圓心坐標(biāo)和半徑，由此可得所求圓的方程.【詳解】曲線的方程可整理為：，則曲線為圓心為，半徑為的圓；圓心到直線的距離，，解得：或，又不經(jīng)過坐標(biāo)原點，，即，與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為，，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的外接圓圓心為中點，半徑，所求外接圓方程為，即.故選：A.2.2019秋·江西南昌·高二江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知圓的圓心坐標(biāo)為，且軸被截得的弦長為，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知條件可知圓心到軸距離為，運用勾股定理和弦長公式求出圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程.【詳解】已知圓的圓心坐標(biāo)為，則圓心到軸距離為，又因為軸被截得的弦長為，則運用勾股定理可得，所以圓的方程為.故選：.【題型五】求圓的方程5：切線型求圓【典例分析】1．（2020·北京·高三專題練習(xí)）已知圓與軸的正半軸相切于點，圓心在直線上，若點在直線的左上方且到該直線的距離等于，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓心，利用點到直線距離可構(gòu)造方程求得，根據(jù)點的位置可確定圓心、半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，則可設(shè)，∵圓與軸正半軸相切與點，且圓的半徑，.到直線的距離，，解得：或，或，在直線的左上方，，，，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：D.2.（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過、兩點，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)圓與直線相切以及圓過點可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】因為、，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，設(shè)圓心為，則圓的半徑為，又因為，所以，，整理可得，解得或，當(dāng)時，，此時圓的方程為；當(dāng)時，，此時圓的方程為.綜上所述，滿足條件的圓的方程為或.故選：C.【提分秘籍】求過某一點的圓的切線方程(1)點(x0，y0)在圓上．①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.【變式演練】1.（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高級中學(xué)?？计谀﹫A心在x軸負(fù)半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為，故選：A2.（2022秋·江蘇南通·高二金沙中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線xy+4＝0與圓心為（2，0）的圓C相切，則圓C的方程為（

