第1頁/共1頁廈門市2024屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)能力提升練習(xí)滿分：150分考試時間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知正項等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知，為關(guān)于的實系數(shù)方程的兩個虛根，則（）A. B. C. D.4.已知樣本的平均數(shù)等于分位數(shù)，則滿足條件的實數(shù)的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.35.在平面直角坐標(biāo)系中，點在直線上.若向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.設(shè)，分別是雙曲線（，）的左右焦點，為雙曲線左支上一點，且滿足，直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.7.已知，求（）A. B. C. D.8.設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（）A.60 B.100 C.120 D.130二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.為了預(yù)測某地經(jīng)濟增長情況，某經(jīng)濟學(xué)專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗回歸方程為，其中自變量x指的是1～6月的編號，其中部分數(shù)據(jù)如表所示：時間2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月編號x123456y/百億元11.107參考數(shù)據(jù)：．則下列說法正確是（）A.經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點B.C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元D.相應(yīng)于點的殘差為0.10310.如圖1，扇形的弧長為，半徑為，線段上有一動點，弧上一點是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（）A.圓錐的體積為B.當(dāng)為中點時，線段在底面的投影長為C.存，使得D.11.設(shè)，都是定義在上的奇函數(shù)，且為單調(diào)函數(shù)，，若對任意有（a為常數(shù)），，則（）A. B.C.為周期函數(shù) D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上一點，且|AF|＝5，O為坐標(biāo)原點，則的面積為___________.13.已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為______.14.已知函數(shù)（，）且），若恒成立，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，，，為中點，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.16.定義：如果三角形的一個內(nèi)角恰好是另一個內(nèi)角的兩倍，那么這個三角形叫做倍角三角形.如圖，的面積為，三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）證明：是倍角三角形；（2）若，當(dāng)取最大值時，求17.已知，，為平面上一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.（1）求的軌跡方程；（2）直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.18.若，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.（1）證明：存在源數(shù)列；（2）（?。┤艉愠闪?，求的取值范圍；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項和.19.小明進行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5.（1）若小明共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；（2）若小明進行兩組訓(xùn)練，第一組投籃3次，投中次，第二組投籃2次，投中次，求；（3）記表示小明投籃次，恰有2次投中的概率，記表示小明在投籃不超過n次的情況下，當(dāng)他投中2次后停止投籃，此時一共投籃的次數(shù)（當(dāng)投籃n次后，若投中的次數(shù)不足2次也不再繼續(xù)投），證明：.廈門市2024屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)能力提升練習(xí)滿分：150分考試時間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別解不等式求出集合，求出，根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.【詳解】由，得，則，由，得，則，，故，故選：C2.已知正項等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系，將已知等式相減，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因為，故兩式相減得：，即，則，又數(shù)列為正項等差數(shù)列，故，即，故選：B3.已知，為關(guān)于的實系數(shù)方程的兩個虛根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解得的虛根，代入求解即可.【詳解】由，，∴方程的兩個虛根為，或，，不妨取，，則，，∴.故選：A.4.已知樣本的平均數(shù)等于分位數(shù)，則滿足條件的實數(shù)的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】確定樣本的分位數(shù)為樣本數(shù)據(jù)從小到大排序后的第4個數(shù)，分類討論x的取值范圍，結(jié)合樣本平均數(shù)列出方程，即可求得答案.【詳解】因為，故樣本的分位數(shù)為樣本數(shù)據(jù)從小到大排序后的第4個數(shù)，由題意得，當(dāng)時，，則，滿足題意；當(dāng)時，，則，與矛盾；當(dāng)時，，則，滿足題意；故滿足條件的實數(shù)的個數(shù)是2，故選：C5.在平面直角坐標(biāo)系中，點在直線上.若向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定直線的方向向量，結(jié)合數(shù)量積的運算判斷出為直線的法向量，結(jié)合投影向量的含義即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)直線的方向向量為，則，而，則，即為直線的法向量，又O到直線的距離為，故在上的投影向量為，故選：C6.設(shè)，分別是雙曲線（，）的左右焦點，為雙曲線左支上一點，且滿足，直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，余弦定理建立關(guān)于的方程，化簡即可求出雙曲線離心率.【詳解】如圖，由雙曲線定義可得，又，所以，又漸近線方程為，因為漸近線，所以，所以，所以，即，化簡可得，平方可得，即，解得或（舍去），故選：A7.已知，求（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.8.設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（）A.60 B.100 C.120 D.130【答案】D【解析】【分析】明確集合中滿足的含義，結(jié)合組合數(shù)的計算，即可求得答案.【詳解】由題意知集合中滿足的元素的個數(shù)，即指中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3，故滿足條件的元素的個數(shù)為（個），故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.為了預(yù)測某地的經(jīng)濟增長情況，某經(jīng)濟學(xué)專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗回歸方程為，其中自變量x指的是1～6月的編號，其中部分數(shù)據(jù)如表所示：時間2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月編號x123456y/百億元11.107參考數(shù)據(jù)：．則下列說法正確的是（）A.經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點B.C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元D.相應(yīng)于點的殘差為0.103【答案】AC【解析】【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點，即可判斷A；結(jié)合回歸直線方程求出可判斷B；將代入回歸直線方程求得預(yù)測值，可判斷C；根據(jù)殘差的計算可判斷D.