）A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x﹣2）2+y2＝9C．（x+2）2+y2＝3 D．（x+2）2+y2＝9【答案】B【分析】求出點(2,0)到直線xy+4＝0的距離，可得出圓C的半徑，進(jìn)而可求得圓C的方程.【詳解】由于直線xy+4＝0與圓C相切，則圓C的半徑，因此，圓C的方程為故選：B3.（2021秋·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知半徑為6的圓與x軸相切，且與圓內(nèi)切，則此圓的方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】設(shè)圓的方程為，解方程即得解.【詳解】由題意可設(shè)圓的方程為，則根據(jù)兩圓內(nèi)切，得，所以，所以，即圓的方程為或．故選：D【題型六】求圓的方程6：最值型求圓【典例分析】1.（2022·高二課時練習(xí)）與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出過圓心與直線垂直的直線方程，所求圓的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離可得所求圓的半徑，設(shè)所求圓的圓心為，且圓心在直線的左上方，利用、可得答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，過圓心與直線垂直的直線方程為，所求圓的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離為，則所求圓的半徑為，設(shè)所求圓的圓心為，且圓心在直線的上，所以，且，解得（不符合題意，舍去），故所求圓的方程為.故選：C．2.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C的半徑為，其圓心C在直線上，圓C上的動點P到直線的距離的最大值為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線方程可知恒過定點，結(jié)合條件可得圓心C到直線的距離的最大值為，由幾何知識可知CA垂直直線時，圓心C到直線的距離的最大，利用兩點間距離公式即求.【詳解】∵直線，∴，令，得，∴直線恒過定點，∵圓C上的動點P到直線的距離的最大值為，∴圓心C到直線的距離的最大值為，又圓心C在直線上，∴可設(shè)，當(dāng)直線CA垂直直線時，圓心C到直線的距離的最大，∴，解得，故圓心，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.【變式演練】1.（2020·全國·高三專題練習(xí)）圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程為A． B．C． D．【答案】C【詳解】圓心在曲線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)半徑最小時，圓的面積最小，由基本不等式得，當(dāng)a=1時等號成立，此時半徑的最小值為，故圓的面積最小時，圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：C2.（2021·高二課時練習(xí)）已知過點(0，2)的圓的圓心在直線上，則圓的面積最小時圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點到直線的距離求出半徑的最小值，由兩直線的交點坐標(biāo)求出圓心坐標(biāo)，從而得到圓的方程；【詳解】解:據(jù)題設(shè)分析知，圓半徑的最小值，此時圓的圓心為直線與直線（直線)的交點．聯(lián)立方程，解得，所以所求圓的方程是故選：A3.（2021·山東·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(0，1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16【答案】B【分析】先求得直線恒過點P(－1，2)，因此圓與直線x－by＋2b＋1＝0相切于點P時，圓的半徑最大，由此可求得圓的方程得選項.【詳解】由整理得，所以直線x－by＋2b＋1＝0過定點P(－1，2)，如圖．所以圓與直線x－by＋2b＋1＝0相切于點P時，以點(0，1)為圓心的圓的半徑最大，此時半徑r為，此時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2.故選：B.【題型七】點與圓位置關(guān)系求參【典例分析】1.（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圓的條件和點和圓的位置關(guān)系進(jìn)行計算.【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點在圓的外部可知：，得.故.故選：C2.（2023秋·甘肅酒泉·高三統(tǒng)考期末）若點在圓：的外部，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系建立不等式求解，并注意方程表示圓所滿足的條件.【詳解】因為點在圓：的外部，所以，解得，又方程表示圓，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．故選：C【提分秘籍】點與圓的關(guān)系求參數(shù)，若點在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于半徑；若點在圓上，則點到圓心的距離等于半徑，若點在圓外，則點到圓心的距離大于半徑，判斷點與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大?。?2)代數(shù)法：把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點在圓的外部（不含邊界），則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】本題首先可根據(jù)圓的方程得出圓心與半徑，然后根據(jù)題意得出點到圓心的距離大于半徑，最后根據(jù)兩點間距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】圓，即，圓心，半徑，因為點在圓的外部，所以點到圓心的距離大于半徑，即，解得，故選：B.2.（2020秋·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心的坐標(biāo)和半徑，并求出滿足圓成立的條件時的范圍，利用兩點間的距離公式求出的值，比較和半徑的大小關(guān)系，列出關(guān)于的不等式，即可求得答案.【詳解】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可得圓心的坐標(biāo)為，半徑，且，即.根據(jù)題意點在圓外，即，即有，整理可得，即，計算可得或，又，可得或，則實數(shù)的取值范圍是.故選:.3.（2019秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓，若過點可作圓的兩條切線，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出方程是表示圓的范圍，根據(jù)條件點在圓外，代入圓方程左式大于零，再求出可的取值范圍，二者取交集，即為所求的結(jié)果.【詳解】，化為，方程表示圓故或

①過點可作圓的兩條切線，故在圓外，

②由①②可得，的取值范圍是或.故選：B【題型八】到直線距離為定值的圓上點求參【典例分析】1．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知直線，圓，若圓上恰有三個點到直線的距離都等于，則（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由于圓心到直線的距離為，根據(jù)圓上恰有三個點到直線的距離等于，可以得到圓心到直線的距離，可得半徑的值.【詳解】圓心，則點C到直線的距離，又因為圓C上恰有三個點到直線的距離為，所以圓心到直線的距離，即.故選：C．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線和圓，則“”是“圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，結(jié)合直線與圓心的距離范圍即可求解.【詳解】圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離，此時圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1，故充分性成立；當(dāng)圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1時，圓心到直線的距離，所以，解得，故必要性成立，所以“”是“圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1”的充要條件.故選：C.【提分秘籍】解決圓上點到直線距離為定值的點的個數(shù)，可以以下幾個圖形來理解和計算.注意，不同的數(shù)據(jù)，圖形會有出入，思維不變?！咀兪窖菥殹?.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓上恰有一個點到直線的距離為1，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為圓上恰有一個點到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離為3，所以有.故選：A.2.（2023秋·山東·高二山東師范大學(xué)附中校考期末）若圓上恰有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作圖，根據(jù)幾何意義分析求解.【詳解】如圖，與直線平行的距離為1的直線有2條：，圓C：的圓心是，依題意及圖：圓與必有2個交點，與相離，圓心C到的距離，；故選：C.3.（2023春·甘肅張掖·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若圓上存在四個點到直線的距離為，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心、半徑，由題設(shè)可知到的距離，即可求m的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，且半徑，又圓上存在四個點到的距離為，∴到的距離，可得.故選：C【題型九】直線與圓相交弦長求參【典例分析】1．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）直線與圓相交于、兩點，若，則等于（

）A．0 B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】求出到圓心的距離和圓心到直線的距離，即可求出的值.【詳解】由題意，∵，∴到圓心的距離為，∴圓心到直線的距離為：，即.解得：或，故選：D.2.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過坐標(biāo)原點的直線l與圓相交于M，N兩點，當(dāng)線段MN的長為整數(shù)時，所有滿足條件直線的條數(shù)為（

）A．12 B．13 C．25 D．26【答案】C【分析】確定圓心和半徑，求得MN的長的最小值和最大值，確定滿足題意的所有整數(shù)值的個數(shù)，結(jié)合圓的對稱性，即可確定答案.【詳解】由題意知的圓心為，半徑為，當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時，MN最長，此時；當(dāng)直線l與圓心和原點的連線垂直時，MN最短，此時，；故的范圍為，由于，則包含共13個整數(shù)，其中為的最小值，此時l只有一條，取其他整數(shù)時，對應(yīng)的直線l皆有2條，這2條直線關(guān)于直線對稱，如圖，

故當(dāng)線段MN的長為整數(shù)時，所有滿足條件直線的條數(shù)為，故選：C【提分秘籍】位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個_1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離D<rD=rD>r代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式>0=0<0【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線被圓截得的弦長之比為，則圓C的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心分別到兩條直線的距離，根據(jù)勾股定理求出兩條直線被圓截得的弦長，根據(jù)弦長之比為列式求出，可得圓的半徑，從而可得圓的面積.【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心到直線的距離為，到直線的距離分別為，所以直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為，由題意可得，解得，滿足，所以圓C的半徑為，面積為.故選：B．2.．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線是圓的一條對稱軸，設(shè)直線與軸的交點為，將直線繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線被圓截得的弦長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由條件求列方程求，確定圓心坐標(biāo)，圓的半徑，再求圓心到直線的距離，利用弦長公式求直線被圓截得的弦長.【詳解】根據(jù)題意，得點在直線上，所以，所以，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由直線得直線與軸的交點為，所以，所以圓心到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長為.故選：C.3.（2022秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知圓，圓，過點兩條互相垂直的直線，，其中與圓交于A，B，與圓交于C，D，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先寫出過定點的兩條直線方程，并求得圓心到對應(yīng)直線的距離，結(jié)合弦長公式，，以及，列式求直線的斜率，最后求弦長的值.【詳解】設(shè)，到直線AB，CD的距離分別為，，若過定點的直線分別為和，則，不滿足條件，當(dāng)兩直線的斜率都存在時，設(shè)直線，斜率分別為，，則，直線，方程分別為，，由點到直線距離公式可得：,，又，，整理可得，所以．故選：A【題型十】最短弦應(yīng)用【典例分析】1.（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）圓被過點的直線截得的最短弦長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點與圓、直線與圓的位置關(guān)系即可求得最短弦長.【詳解】圓，圓心，半徑所以，故點在圓內(nèi)，則當(dāng)直線垂直于過C，P的直徑時，最短弦長.故選：C.2.（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【分析】先判定直線過定點，再由弦長公式計算即可.【詳解】由，，即過定點，由得，半徑，則當(dāng)時，C到的距離最遠(yuǎn)，此時被圓截得的弦長最小，最小值為.故選：C