【詳解】選項A：由題意得：，因，，所以，得，因此該經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，故A正確；選項B：由A知，，得，故B錯誤；選項C：由B得，則當(dāng)時，，故該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元，故C正確；選項D：當(dāng)時，，相應(yīng)于點的殘差為，（相應(yīng)于點的殘差），故D錯誤，故選：AC10.如圖1，扇形的弧長為，半徑為，線段上有一動點，弧上一點是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（）A.圓錐的體積為B.當(dāng)為中點時，線段在底面的投影長為C.存在，使得D.【答案】BCD【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可判斷A；設(shè)M在底面上的投影為H，利用余弦定理求得投影的長，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；結(jié)合，可求得的長，即可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，由題意知，圓錐的母線長為，故，故圓錐體積，A錯誤；對于B，當(dāng)為中點時，設(shè)M在底面上的投影為H，則H為的中點，則為線段在底面的投影，，而，在中，，即，即線段在底面的投影長為，B正確；對于C，作于T，作于，連接，設(shè)圓錐底面直徑為，由于，即，則，，則為正三角形，故T為的中點，則，故，即為的四等分點，由于平面底面，平面底面，底面，，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，故當(dāng)M與重合時，，C正確；對于D，由C的分析知，，而，故，D正確，故選：BCD11.設(shè)，都是定義在上的奇函數(shù)，且為單調(diào)函數(shù)，，若對任意有（a為常數(shù)），，則（）A. B.C.為周期函數(shù) D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，在中，令得，單調(diào)函數(shù)，所以；對于B，由，得，對于C，設(shè)，則由，可得，對于D，由，得，為等差數(shù)列，且，所以.【詳解】在中，令得，所以，又為單調(diào)函數(shù)，所以，即，所以，所以，所以A錯誤；由，得，所以B正確；設(shè)，則由，可得，所以，所以，即為周期函數(shù)，所以C正確；由，得，即，所以為等差數(shù)列，且，即，所以，所以，所以D錯誤．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于D選項，由，得，為等差數(shù)列，且，所以.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上一點，且|AF|＝5，O為坐標(biāo)原點，則的面積為___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出交點，再利用焦半徑公式求出點的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意，拋物線：的焦點為，設(shè)，則，，，.故答案為：213.已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定，再根據(jù)確定關(guān)于周期的相應(yīng)等式，結(jié)合其范圍，即可求得答案.【詳解】設(shè)的周期為T，函數(shù)在上單調(diào)，故；由以及函數(shù)在上單調(diào)，得，由，，得或或，若，則；若，則；若，則；故的可能取值為，故答案為：14.已知函數(shù)（，）且），若恒成立，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分類討論，兩種情況，通過導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得到，再構(gòu)造函數(shù)及導(dǎo)數(shù)方法求出其最小值，從而求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，可得在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，也是最小值，又因為且，所以，則，得，所以，設(shè)，，令，得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：通過分類討論，兩種情況得到符合的情況，通過導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得到，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，，，為中點，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，證明，繼而證明，即可證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】連接，在菱形中，，故為正三角形，又M為中點，故，且，又，故，，，則，故,而平面，故平面，又平面，故平面平面；【小問2詳解】由于，，則，故，又平面平面，平面平面，而平面,故平面，取中點為O，則為正三角形，則，作，交于H，故平面，平面，故，則兩兩垂直，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因為平面，故可作為平面法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則可得，故，而平面與平面夾角的范圍為，故平面與平面夾角的余弦值為.16.定義：如果三角形的一個內(nèi)角恰好是另一個內(nèi)角的兩倍，那么這個三角形叫做倍角三角形.如圖，的面積為，三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）證明：是倍角三角形；（2）若，當(dāng)取最大值時，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式化簡條件，結(jié)合余弦定理及正弦定理進一步化簡即可證明；（2）由正弦定理結(jié)合題中條件得到，結(jié)合三角形面積公式化為關(guān)于的表達式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【小問1詳解】因為，又,所以，則，又由余弦定理知，，故可得，由正弦定理，,又,代入上式可得,即，，則有,故是倍角三角形.【小問2詳解】因為，所以,故，則，又，又，則,則,設(shè)，，則令得或者（舍），且當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值，此時也取最大值，故為所求.17.已知，，為平面上一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.（1）求的軌跡方程；（2）直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，12【解析】【分析】（1）設(shè)點，由題意列出等式，化簡即可求得答案；（2）分別設(shè)直線的方程，求出點的坐標(biāo)，即可得出直線的方程，繼而求出H點坐標(biāo)，從而求出的表達式，結(jié)合二次函數(shù)知識，即可得結(jié)論，并求得最大值.【小問1詳解】由題意設(shè)點，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；【小問2詳解】由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當(dāng)時，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.【點睛】易錯點點睛：本題考查軌跡方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的探究最值是否存在問題，解答思路不困難，即表示出直線方程，求得坐標(biāo)，進而求出的表達式，結(jié)合二次函數(shù)知識即可求解，但很容易出錯，易錯點在于計算較為復(fù)雜，計算量較大，。并且基本都是字母參數(shù)的運算，需要十分細心.18.若，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.（1）證明：存在源數(shù)列；（2）（?。┤艉愠闪?，求的取值范圍；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項和.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，根據(jù)數(shù)列的新定義，即可證明結(jié)論；（2）（i）由恒成立，可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可求得答案；（ii）由（i）可得，從而由，推得，可得到，繼而可利用放縮法以及裂項求和法，證明不等式.【小問1詳解】由，得，即在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)且x無限趨近于0時，趨向于正無窮大，即的值域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，對于可以取到任意正整數(shù)，且在上都有存在唯一自變量與之對應(yīng)，故對于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨設(shè)解為，即，則都存在唯一的實數(shù)，使得，即存在源數(shù)列；【小問2詳解