【提分秘籍】過圓內(nèi)定點，最長弦為直徑，最短的弦是垂直于過該店直徑的弦。【變式演練】1.（2023春·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)?？计谀┤糁本€與圓交于，兩點，當(dāng)最小時，劣弧的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡直線方程化為，得到直線恒過定點，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由題意，直線可化為，當(dāng)且，即且時，等式恒成立，所以直線恒過定點，由圓的方程知，圓心為，半徑，當(dāng)直線時，取得最小值，且最小值為，如圖，此時弦長對的圓心角一半的正切值為，故圓心角為，所以劣弧長為.故選：B.2.（2019秋·安徽蕪湖·高二蕪湖一中校考階段練習(xí)）已知直線l：和圓C：相交于A，B兩點，則弦長的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】首先確定直線所過的定點，判斷定點與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定弦長最小時定點與圓心所在直線與已知直線的位置關(guān)系，應(yīng)用幾何法求弦長最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，得，即直線l過定點，又，即在圓C內(nèi)，且圓C中圓心，半徑為2，故時，直線與圓的相交弦最短，而，所以弦長的最小值.故選：B3.（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知點，，若直線關(guān)于的對稱直線與圓：交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線關(guān)于直線的對稱直線，由于直線恒過點，當(dāng)且僅當(dāng)時，圓心到直線的距離最大，取最小值可得答案.【詳解】∵，∴直線關(guān)于直線的對稱直線為，可得，即直線恒過點，由得點在圓內(nèi)，圓：的圓心，圓的半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時，圓心到直線的距離最大，取最小值，由，得，所以：，圓心到直線的距離，.故選：C.【題型十一】圓內(nèi)三角形面積【典例分析】1.（2022秋·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線與圓相交于，兩點，則的面積為（

）A．2 B． C． D．與有關(guān)的不確定值【答案】C【分析】計算圓心到直線的距離，，再計算面積得到答案.【詳解】圓心到直線的距離，..故選：C2.（2021秋·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）設(shè)直線與圓相交于、兩點，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的面積公式可求得，可得出圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求得的值.【詳解】由三角形的面積公式可得，可得，，故，則為等腰直角三角形，所以，圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.故選：D.【變式演練】1.（2022秋·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線與圓相交于、兩點，點在圓上，且滿足，則滿足條件的點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題首先可確定圓心與半徑，然后求出圓心到直線的距離以及弦長，再然后求出點到直線的距離，最后根據(jù)兩側(cè)圓上的點到直線的最大距離分別為和即可得出結(jié)果.【詳解】，，圓心，半徑，則圓心到的距離，弦長，設(shè)點到的距離為，則，解得，因為兩側(cè)圓上的點到直線的最大距離分別為和，所以滿足條件的點個數(shù)為，故選：D.2.（2016秋·云南大理·高二階段練習(xí)）設(shè)直線與圓相交于兩點，若，則圓的內(nèi)接正三角形的面積為(

)A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求解圓心到直線的距離，利用弦長公式求解的值，進(jìn)而得到圓的半徑，即可得到內(nèi)接正三角形的邊長，即可求解其面積.【詳解】解：圓心到直線的距離為，圓的半徑，根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，所以有：，解得：，所以圓的半徑為．設(shè)該圓的內(nèi)接正三角形的邊長為，則，所以，所以正三角形的面積為.故選：C3.（2022秋·遼寧大連·高二大連八中?？计谀┲本€與圓相交于兩點M，N，若滿足，則．【答案】【分析】由點到直線的距離公式，結(jié)合已知可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長公式可得,然后可解.【詳解】因為，所以，所以，圓心到直線的距離因為，所以，所以故答案為：【題型十二】圓內(nèi)四邊形面積【典例分析】1.（2021秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓交于，兩點，已知四邊形為菱形，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】四邊形為菱形，則對角線與垂直平分，易得線段OC中點在直線上，從而得到直線方程，進(jìn)而利用垂徑定理，即可得到結(jié)果.【詳解】圓，圓心，半徑，若四邊形為菱形，則對角線與垂直平分，記，則，又在直線上，∴，即，∴直線AB為：∴C到直線距離為：，∴，故選：A2.（2021秋·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）過圓內(nèi)一點作兩條相互垂直的弦AB和CD，且，則四邊形ACBD的面積為（

）．A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】結(jié)合圓的幾何性質(zhì)以及勾股定理求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓即，圓心為，半徑.在圓內(nèi).，設(shè)分別是的中點，則，由于，所以四邊形是正方形，所以，所以，所以四邊形的面積為.故選：D【變式演練】1.（2022秋·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校校考期中）已知圓的方程為，設(shè)該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，計算出、，即可求得四邊形的面積.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，故點在圓內(nèi)，如下圖所示：則，過點的弦過圓心時，弦長取最大值，即，當(dāng)過的弦與垂直時，弦長取最小值，即，此時，此時，四邊形的面積為.故選：C.2.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若過原點O的動直線l將圓分成兩部分的面積之差最大時，直線l與圓的交點記為A，B，直線l將圓E分成兩部分的面積相等時，直線l與圓的交點記為C，D，則四邊形ACBD的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得當(dāng)直線時，弦AB將圓E分成兩部分的面積之差最大，當(dāng)直線l過圓心即與OE重合時，直徑CD將圓E分成兩部分的面積相等，進(jìn)而得出四邊形ACBD的面積.【詳解】當(dāng)直線l過圓心即與OE重合時，直徑CD將圓E分成兩部分的面積相等.如圖所示，連接，設(shè)，過作的垂線，垂足為，則為的中點且.故，故即，由四邊形可得記劣弧弓的面積為，，則弦AB將圓E分成兩部分的面積之差為：，因為在上為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故當(dāng)時，弦AB將圓E分成兩部分的面積之差最大.此時與重合，即.圓心到原點O的距離為，半徑為，所以，因為，所以.故選:A.3.（2022秋·福建泉州·高二校考期中）在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方差，求出圓心M的坐標(biāo)與半徑，最長的弦即為圓的直徑，最短的弦和垂直，且經(jīng)過點O，由垂徑定理求得，從而可求四邊形的面積.【詳解】化圓為，可得圓心坐標(biāo)為,半徑為3.由圓的性質(zhì)可得，最長的弦即圓的直徑，故.因為，所以.弦最短時，弦與垂直，且經(jīng)過點O,此時.故四邊形的面積為.故選:B.【題型十三】圓切線【典例分析】1．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）圓在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算出，從而由斜率乘積為-1得到切線斜率，利用點斜式寫出切線方程，得到答案.【詳解】因為，所以在圓上，的圓心為，故，設(shè)圓在點處的切線方程斜率為，故，解得，所以圓在點處的切線方程為，變形得到，即.故選：A2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點，過點M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時，l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用過圓上點的切線的性質(zhì)可得，利用點表示出切線方程，結(jié)合l的橫縱截距相等，即得解【詳解】由題意，點在第一象限，故過點M的的切線l斜率存在；點在圓上，故，即故直線l的方程為：令令當(dāng)l的橫縱截距相等時，又解得：即，即故選：A【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，直線l過點且與圓C相切，若直線l與兩坐標(biāo)軸交點分別為M?N，則（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由點在圓上，所以點為切點，利用圓的切線和圓心于切點的連線垂直，可求得斜率，利用點斜式即可求得切線方程，再求點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式即可得解.【詳解】解：由圓，得圓心，半徑，又因為為切點，所以，所以直線的斜率為，所以，即直線，則令，則，故選：C.2.（2023春·云南曲靖·高二?？茧A段練習(xí)）已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由點的坐標(biāo)滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.3.（2020·全國·高三專題練習(xí)）過點的直線與圓相切，則直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由直線與圓相切，得到切線方程，令直線方程中的可得答案.【詳解】當(dāng)直線與x軸垂直時，則與圓不相切，不垂直時，設(shè)直線方程為，因為與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以直線方程為，當(dāng)時，.故選：D.【題型十四】圓外點切線【典例分析】1.．（2023春·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）過點向圓引切線，則其切線方程為.【答案】或【分析】根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，然后結(jié)合點到直線的距離公式，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得，解得，此時切線方程為.故答案為：或2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線y=與直線kx?y+k?1=0有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】先化簡曲線方程得到曲線為以為圓心，半徑為1的上半圓，直線恒過點，畫出圖像，求解兩個臨界狀態(tài)，過和兩點的直線斜率，以及設(shè)過且與半圓相切的直線斜率，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】由曲線可得為以為圓心，半徑為1的上半圓直線kx?y+k?1=0過點，如圖過和兩點的直線斜率；設(shè)過的直線與半圓相切，結(jié)合圖像可知，顯然斜率存在，故圓心到直線的距離等于半徑，即解得或（舍去，與下半圓相切）結(jié)合圖像，故要使曲線y=與直線kx?y+k?1=0有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是故答案為：【提分秘籍】點(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個方程時，另一個方程應(yīng)為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況．③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓和圓，則過點且與都相切的直線方程為.（寫出一條即可）【答案】或（寫出一條即可）【分析】由直線與圓的位置關(guān)系通過幾何法計算即可.【詳解】若過M的切線斜率不存在，即為，此時顯然與兩圓都相切；若過M的切線斜率存在，不妨設(shè)為，則到的距離分別為，即.綜上過M與兩圓都相切的直線為：或故答案為：或（寫出一個即可）2.（2022秋·山東青島·高三青島二中?？计谥校┮阎獔AC:，直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，則滿足上述條件的直線l共有條.【答案】4【分析】畫出圓的圖像，根據(jù)圖像觀察可得答案.【詳解】由已知圓C：，圓心，半徑作出圓的圖像如下：根據(jù)圖像觀察可得：存在4條直線與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等其中是過坐標(biāo)原點的直線，是斜率為-1的直線故答案為：4.3.（2011秋·廣東梅州·高三統(tǒng)考期末）已知直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與圓相切，切點在第四象限，則直線的方程為.【答案】【分析】首先根據(jù)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點將直線設(shè)為，然后根據(jù)直線與圓相切即可得到算式，再然后通過切點在第四象限即可得出直線的方程．【詳解】設(shè)直線的斜率為，因為直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以令直線的方程為，即，因為直線與圓相切，所以直線到圓心的距離等于半徑，圓的方程為，即，圓心，半徑為，，，，所以直線方程為，因為切點在第四象限，所以直線方程為．【題型十五】切點弦【典例分析】1.（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知圓,過直線上第一象限內(nèi)的一動點作圓的兩條切線，切點分別為,過兩點的直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由切線的性質(zhì)，結(jié)合四點共圓判斷可得O，A，M，B四點共圓，求得圓方程，由兩圓方程相減可得相交弦AB方程，由題意可得面積，結(jié)合基本不等式求得最值.【詳解】因為AB為切點，所以O(shè)A⊥AM，OB⊥BM，所以O(shè)，A，M，B四點共圓，設(shè)M（，），則其圓心O'（，），方程為（x）2+（y）2，整理得x2+y2﹣xx0﹣yy0＝0，與圓O：x2+y2＝1的方程作差得x+y＝1，又AB是圓O與圓O'的公共弦，即直線AB的方程為x+y＝1，又過兩點的直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點，得P（，0）Q（0，），又+＝2，∴，當(dāng)且僅當(dāng)=＝1等號成立，則面積為，∴面積的最小值為故選：B.2.（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過圓О外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面幾何知識可知點O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，再將兩圓的方程相減，即可得到直線AB的方程．【詳解】由題意知點O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，易求該圓的方程為，AB為圓與圓的公共弦，將這兩圓的方程相減，得，即AB的方程為.故選：B．【提分秘籍】切點弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【變式演練】1.（2021·安徽·合肥市第八中學(xué)高二階段練習(xí)（理））過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由可得圓心，設(shè)點，根據(jù)題意可得點在以為直徑的圓上，求出該圓的方程與已知圓的方程相減即可求解.【詳解】由可得圓心，設(shè)點，則，因為，是圓的兩條切線，切點分別為，所以，，所以點在以為直徑的圓上，圓心為設(shè)為中點，半徑為，所以圓的方程為，而直線為兩圓公共弦所在的直線，由可得，由可得，兩圓方程相減可得：，所以直線的方程為，故選：A.2.（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考慮斜率不存在和斜率為0的兩種情況，計算切點，得到切線方程.【詳解】，即，圓心為，半徑.當(dāng)斜率不存在時，直線與圓相切，切點為；當(dāng)斜率為0時，直線與圓相切，切點為.故直線方程為斜率，直線方程為，即.故選：A.3.（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中（理））已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，點在圓上，則點到直線距離的最大值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，由切線的性質(zhì)得點、在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點，由點到直線的距離分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，則，過點作圓的切線，切點分別為、，則有，，則點、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為C，，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓C和圓O公共弦AB為：，又由，則有，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點，點在圓上，則點到直線距離的最大值為．故選：B．【題型十六】切點弦長及其最值范圍【典例分析】1.（2022秋·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線是圓的對稱軸，過點作圓C的一條切線，切點為，則（

）A．2 B． C． D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到直線過圓心，求得，得到，結(jié)合圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓，可得，所以圓心，半徑為，又由直線是圓的對稱軸，即直線過圓心，即，解得，即，則，所以切線長為.故選：D.2.（2023·全國·高二課堂例題）若圓關(guān)于直線對稱，則由點向圓所作的切線長的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】可以用兩種方法求最小值：（1）代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，利用函數(shù)求最值；（2）幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．【詳解】方法一：由，得，依題意得圓心在直線上，即，整理得

①．易知由點向圓所作的切線長

②，將①代入②，得．又，所以當(dāng)時，．方法二：因為過圓外一點的圓的切線長、半徑和該點到圓心的距離滿足勾股定理，即，所以切線長最短時該點到圓心的距離最小，則原問題轉(zhuǎn)化成求該點與圓心的距離的最小值問題．由題意知圓心，半徑，點滿足，即點在直線上；所以點與圓心的距離的最小值即圓心到直線的距離，易求得，所以切線長的最小值為．故選：C【提分秘籍】切點弦長問題，多通過切點三角形，轉(zhuǎn)化為到圓心的距離問題【變式演練】1.（2023·全國·高三對口高考）已知點，動圓C與直線切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P，則P點滿足的條件是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)分別與圓C相切于Q、R,根據(jù)圓的切線長定理,可推出.【詳解】由已知,設(shè)分別與圓C相切于Q、R,根據(jù)圓的切線長定理,有,，所以或.

故選：C2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先得出切線長的表達(dá)式，再以二次函數(shù)求值域的方法解之即可.【詳解】圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，則,當(dāng)時，，故選：C3.．（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊八一中學(xué)校考期末）已知圓，直線，為直線上的動點，過點作圓的切線，，切點為，，則最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合條件可得四邊形的面積為，然后利用點到直線的距離即得.【詳解】圓C：的圓心為，半徑，因為四邊形的面積為，所以當(dāng)四邊形的面積最小時，取得最小值，此時最小，此時與直線垂直，因為到直線的距離為，所以，所以最小值為4.故選：B.一、單選題1．（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀﹥啥cA，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立坐標(biāo)系，由題意可得點M的軌跡方程，進(jìn)而可得M點的軌跡長．【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè)點，由，得，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其周長為，所以M點的軌跡長為.故選：A.2．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，過點作直線（不全為零）的垂線，垂足為，當(dāng)變化時，的最小值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到直線恒過點，結(jié)合，求得點的軌跡方程，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】因為直線，可得，由方程組，解得，即直線恒過點，有因為過點作直線的垂線，垂足為，設(shè)，可得，所以，可得，整理得，即點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又由，所以.故選：B.3．（2021秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用圓的性質(zhì)及“將軍飲馬”模型計算最值即可.【詳解】

如圖所示，易知，兩圓半徑分別為，取點關(guān)于橫軸的對稱點A，則，在橫軸上任取一點，連接，連接交橫軸于P，交圓于E(圓上靠近橫軸一點)，連接交圓于F(圓上靠近橫軸一點)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，對應(yīng)重合時等號成立，此時的最小值為.故選：D4．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點.若，則A點的橫坐標(biāo)為（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，進(jìn)而得，設(shè)，則，從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.【詳解】如圖，由已知得，則，所以的方程為．

由解得．設(shè)，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點A的橫坐標(biāo)為3．故選：B．5．（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省阜南實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，點為圓上任意一點，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點P到直線距離的最大值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點到直線：的距離，而點在圓上，因此點到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D

6．（2023春·四川成都·高二成都七中校考開學(xué)考試）已知，是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分，數(shù)形結(jié)合求出的最大值和最小值，進(jìn)而求出比值.【詳解】化簡得，由，得.因為，所以或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.根據(jù)圓的性質(zhì)知：當(dāng)A，B分別與圖中的M，N重合時，取得最大值，且最大值為6；當(dāng)A，B為圖中E，F(xiàn)，G，H四點中的某兩點時，取得最小值，且最小值為.故的最大值與最小值的比值是.

故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過分類討論得到曲線的具體情況，結(jié)合圖形，利用圓的性質(zhì)，得到線段和的最值，即可得到它們的比值.7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，為圓上兩個不同的點（為圓心），且滿足，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】依題意，，由，得，解得，所以.故選：C8．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知點在直線上運動，是圓上的動點，是圓上的動點，則的最小值為（

）A．13 B．11 C．9 D．8【答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點關(guān)于線對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示，

圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因為，可得，當(dāng)三點共線時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.9．（2023秋·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點，且點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，由對稱圓與圓有公共點可得答案．【詳解】圓的圓心為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，所以，解得，關(guān)于直線的對稱點為，由題意得，以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點，所以，解得：.故選：B．

10．（2023春·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，已知，設(shè)動點滿足，動點滿足，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意可得點在圓內(nèi)部和圓周上，點的軌跡是以的直徑的圓，延長交圓于點，設(shè)的中點為，的中點為，則，易得，再結(jié)合平面圖形的性質(zhì)和基本不等式即可得出答案.【詳解】因為，設(shè)動點滿足，所以點在圓內(nèi)部和圓周上，因為動點滿足，所以點的軌跡是以的直徑的圓，如圖，延長交圓于點，設(shè)的中點為，的中點為，則，若點在圓上時，兩點重合，兩點重合，若點在圓內(nèi)時，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點在圓上時，取等號，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，因為，當(dāng)且僅當(dāng)重合時，取等號，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且點在圓與軸的交點處時，取等號，所以的最大值為.故選：C.11．（2023春·江西贛州·高二江西省大余中學(xué)?？计谥校┤鬗、N為圓上任意兩點，P為直線上一個動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再過點P作圓的兩條切線，由圖形可得，從而利用直線上的動點到圓心的最小距離求得的最大值，由此得解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，設(shè)PA、